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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2021-2022 北京市北京大学附属中学
初三 12 月月考数学
一、选择题（本题共32分，每小题4分，请把选择题答案写在答题卡中，试卷上作答无效）
1. 如果反比例函数 的图象经过点 ，那么该函数的图象也经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，先求出反比例函数的解析式，再验证各选项中的点是否适合函
数解析式即可，熟练掌握函数图像上的点的坐标与函数解析式的关系是关键．
【详解】把点 代入反比例函数 中得： ，
∴解析式为 ．
当 时， ，故点 不在该函数的图象上，即选项A不符合题意；
当 时， ，故点 不在该函数的图象上，点 在该函数的图象上，即选项B
不符合题意，选项C符合题意；
当 时， ，故点 不在该函数的图象上，即选项D不符合题意；
故选：C．
2. 如图，点 是函数 图象上的一点，过点 分别向 轴， 轴作垂线，垂足为点 ， ，
则四边形 的面积是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数k的几何意义直接可得答案．
【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可得四边形ABOC的面积为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系 中，下列函数的图象上存在点 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定P点在第一象限，分别画出各个选项的图象判定即可．
【详解】解：∵ ，
∴点P在第一象限，
如图所示：只有 的图象过第一象限，
故选A．
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【点睛】本题考查了函数的图象，掌握一次函数，二次函数及反比例函数的图象的特点是解题的关键．
4. 点A（﹣1，y），B（1，y），C（2，y）是反比例函数 图象上的三个点，则y，y，y 的大小
1 2 3 1 2 3
关系是（ ）
A. y＜y＜y B. y＜y＜y C. y＜y＜y D. y＜y＜y
3 2 1 1 3 2 2 3 1 3 1 2
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可
【详解】解：∵ 中，k＝2＞0，
∴反比例函数 图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
在
∴A点 第三象限，
∴y＜0，
1
∵2＞1＞0，
∴B、C两点在第一象限，
∴y＞y＞0，
2 3
∴y＜y＜y.
1 3 2
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
5. 一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质．因为 k的符号不确定，所以应根
据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：∵当反比例函数图象位于第一、三象限，
∴ ，则 ，
∴一次函数 的应该经过第二、四象限，
又∵ ，
∴该直线与y轴交于正半轴，
故B、C选项错误；
∵当反比例函数图象位于第二、四象限时， ，则 ，
∴一次函数 的应该经过第一、三象限，
故D选项错误．
故选：A．
6. 一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据题意有：xy=2；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、
y应大于0，其图象在第一象限，即可判断得出答案．
解：∵xy=1
∴y= （x＞0，y＞0）．
故选C．
考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象．
7. 已知反比例函数 ，下列结论中不正确的是（ ）
A. 图象经过点(-1,-1) B. 图象在第一、三象限
C. 当 时， D. 当 时，y随着x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．
【详解】解：A、x=-1，y= =-1，∴图象经过点（-1，-1），正确；
B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；
C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；
D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随
x的值的增大而减小．
8. 函数y 的图象如图所示，若点P（x，y），P（x，y）是该函数图象上的任意两点，下列结
1 1 1 2 2
论中错误的是（ ）
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A. x≠0，x≠0 B. y ，y
1 2 1 2
C. 若y＝y，则|x|＝|x| D. 若y＜y，则x＜x
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．
【详解】解：由图象可知，x≠0，
∴ ， ，故选项A正确；
∵x≠0，
∴x2＞0，
∴ ＞0，
∴ ，
， ，故选项B正确；
函数的图象关于 轴对称，
∴若 ，则 ，故选项C正确；
根据函数的增减性可得：当 时，若 ，则 ；当 时，若 ，则 ，故选
项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
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二、填空题（本题共32分，每小题4分，请把填空题答案写在答题卡中，试卷上作答无效）
9. 已知函数 （ 为整数），当 为_____时， 是 的反比例函数．
【答案】
【解析】
【分析】根据 （ ）是反比例函数，可得答案．
【详解】解： 函数 （ 为整数）是反比例函数，
，且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键．
10. 已知反比例函数y= ，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞2．
【解析】
【详解】分析：根据反比例函数y= ，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之即可得
出m的取值范围．
详解：∵反比例函数y= ，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞2．
故答案为m＞2．
点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．
11. 已知点 是反比例函数 图像上的两点，其中 ，则
_________．
【答案】0
【解析】
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【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式得出： ，
，然后利用 即可求解．
【详解】∵点 是反比例函数 图像上的两点，
∴ ，
∵
∴
故答案为：0
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的满足反比例
函数解析式．
12. 请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：___________________．
①图象位于第二、四象限；
②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于
6．
【答案】 ，答案不唯一
【解析】
【详解】设反比例函数解析式为y= ，
根据题意得k<0，|k|<6，
当k取−5时,反比例函数解析式为y=− .
故答案为y=− .答案不唯一.
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13. 某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图），当该物体
与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是______Pa．
【答案】4000
【解析】
【分析】直接利用函数图象得出函数解析式，进而求出答案．
【详解】设P＝ ，把（0.5，2000）代入得：
k＝1000，
故P＝ ，
当S＝0.25时，
P＝ ＝4000（Pa）．
故答案为：4000．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
14. 已知一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当
时，x的取值范围是 _______________．
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【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象知，两个函数的图象的交点是
， ，由图象可以直接写出当 时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数 与反比例函数 的交点是 ， ，
故当 时， 或 ．
故答案为： 或 ．
15. 图， 的顶点A在反比例函数 的图象上，顶点C在x轴上， 轴，若点B的坐
标为 ， ，则k的值____________．
【答案】7
【解析】
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【分析】过点 作 轴垂线交 轴于点 ，连接 ，设 ，根据 解出 的值，再
将 点坐标代入 ，即可求出 的值．
【详解】：过点 作 轴垂线交 轴于点 ，连接 ，如图所示
∵ ，
∴点 纵坐标为3，
设 ，则 ，
∵
∴ ，解得：
∴
将 代入 ，解得：
故答案为：7．
【点睛】本题考查了求反比例函数系数 的值、反比例函数图象上点坐标的特征，正确作出辅助线，设点
坐标是解答本题的关键．
16. 如图，曲线AB是抛物线 的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），
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曲线BC是双曲线 的一部分.曲线AB与BC组成图形W由点C开始不断重复图形W形成一
组“波浪线”.若点 ， 在该“波浪线”上，则m的值为________，n的最大值为
________.
【答案】 ①. 1 ②. 5
【解析】
【分析】由二次函数解析式可得点A坐标，由图象可知A、C之间的距离为5，即可判断点P与点A的纵
坐标相同，由反比例函数图象可知在每个区间y随x的增大而减小，可得该“波浪线”上y的最大值为二次
函数的最大值，把二次函数解析式配方成顶点式，可得函数最大值，即可得n的最大值.
【详解】∵抛物线解析式为 ，
∴x=0时，y=1，
∴点A坐标为（0，1）
由图象可知A、C之间的距离为5，
∴2020÷5=404，
∴点P与点A的纵坐标相同，
∴m=1，
由反比例函数图象可知，在每个区间y随x的增大而减小，
∴该“波浪线”上y的最大值为二次函数的最大值，
∵ =-4(x-1)2+5，
∴该二次函数的最大值为5，
∴n的最大值为5.
故答案为：1，5
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质，根据二次函数顶点式得
出最大值是解题关键.
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三、解答题（本题共36分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题10分）解答
应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 截止2021年3月15号，我国自主研发的新冠疫苗已接种超过6200万剂次，疫苗已经经过三期临床试
验，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度y（miu/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当
时，y与x是正比例函数关系；当 时，y与x是反比例函数关系）．
（1）根据图象求当 时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象求当 时，y与x之间的函数关系式；
（3）体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为多少天？
【答案】（1）y＝14x；（2）y＝ ；（3）体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为31天．
【解析】
【分析】（1）直接利用正比例函数解析式求法得出答案；
（2）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
（3）结合所求解析式，把y＝140代入求出答案．
【详解】解：（1）设当x≤20时，y与x之间的函数关系式是y＝kx，
图象过（20，280），
则20k＝280，
解得：k＝14，
y与x之间的函数关系式是：y＝14x，
（2）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y＝ ，
图象过（20，280）, ，
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解得：k＝5600，
y与x之间的函数关系式是y＝ ；
（3）当x≤20时，140＝14x，
解得：x＝10．
当x≥20时，140＝ ，
解得：x＝40，
故40﹣10+1＝31（天），
答：体内抗体浓度不低于140miu/ml的持续时间为31天．
【点睛】此题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
18. 在平面直角坐标系 中，直线 与函数 的图象交于点 ．
（1）求t，k的值；
（2）点 是函数 的图象上任意一点（不与点 重合），点 ， 在直线 上，点
横坐标为 ．若 ，求点 横坐标的取值范围．
【答案】（1） ； ；
（2）点Q横坐标的取值范围是： 或
【解析】
【分析】（1）将点A坐标代入 ，得出t的值，再把点A坐标代入 ，即可求出k的值；
（2）设点B到直线 的距离为h．根据 ，得出 ．再分两种情况进行讨论：
①点Q在射线 上；②点Q在线段 延长线上．
【小问1详解】
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解：∵点 在直线 上，
∴ ．
∵函数 的图象经过点 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：设点 到直线 距的离为 ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，点 横坐标为 ，
如图，当点 在射线 上时，过A作 轴，交过P、Q分别与x轴平行的直线于C、D，则
，
∴ ，
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即 ，
∴ ，
如图，当点 在线段 延长线上时，过P作 轴，与过A、Q作y轴的平行线交于E，F，
∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ 即 ，
∴ ．
的
综上所述：点 横坐标 取值范围 或 ．
【点睛】本题考查一次函数，反比例函数，三角形面积，相似三角形的判定与性质，掌握一次函数的性质，
反比例函数性质，用三角形面积求出线段的不等关系，相似三角形的判定与性质解决坐标的范围是解题关
键．
19. 在平面直角坐标系 中，直线 ，函数 的图象为F．
（1）若 在函数 的图象F上，求直线l对应的函数解析式：
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（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线 ，图象F和直线 围成的区
域（不含边界）为图形G．
①在（1）的条件下，写出图形G内的整点的坐标；
②若图形G内有三个整点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1） ；（2）① ，② 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 求出 的值即可得到结论；
（2）①画出图形 ，根据图形可得结论；②分两种情况，求出直线解析式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵ 在函数 的图象F上，
∴ ．
解得 ．
∴直线l对应的函数解析式为 ，
（2）①如图，
图形G内的整点的坐标为 ；
②当 时，则直线l： ,函数 经过点（2，2）、（1，4）、（4，1），此时图形G
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内有（1，1），（2，1），（3，1）三个整点；
当 时，则直线l： ,函数 经过点（1，3）和（3，1），此时图形G内有
（1，1），（2，1）两个整点，
当 时，则直线l： ,函数 经过点（1，2）和（2，1），此时图形G内有（1，1）
一个整点；
当 时，则直线l： ,函数 经过点（1，1），此时图形G内没有整点；
当 时，则直线l： ,函数 ，此时图形G内有（-1，1）、（0，1）两个整点；
,
当 时，则直线l： 函数 ，此时图形G内有（-2，1）、（-1，1）、（0，
1）3个整点；
观察图象可知：当 或 时，区域G内有三个整点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解决问题是本题的
关键．
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20. 如图在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于点 ，
点 的横坐标为 是反比例函数图像上的一点， 轴交反比例函数于点 ．
（1）求出 的值；
（2）用含 的代数式表示线段 的长；
（3）是否存在点 ，使 是以 为底的等腰三角形，若存在求出 ，若不存在说明理由；
（4）以 为边长，在 的下方作正方形 ，判断边 与反比例函数图像是否有交点，若有求
出交点坐标，若没有请说明理由．
【答案】（1）16；（2） ；（3）不存在，理由见解析；（4）没有交点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出点 坐标代入解析式可求解；
（2）由（1）得到反比例函数表达式，可得点M坐标，根据MN∥x轴得到点N坐标，结合点M坐标得到
MN；
（3）先求出点 坐标代入解析式，可求 的值，与题意相矛盾；
（4）求出点A坐标，判断出点A在双曲线的上方，即可求解．
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【详解】解：（1） 一次函数 的图象过点 ，
，
点 ，
反比例函数 过点 ，
；
（2）由（1）可知：反比例函数的解析式为 ，
点 ，
轴，
点 ， ，
；
（3）不存在，
理由如下：若 是以 为底的等腰三角形，
点 在 的垂直平分线上，
点 ，
点 在直线 上，
，
∴ ，
，
不合题意舍去，
不存在点 ，使 是以 为底的等腰三角形；
（4）没有交点，
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理由如下： 四边形 是正方形，
， ，
点 ， ，
当 时， ，
，
，
点 在双曲线的上方，
与反比例函数图象没有交点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，正方形的性质等知
识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
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