精品解析：北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）(1)_北京初中期末题_C605-京七八九_B京市数学七八九_北京9上数学_2023-2024_北京数学9上月考

微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 2023-2024 学年第一学期阶段性调研 初三数学 2023.12.26 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 在 中， ， ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：如图， ∵ 中， ， ， ， ∴ 在 中， ， 故选B． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做角A的余弦是解题的 关键． 2. 已知 是关于 的方程 的根，则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，掌握方程的解的意义是解题 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 的关键．把 代入 求得 ． 【详解】解：把 代入 得 ， 故 故选D． 3. 某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点， 若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为 （ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为一共有9个小正方形，其中黑色小正方形有5个，所以选手获得笔记本的概率为 ，故选D. 考点：简单事件的概率. 4. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影 子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ） 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 A. 5m B. 7m C. 7.5m D. 21m 【答案】B 【解析】 【分析】先判定 和 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得 ． 这颗树的高度为 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键． 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）是反比例函数 关系，它的图象如图所示．若不超过 为安全电流，则电阻的取值范围是（ ） 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据函数图象即可得可变电阻的变化范围． 【详解】解：根据函数图象知， 不超过 为安全电流，则电阻的取值范围是 ， 故选：D． 6. 如图，已知 分别与 相切于 点， 为优弧 上一点， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点．连接 、 ，根据切线的性质可得 ，再根据四边形的内角和求出 ，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， 分别与 相切于A,B两点， ， ， ， ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ． 故选：A． 7. 如图， 与 中 ，若 等于（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含 直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质； 根据含 直角三角形的性质结合勾股定理求出 和 ，然后证明 ，再利用勾股定理求 出 即可． 【详解】解：∵ 与 中 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 8. 小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 数 （其中 为常数，且 ），经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论， 其中错误的是（ ） A. 经过原点 B. 不经过第二、四象限 C. 关于直线 对称 D. 与直线 有三个交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数等性质，根据二次函数和反比例函数知识逐一判断即可得出答 案． 【详解】解：A.当 时， ，说法正确，故选项不符合题意； B.当 时， ，当 且 时， ，说法正确，故选项不符合题意； C.当 时， 无意义，说法正确，故选项不符合题意； D.由 得，可以求得 ，只有两个交点，选项错误，故选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 点 为反比例函数 上的两个点，若 ，写出一个符合条件的 的值 ____________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．由题可知A， 在 一个象限，根据 得到图象位于一、三象限，即 给出符合题意的k值即可． 【详解】由题可知A， 在一个象限， ∵ ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴反比例函数 的图象位于一、三象限， ∴ ， 即 ， 故答案为： （答案不唯一）． 10. 若将抛物线 向上平移后经过点 ，所得抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数 解析式． 【详解】解：将抛物线 向上平移后的解析式为： ， 把 代入 得 ， 解得： ， ∴解析式为： ， 故答案为： ． 11. 如图， 的顶点都在正方形网格的格点上，则 的值为____________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查三角函数，勾股定理．作 于点 ，根据等积法求出 的长，结合勾股定理 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 及正切定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：作 于点 ，由图形可得， ， ， ， ∴ ， 解得： ， ， ∴ ， 故答案为： ； 12. 若抛物线 与 轴有交点，则 取的值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确 时，抛物线与x轴有交点． 【详解】解：∵抛物线 与 轴有交点， ∴ ， 解得： ， 故答案为： ． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 13. 如 图 ， 在 矩 形 中 ， 是 边 上 一 点 ， 连 接 交 对 角 线 于 点 ， 若 ，则 的长为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理求出 根据 矩形的性质证明 ，利用三角形相似的性质即可求解． 【详解】解： 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14. 中， 是 的中点，以点 为圆心作 ，若 与边 有且 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 仅有一个交点，则 的半径 应满足____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查含 角的直角三角形的性质，直线和圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题 的关键． 过点D作 的垂线，垂足为E，过点A作 于点F，连接 ，根据30°角所对的直角边等于斜 边的一半可以得到 ， ，利用勾股定理求出 长，分为相切和当B 在圆内部，点C在 上或在 外分类讨论即可解题． 【详解】过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 于点 ，连接 ， ， ， ∵ 是 的中点, ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 当 ，即 时， 与边 有且仅有一个交点， 当 在圆内部，点 在 上或在 外时，即 时, 与边 也有且仅有一个交点， ∴当 或 ， 与边 有且仅有一个交点， 为 故答案 ： 或 ． 15. 若抛物线 的顶点在 轴上，且关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线 的顶点在 轴上得出 ，再根据不等式 的解集为 可以得出 或 是关于 的方程 的解，然后解方程组即可求出 的值． 【详解】解： 抛物线 的顶点在 轴上， ， ， 不等式 的解集为 ， 或 是关于 的方程 的解， ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 解得 ， 的值为4， 故答案为：4． 16. 正方形 中，点 是 边上的一个动点，连接 的角平分线 交 边于点 ， 若 于点 ，连接 ，给出下面四个结论： ①点 在 外接圆上； ②当 时，存在点 ，使得 为等腰直角三角形； ③ ； ④当 取得最小值时，满足 ． 上述结论中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和垂直判定共圆，结合同弧所对圆周角相等推出矛盾，并证明 ，利用 得到三点共线时最短距离． 【详解】解：作 于M， 于H，如图， ∵ 是 的平分线， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ ， ∵ ， ∴A、D、G、E四点共圆，故①正确； ∵ ， 设存在点E，使得 为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴矛盾，不存在，故②错误； ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ，故③正确； 则 ， 当D、G、B三点共线时， 有最小值，最小值是 的长， ∵四边形 为正方形， ∴ ， ∴ ，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查矩形的性质、四点共圆、角平分线性质、全等三角形的判定和性质和最短距离问题，利 用同弧所对圆周角相等和证明 是解题的关键． 三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每 题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 17. 解方程： 【答案】 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，利用配方法求解即可． 【详解】解： 解得： ． 18. 已知 为方程 的一个根，求代数式 的值． 【答案】1 【解析】 【分析】将a代入方程中得 ，将所求代数式化简整理后，把 整体代入即可. 【详解】解：∵ 为方程 的一个根， ∴ ． ∴ ． ∴原式= ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，以及用整体代入法求代数式的值.解题的关键是掌握整 体代入法. 19. 如图， 中，点 在边 上，满足 ，若 ．求 的长． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明 ，则 ，求 ，根据 ，计算求解即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ ， ∴ 的长为 ． 20. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长． 【答案】 【解析】 【详解】连结OC，BC，则OC=OB ∵PC垂直平分OB， ∴OC=BC. ∴OC=OB=BC. ∴△BOC为等边三角形. 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴∠BOC=60° 由垂径定理，CP= CD=3cm 在Rt POC中， =tan∠COP= △ ∴OP= cm. ∴AB=2OB=4OP=4 cm. 21. 已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若此方程的一个根是另一个根的三倍，求整数 的值． 【答案】（1）见解析 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论 的思想解题，是解此题的关键． （1）先计算出根的判别式的值得到 ，然后根据根的判别式的意义即可得 到结论； （2）先解方程得出 ， ，再分两种情况：当 时，当 时，分别列出方程， 解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ． 该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解： ， ， 解得： ， ， 当 时， ， 解得： ； 当 时， ， 解得： ， 综上所述， 的值为 或 ． 22. 已知二次函数 ． （1）将 化成 的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当 时，结合图象，直接写出函数值 的取值范围． 【答案】（1） ， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可； （3）根据函数图像确定当 时对应的y的取值范围即可． 【小问1详解】 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ． 【 小问2详解】 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 0 图象如图所示；： 【小问3详解】 由图象可得，当 时， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次 函数的图象成为解答本题的关键． 23. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交 CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC= ，BD=8，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD， ∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明； （2）设半径为r，根据在Rt△OCD中， ，可得 ，AC=2r，由AB为⊙O的直 径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得 ，求出OE， ，求出OF，即可求出EF． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ADC+∠ODA=90°， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF+∠DAO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ADC=∠AOF； （2）设半径为r， 在Rt△OCD中， ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ ， ∴ ， ∵OA=r， ∴AC=OC-OA=2r， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴ ， ∴OE=4， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°， 灵活运用知识点是解题关键． 24. 平面直角坐标系 中，点 是反比例函数 的图象与直线 的交点． （1）求 和 的值； 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 （2）已知点 ，过点 作垂直于 轴的直线，交直线 于点 ，交函数 图象于点 ． ①当 时，求 的度数； ②若 ，结合图象，直接写出 的取值范围． 【答案】（1） （2）① ；② 或 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，即求出m的值，再把点A坐标代入反比 例函数解析式，求出k的值即可； （2）①根据（1）所求求出 ，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明 ，即可得到 ；②设 ，当 时，设直线 交直线 于G，先证明 ，则由三角形外角的性质可得 ，类似可得当 时， ，同理可得 当 时 ；综上所述，当 或 ， ． 【小问1详解】 解：把 代入 中得： ， ∴ ， 把 代入 中得： ， ∴ ； 【小问2详解】 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 解：①在 中，当 时， ，在 中，当 时， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形，且 ， ∴ ； ②设 ， 当 时，设直线 交直线 于G， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 类似可得当 时， ， ∴当 时， ； 同理当 时，可求得当 时， ， 同理可得当 时， ； 综上所述，当 或 ， ． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的 性质与判定，三角形外角的性质等等，利用待定系数法求出对应的函数解析式，以及利用数形结合和分类 讨论的思想求解是解题的关键． 25. 在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有 白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出 1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸 球试验，如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果． （1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是 ____________，其中红球的个数是____________； （2）如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是 白球的概率； （3）在袋中再放入 个白球，那么（2）中的概率将变为____________（用 表示）． 【答案】（1） ， （2） 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数； 列出表格，利用概率公式计算； 由（2）可知可能出现的结果共有 种，且这些结果出现的可能性相等，其中 摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有 种结果，计算概率即可． 【小问1详解】 解：由图表可知：摸出红球的频率分布在 上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概率是 ，红 球的个数是： 个， 故答案为： ， ； 【小问2详解】 列表格为： 红1 红2 红3 白 红 红1， 红1， 红1， / 1 红2 红3 白 红 红2， 红2， 红2， / 2 红1 红3 白 红 红3， 红3， 红3， / 3 红1 红2 白 白，红 白，红 白，红 白 / 1 2 3 可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有 种，且这些结果出现的可能性相等， 其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有 种结果，概率为 ． 【小问3详解】 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 解：从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有 种，且这些结果 出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有 种结果，概率为 ， 故答案为： ． 26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线 ． （1）若 ，求 的值； （2）若对于抛物线上的点 ，当 时，都有 ，求 的取值范 围． 【答案】（1） 的值为1 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握数形结合法求解二次函数的问题 是解题的关键． （1）由题意知 ，待定系数法求得 ，根据对称轴为直线 ，计算求解 即可； （2）由 ，对称轴为直线 ，可得二次函数的图象与 轴的交点坐标为 ， ，分 当 ， 时，当 ， 时，当 ， 时，当 ， 时，四种情况，结合图象求解即 可． 【小问1详解】 解：∵ ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ ， 将 代入 得， ， 解得， ， ∴对称轴为直线 ， ∴ 的值为1； 【小问2详解】 解：∵ ， 当 时， ， 二次函数的图象过原点， ∵对称轴为直线 ， ∴二次函数的图象与 轴的交点坐标为 ， ， 当 ， 时，如图1， ∵当 时，都有 ， ∴ ， 解得， ； 当 ， 时，如图2， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∵当 时，都有 ， ∴ ， 解得， ； 当 ， 时，如图3，此时不满足当 时，都有 ；舍去； 当 ， 时，如图4，此时不满足当 时，都有 ；舍去； 综上所述， 或 ． 27. 如图， 为等边三角形， 为 边上一点， 为 延长线上一点， ． （1）若 为 的中点，连接 ． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ①补全图形； ②判断 的位置关系和数量关系，并证明． （2）在（1）的条件下，点 关于直线 的对称点是 ，连接 ，若 ，直接写出 的 最小值． 【答案】（1）①见解析；② ， ，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②延长 至点G，使 ，连接 ，根据 证明 得 ，再根据 证明 得 ， ， 可证 是等边三角形，然后利用勾股定理即可求出 ； （2） 交 的延长线于点G，连接 ，作 交 于点H，由轴对称的性质得 ， ，根据 证明 得 ，再根据 证 明 得 ，从而 ，则当 最短时， 取得最小值，然后求出 的 最小值即可． 【小问1详解】 解：①如图，根据题意，补全图形如下： ② ， ，证明如下： 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， 如图，延长 至点G，使 ，连接 ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ 是等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 如图， 交 的延长线于点G，连接 ，作 交 于点H， ∵点 关于直线 的对称点是 ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ 为 的中点， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ． ∵ ， 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 最短时， 取得最小值． 由垂线段最短可知，当 时， 最短， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 的最小值是 ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，轴对 称的性质，以及平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和图形 ，以点 为圆心，1为半径作 ，图形 上的每一个 点 （不是原点），都能使得直线 与 有公共点，那么称图形 和点 关联． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 （1）点 ，下列图形中与点 关联 图形是____________； 的 ① 轴； ②直线 ； ③半径为1的 ； ④线段 ，其中 ． （2）点 在直线 上，点 在 轴上，点 在第一象限，已知 为等边三角形，若 与点 关联，求点 横坐标 的取值范围； （3）平面上一点 满足 ，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，连接 ，点 在线段 上．点 在以 为中心，边长为8的正方形上， 与点 关联，直接写出 的半径 的取值范 围． 【答案】（1）①④ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义画出图形，即可求解； （2）根据新定义，作 使得与直线 和 轴的相切，过点 作 的垂线，得出 ，结合新定义可得当 时， 与点 关联，即可求解； （3）当 在 的垂直平分线上时， 到 的距离相等，根据中心投影的性质可得，当 离 最近时， 最小，离 最远时， 最大， 当 在 时，如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，当 在 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 时， 的半径取得最大值，根据 ，求得 的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 根据定义可得与点 关联的图形是①④ 【小问2详解】 解：如图所示， 在直线 上，点 在 轴上，点 在第一象限，已知 为等边三角形， 作 使得与直线 和 轴的相切，过点 作 的垂线， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵ 与点 关联， ∴ ； 【小问3详解】 解：依题意，当 在 的垂直平分线上时， 到 的距离相等，根据中心投影的性质可得，当 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 离 最近时， 最小，离 最远时， 最大， 当 在 时，如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ∵ ，则 设 ，则 ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ∴ 解得： ， （舍去） 则 ， ∵ 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ ， ∴ ， ， 解得： ， 即 的最小半径为 ； 当 在 时， 的半径取得最大值，此时如图所示， 同理可得 ∴ 解得： 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结 ∴ ． 【点睛】本题考查了中心投影 的新定义，切线的性质，勾股定理，正方形的性质，中心对称，解直角三角 形，等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键． 微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结