文档文本内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10 月份）
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】解：∵ ，
∴此函数的顶点坐标为（3，1），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，
k），对称轴是直线x=h．
2. 用配方法解方程 ，原方程应变为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将常数项移到右边，两边再同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】对 进行配方：
移项，得： ，
两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ，得：
，
整理，得： ，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的过程是本题的解题关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
3. 将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关
键．
【详解】解：将抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，所得抛物线的表达式为：
．
故选：B．
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中， ，B（0，3），P为线段AB的中点，则线段OP的长为（
）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边中线的性质得到OP的长．
【详解】解：∵ ，B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴ ，
∵P为线段AB的中点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴OP= = ，
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正确掌握勾股定理求出AB是解题的关键．
5. 已知x，x 是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x＋x－x·x 的值是（ ）
1 2 1 2 1 2
A. 1 B. 3 C. －1 D. －3
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】由题意知： ， ，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x，x，则
1 2
， ．
6. 关于 的一元二次方程 有实数根，则 满足（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次方程有实数根可知，根的判别式 ，再结合二次项的系数非零，可得出关
于 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】由已知得：
，
且 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当根的判别式 时，方
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
程有两个实数根”是解题的关键．
7. 已知点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象及性质可得图象上的点离对称轴越近，其纵坐标越大．
【详解】在二次函数 ，对称轴 ，抛物线开口向下，在对称轴的左边，y随x的增大
而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减少，即点离对称轴越近，其纵坐标越大．
在图象上的三点 ， ， 中，点 离对称轴的距离最远， 离对
称轴的距离最近，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握根据二次函数的图象得到其增减性是解题的关键．
8. 函数 中y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 8 3 0 0 …
则当 时，x的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先根据表格确定抛物线的对称轴，再确定 时x的值，然后再确定抛物线的开口方向即可解
答．
【详解】解：∵抛物线经过点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴当 或 时， ，
∴抛物线 顶的点坐标为 ，
∴抛物线开口向上，
∴当 或 时， ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的性质，根据图表确定抛物线的对称轴和开口方向是解答本题的关
键．
9. 二次函数 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据当 时 ，即抛物线经过 即可判断．
【详解】当 时， ，
∴抛物线经过
∴只有B选项符合
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
10. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，其中 ．将
此抛物线向上平移，与 轴交于 ， 两点，其中 ，下面结论正确的是（ ）
A. 当 时， ，
B. 当 时， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
C. 当 时， ，
D. 当 时， ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，根据对称轴和抛物线与 x轴交点的坐标位置，结合
图象向上平移的特点，分 和 讨论即可．
【详解】解：当 时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线 ，
，且 ；
当 时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线 ，
，且 ．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
11. 若关于 函的数 是二次函数，则 的取值范围是________．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如 (
是常数， )的函数，叫做二次函数．
【详解】解： 函数 是关于 的二次函数，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
12. 若 是一元二次方程 的一个根，则k的值为______。
【答案】 .
【解析】
【分析】把 代入所给方程即可得到关于k的方程，解方程即可得出答案.
【详解】解：把 代入 ，得： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念，难度不大，属于基础题型，熟知一元二次方程的解的概念
是关键.
13. 请你写出一个二次函数________满足以下条件：
①开口向下；
②与y轴交于点 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由抛物线开口方向可确定二次项系数，由与 轴交于点 ，可得 ，则可求得答案．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
∵抛物线开口向下，
∴可取 ，
∵与 轴交于点 ，
∴ ，
∴满足条件的函数解析式可以是 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与 的符号有关、与 轴的交点与 有
关是解题的关键．
14. 如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，其中点 ，点 ，不等
式 的解集为___________．
【答案】2<x<5##5>x>2
【解析】
【分析】观察图像，找到抛物线的图像在直线的下方的部分图像，由此可知不等式的解集．
【详解】解：如下图所示，当2<x<5时，抛物线的图像在直线的下方，
当2<x<5时， ，
不等式 的解集为：2<x<5．
故答案为：2<x<5．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【点睛】此题考查了二次函数与不等式，根据两个函数图像的上、下位置关系找出不等式的解集是解此题
的关键．
15. 如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ， 为 的中点， 且
， ， ，则 的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质和勾股定理求 的长，进而根据中位线的性质可得到 的长．
【详解】解： ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
点 为 的中点，
又 点 为 边的中点，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
为 的中位线，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16. 为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．
今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月
份盈利的月平均增长率为 ，根据题意，可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意即可列出一元二次方程，即可解答．
【详解】解：设6月份到8月份盈利的月平均增长率为 ，
根据题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，列出方程是解决本题的关键．
17. 已知抛物线 ，若抛物线关于 轴对称，则 ________，此时抛物线关于
轴对称的图象解析式为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据抛物线关于 轴对称，得出顶点横坐标为 ，求解 ，得出 的值，得抛物线
解析式为 ，根据关于 轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则关于 轴对称的图象
解析式为 ，整理即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线 关于 轴对称，即对称轴为 轴，
∴顶点在 轴上，即顶点横坐标为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ，
∴此时抛物线解析式为 ，
关于 轴对称的图象解析式为 ，即 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质计算求解是解题的关键．
18. 已知某函数的图象过 ， 两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过 ；
②若此函数的图象为抛物线，且经过 ，则该抛物线开口向下；
③若此函数的解析式为 ，且经过原点，则 ；
④若此函数的解析式为 ，开口向下，且 ，则a的范围是 ．
所有合理推断的序号是________．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】①利用待定系数法求出直线解析式，再令 ，求出y的值，即可判断；②利用待定系数法求
出抛物线解析式即可判断；③利用待定系数法求出抛物线解析式即可判断；④设此函数的解析式为
，根据其经过 ， 两点可求出 ，从而得出该函数为
，进而得出其对称轴为直线 ，即 ，再根据h的取值范围
和抛物线开口方向求出a的解集，即可判断．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：设过 ， 两点的直线解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴此函数的图象经过 ，故①符合题意；
若此函数的图象为抛物线，即可设其解析式为 ，
将 ， ， 代入，
得： ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线的开口向上，故②不符合题意；
当函数的解析式为 ，且经过 ， 和原点，
则 ，解得： ，
∴ ，故③不符合题意；
设其解析式为 ，由其图象经过 ， ，
∴ ，解得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴该函数为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
又∵抛物线开口向下，
∴ ，
∴ ，
解得： ，故④符合题意；
故答案为：①④．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性
质是解题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共64.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 选择合适的方法解方程：
（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法或直接开平方法可求解．
（2）利用因式分解法或配方法可求解．
【小问1详解】
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
∴ ；
另解：∵ ，
∴
∴
∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ．
另解：∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是针对方程的特点，灵活运用直接开平方法、因式分解
法、配方法等去求解．
20. 已知二次函数
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3）当 时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，然后再求出顶点坐标即可；
（2）先列表，然后再描点，最后连线画出函数图象即可；
（3）根据函数图象得出结果即可．
【小问1详解】
解：∵
，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解：列表：
x … 1 2 6 4 5 …
y … 0 0 …
描点，连线，画出函数图象，如图所示：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当 时，直接写出y的取值范围 ．
【点睛】本题考查二次函数的有关知识，涉及到二次函数顶点坐标式，抛物线的对称轴和顶点坐标，画二
次函数图象，根据自变量求函数的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
21. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的部分图象经过点 ， ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出 时，x的取值范围；
（3）将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】（1）
（2）
（3）4
【解析】
【分析】（1）通过待定系数法即可求出函数解析式．
（2）根据抛物线开口方向及与x轴交点坐标，结合图象即可得出x的取值范围．
（3）所得抛物线与x轴只有一个公共点,即在 上，经过点 ， 时 的值，进而求解．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问1详解】
解：将 ， 代入 得：
，解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
令 ，
解得 或 ，
∴抛物线与x轴交点为 ， ，
∵抛物线开口向上，
∴ 时， ；
【小问3详解】
在
要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点 x轴上，
由（1）得该抛物线的表达式为 ，
∴该抛物线的顶点为 ，
要使顶点在x轴上，则顶点纵坐标应为0，
∴将该抛物线向上平移4个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
为
故答案 ：4．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程、不等式的关系，掌握二次函数图象
的平移规律．
22. 关于x的一元二次方程
（1）若该方程无实数根，求m的取值范围；
（2）给m取一个适当的值，使该方程有两个不同的实数根，并求出方程的两个根．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】（1）
（2）当 时，
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式求解即可；
（2）先一元二次方程根的判别式列不等式求出m的取值范围，然后取合适的m值求解即可．
【小问1详解】
解：∵方程 没有实数根，
∴ ，解得 ．
【小问2详解】
解：∵当方程 有两个不同的实数根时，
∴ ，解得 ，
∴当 时，
∴原方程为 ，解得 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的判
别式，一元二次方程的根有三种情况是解答本题的关键．
23. 已知抛物线 与y轴交于点 ，顶点为T，与直线 交于A，B，其中点A
坐标为 ．
（1）求抛物线和直线解析式；
（2）直接写出抛物线 关于 对称的抛物线的解析式；
（3）求 的面积．
【答案】（1）抛物线解析式为 ；直线为 ；
（2）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（3）3
【解析】
【分析】（1）把 ， 代入 ，再建立方程组解题即可；
（2）先求解抛物线 的顶点坐标，再求解顶点关于直线 对称的点的坐标，再结合轴
对称的性质可得新的抛物线的解析式；
（3）先求解B的坐标，记对称轴与直线 的交点为G，求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行
求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过A、C两点
∴代入抛物线解析式可得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
∵直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线为 ；
【小问2详解】
∵ ，
∴抛物线的顶点 ，
∴顶点 关于直线 的对应点的坐标为 ，
∴抛物线 关于 对称的抛物线的解析式为 ，
【小问3详解】
如图，记对称轴与直线 的交点为G，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
由 ，解得 或 ，
∴ ，
∵抛物线的顶点 ，
∴把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ 的面积： ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，坐标与图形面积，掌握以
上基础知识是解本题的关键．
24. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ， ，从A处向外喷出的水流
在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷
出的高度 与水平距离 之间的关系式是 ，已知水流的最高点到 的水
平距离是 ，最高点离水面是 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求二次函数表达式；
（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】（1）
（2）至少1米
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的顶点式求解即可．
（2）令 得到 求得抛物线与x轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是所求．
【小问1详解】
∵水流的最高点到 的水平距离是 ，最高点离水面是 ， ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
故设抛物线的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的解析式为 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
令 得到 ，
解得 （舍去），
故水池的半径至少为1米．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法和二次函数实际意
义是解题的关键．
25. 已知二次函数 ．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）当 时，函数图象的最高点为M，最低点为N，且最高点的纵坐标为 ，求点M和点N的
坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点 ，当 ，均
有 ，请结合图象，直接写出t的取值范围．
【答案】25. 直线
26. M ，N
27. 或
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解；
（2）先根据二次函数的性质判断M ，进而可求出抛物线的解析式，再根据二次函数的性质即可求
出点N的坐标；
（3）根据二次函数的性质可得当 或 时，满足题意，即可求解．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
该二次函数图象的对称轴是直线 ；
【小问2详解】
∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，且 ，最高点的纵坐标为 ，
∴当 时，y的值最大，
∴M ，
把M 代入 ，解得 ．
∴该二次函数的表达式为 ．
当 时，y最小，且 ，
∴N ．
【小问3详解】
∵ ，
∴抛物线的开口向上，
∵抛物线的对称轴是直线 ，且 时，均有 ，
∴当 或 时，满足题意，
解得： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26. 如图，在 中， ， ，点 在 边上，（不与点 ， 重合）将线段
绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）根据题意补全图形，并证明： ；
（2）取 的中点 ，连接 ，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）图见解析，证明见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及旋转的性质，
根据题意作旋转所得直线并连接，再利用同角的余角相等即可证明；
根据等腰直角三角形的性质得直角边和斜边成比例，结合夹角相等证明相似，利用相似的性质即可求
证．
【小问1详解】
证明：图形如图所示；
，
， ，
；
【小问2详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
结论： ．
理由：连接 ．
， ，
，
∵ ，且点 的中点，
∴ ，
，
，
，
，
，
．
27. 对于平面图形 、 和直线 （这里k、b均为常数），若它们同时满足以下两个条件：
a．对 上任意一点 ，均有 ；
b．对 上任意一点 ，均有 ．
则称直线 是图形 、 的“分界线”．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
回答以下问题．
（1）如图1所示，在平面直角坐标系中有正方形 和三角形 ．例如：直线 是正方形
和三角形 的一条“分界线”．
（i）在下列直线中，可以作为正方形 和三角形 的“分界线”的是 （填选项的标
号）；
① ；② ；③ ；④
（ii）若直线 是正方形 和三角形 的“分界线”，结合图形，求k的取值范围．
（2）如图2所示，在平面直角坐标系中有抛物线 和正方形 ，正方形 的顶
点H的坐标为 ．若直线 是抛物线M和正方形 的“分界线”，直接写出t的取
值范围．
【答案】（1）（i）③④；（ii） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）根据一次函数图象与满足“分界线”的两个条件逐一判断，即可得到答案；
（ii）根据图象，确定直线m、n为符合“分界点”条件时临界点的情况，再分情况讨论求解，即可得到答
案；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）根据图象可知，抛物线在直线 的下方时，符合题意，当直线l和抛物线只有一个交点
时，为临界点，联立抛物线和一次函数，利用一元二次方程根的判别式，得出 ，再利用正方形顶
点坐标，得出 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：（i）从函数图象看， 和 明显不满足“分界线”的两个条件，
对于直线 和直线 ，如下图：
从图上可以看出：直线k和直线n符合题意，
故答案为：③④；
（ii）如图1，直线m、n为符合“分界点”条件时临界点的情况，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
直线 恒过点 ，
当直线m过点 时，
将点A坐标代入 ，得： ，
解得： ，
当直线n过点 时，
将点G的坐标 ，得： ，
解得： ，
故k的取值范围为： 或 ；
【小问2详解】
解：如图2，当抛物线在直线 的下方时，符合题意，
当直线l和抛物线只有一个交点时，为临界点，
联立 ，
整理得： ，
则 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得： ，
正方形 的顶点H的坐标为 ，且直线 与x轴的交点横坐标为 ，
，
解得： ，
综上可知，t的取值范围为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数 的图象和性质，新定义，点的坐标的确定等
知识，正确理解“分界点”，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
