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2021-2022 学年北京市海淀区清华附中九年级（上）月考数学试卷
（10 月份）
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. 禁止驶入 B. 靠左侧道路行驶
C. 向左和向右转弯 D. 环岛行驶
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 将方程 配方后，原方程变形为（ ）
A. B. C. D.
4. 在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（ ）
A. 90° B. 60° C. 30° D. 15°
5. 如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.6. 将抛物线 向上平移 个单位后得到的抛物线恰好与 轴有一个交点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
7. ⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 6 D. 8
8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y），B（m，y），C
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（m+2，y）为抛物线上三点，且总有y＞y＞y．结合图象，m的取值范围是（ ）
3 1 3 2
.
A m＜1 B. 0＜m＜1 C. 0＜m＜ D. m＜0
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，写出一个OP长的可能值___．
10. 若一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为______．
11. 若a是方程3x2﹣5x+2＝0的根，则6a2﹣10a＝___．
12. 如图所示，四边形 内接于 ，如果它的一个外角 ，那么 等于_______．
13. 将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，已知∠ACA′=90°， BC=5， 连接BB′，则BB′的长为
__________．14. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的
一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水
面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．
15. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 ___．
16. 如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O中长度为定值的弦，AB＜CD．作AE⊥CD于E，连接AC，BC，
BE．下列四个结论中：①O到AB的距离为定值；②BE＝BC；③当OE＝AE时，∠ABC＝67.5°或22.5°；
④∠BAE+2∠ACD为定值．正确的是 ___．（填所有正确的序号）
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 解方程:x2－5x＋1=0.
18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 0 3 4 3 0 ……
求这个二次函数的表达式．
19. 如图，在⊙O中， ，求证：∠B＝∠C．
20. 已知，关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求 的取值范围．
21. 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝ ∠BAC．
为
作法：①以点A 圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝ ∠BAC．（ ）（填推理的依据）
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝ ．（ ）（填推理的依据）
∴∠CBD＝ ∠BAC．
22. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若OE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
23. 某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区 ，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的
栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形 的边 米，面积为 平方米．
（1）求活动区面积 与 之间的关系式，并指出 的取值范围；
（2）当 为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
24. 如图，以P为顶点的抛物线y＝ （x﹣m）2+k交y轴于点A，经过点P的直线y＝﹣2x+3交y轴于点
B．（1）用关于m的代数式表示k．
的
（2）若点A在B 下方，且AB＝2，求该抛物线的函数表达式．
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过
C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
的
26. 抛物线y＝x2﹣2mx﹣1+m2与x轴交于A，B两点，点A在点B 左侧．
（1）若点A的坐标为（0，0）．
①求抛物线的对称轴；
②当n≤x≤2时，函数值y的取值范围为﹣1≤y≤0，求n的取值范围；（2）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新的函数图象．当﹣ ≤x≤﹣1时，新
函数的函数值随x的增大而减小，直接写出m的取值范围．
27. 已知∠AOB＝45°，P为射线OB上一定点，OP＝2 ，M为射线OA上一动点，连接PM，满足∠OMP
为钝角．以点P为中心，将线段PM顺时针旋转135°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）Q为射线OA上一动点，E为MQ中点．连接PQ．若对于任意的点M总有ON＝PQ，请问点E的位
置是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出OE的值．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称
点P为图形M的“距2点”．
设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．（1）①点P（1，0），P（0，1），P（﹣1，﹣ ）中，是线段AB的“距2点”的是 ．
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②若P（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；
4
（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距2
点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．
