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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三年级 12 月阶段性练习
数学
一、选择题（本大题共24分，每小题3分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义依次判断即可．“把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能
够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，“把一个图形绕着某一个点旋转
后能够与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”．熟练掌握轴对称图形和中心
对称图形的定义是解题的关键．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
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【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线 的顶点坐标是： ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．
3. 用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为的正确形式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把常数项1移到方程右边，再把方程两边都加上16，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解： ，
x2−8x＝−1，
x2−8x＋16＝16−1，
（x−4）2＝15．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开
平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
的
4. 在一个不透明 口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个
球，恰好是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是概率公式，直接根据概率公式解答即可．
【详解】解： 在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，
从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率 ．
故选：A．
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5. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则 的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作 于点D，根据勾股定理求出 的长度，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图：过点A作 于点D，
在 中， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和正切的定义，解题的关键是构建直角三角形，根据勾股定理求出
的长度．
6. 如图，已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.
根据“两角对应相等，两三角形相似”可得 ，根据“相似三角形的面积比等于相似比的
平 方 ” 可 得 的 值 ， 设 ， ， 则 可 得 ， 由 此 可 求 得
的值.
熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键.
【详解】 ，
，
.
，
，
，
设 ，
则 ，
，
即 .
故选：D
7. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ，且在 轴左侧， 随 的增大而
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减小，则点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据函数图象的增减性可得判断图象所在象限，再根据点 P
的横坐标大于0，可得答案．
【详解】解： 反比例函数 的图象，在 轴左侧， 随 的增大而减小，
，反比例函数的图象在第一、三象限，
点P的横坐标大于0，
点 在第一象限．
故选A．
8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同
阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为 时，线段 的长度记为 ．下列描述正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当 时， 可能大于 ，故本选项不符合题意；
B、当 时， 可能大于 ，故本选项不符合题意；
C、当 时， ，故本选项符合题意；
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D、当 时， 不一定等于 ，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共24分，每小题3分）
9. 关于 的一元二次方程 的一个根为－1，则 的值为__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】把x=-1代入原方程，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】∵关于 的一元二次方程 的一个根为－1，
∴ ，
解得m=-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定
义，灵活代入计算是解题的关键．
10. 如图， 的直径 垂直于弦 ，则 ________ ．
【答案】38
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、圆周角定理等知识，根据垂径定理推出 ，推出
，再由 即可解决问题．
【详解】解： 是直径， ，
，
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，
，
，
故答案为：38．
11. 如图是函数 的部分图象，则该函数图象与 轴负半轴的交点横坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据图像得到二次函数的对称轴 为 ，并由此得到 ，再由函数与 轴正
半轴的交点横坐标为 得 ，综合两个式子可得 ，则函数表达式
可推得 ，将该式子进行因式分解后结合图像即可求解．
【详解】解：依图得：该二次函数的对称轴为 ，与 轴正半轴的交点横坐标为 ，
即 ， ，
由 可得 ，
将 代入 可得 ，
则函数表达式 ，
该函数图像与 轴负半轴交点的横坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是函数 的图像与性质、用待定系数法求二次函数解析式、求抛
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物线与 的交点坐标、因式分解，解题关键是根据图像找到 、 、 的关系．
12. 如图，将 绕着点 A 顺时针旋转 到 的位置，使点 E 首次落在 上．已知
， ，则 _________．
【答案】50
【解析】
【分析】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题
的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的
平分线重合（三线合一）．
过点A作 于F，先根据旋转的性质得 ，由三角形的外角定理得 ，进
而可求出 ，然后根据等腰三角形的性质得 ，据此可求出旋转角的度
数．
【详解】解：过点A作 于F，
根据旋转的性质得：旋转角为 ，
，
，
，
，
，
，
．
．
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故答案为：50．
13. 下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000
针与直线相交的次数
454 970 1430 1912 2386 4769 9548
m
针与直线相交的频率
p＝
0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线
相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是：_____．
【答案】②
【解析】
【分析】分析题意，对于①，根据投掷次数太少，频率不一定是概率，据此判断；
对于②，根据用频率估计概率的知识可作出判断；
对于③，根据概率的意义可作出判断，从而得到答案.
的
【详解】解：①当投掷次数是1000时，录“钉尖向上” 次数是454“钉尖向上”的频率是0.454，概率不一定
是0.454，错误.
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线
相交的概率是0.477，正确.
的
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上” 概率不一定是0.4769．故原说法错误.
综上可知，其中合理的是②.
【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握规则即可.
14. 《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西五里，南北九里，各开中门，出东
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门十里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形 ，东边城墙 长9里，南边城
墙 长5里，东门点 ，南门点 分别位于 的中点， 里，
经过 点，则 的长为___________里．
【答案】1.125
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学问题中的相似，
运用相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴
又∵ ，
∴
∴ （垂直于同一直线的两直线平行）
∴ （两直线平行同位角相等）
∴
∴
∴ ．
故答案为：1.125．
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15. 如图，矩形 的顶点 和正方形 的顶点 都在反比例函数 的图象上，点
的坐标为 ，则点 的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据 B
的坐标求出k，然后可设 ，再由正方形 ，建立关于a的方程，进而得解．
【详解】解： 点 的坐标为 ，且在反比例函数 的图象上，
，
反比例函数的解析式为 ，
点 在反比例函数图像上，
设 ，
，
或 ，
，
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，
，
故答案为： ．
16. 定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在 中， ， 的正对记
作 ．若 为锐角， ，则 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查三角函数和勾股定理的应用．过点B作 ，垂足为D，再由勾股定理求出
； ，再由勾股定理求出 ，进而求出 ．
【详解】解：在 中，过点B作 ，垂足为D，
∵ ，
设 为 ， 为 ，
则 ，
则 ，
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则 ，
则sad = ，
故答案为： ．
三、解答题（本题共72分，第17题5分，第18题6分，第19～20题，每题4分，第21～22
题，每小题5分，第23～26题，每小题7分，第27题8分，第28题7分）
17. 计算： ．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂，二次根
式的性质，特殊角的三角函数值计算即可；
【详解】解：
；
18. 用适当的方法解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程．
（1）运用公式法解方程即可；
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（2）运用十字相乘法分解因式解方程即可．
熟练掌握解一元二次方程的各种方法，选择恰当的方法解方程是解题的关键．
【小问1详解】
，
，
， ．
【小问2详解】
由 得
，
， ．
19. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且 ，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ＝ ，
即 ，
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解得：AE＝ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的
图象的一个交点坐标为 ．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，反比例函数 的值大于一次函数 的值，直接
写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图象的特点，交点的意
义，函数值比较大小的方法，不等式的性质即可求解．
（1）把图象的一个交点的横坐标为1代入一次函数，计算出交点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）根据题意联立方程组求出一次函数与反比例函数的交点，再根据反比例函数值大于一次函数的函数
值，由此即可求解．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象与反比例函数 的图象的一个交点的横坐标为
1，
代入一次函数得， ，
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交点坐标为 ，
把交点坐标代入反比例函数 得， ，
，
反比例函数解析式为 ．
【小问2详解】
解：由（1）得，反比例函数解析式为 ，函数图象经过第一、三象限，
联立方程组得， ，
解得， 或 ，
一次函数 与反比例函数 的交点是 ， ，
若当 时，对于 的每一个值，反比例函数 的值大于一次函数 的值，
，解得， ，
．
21. 如图，在 中， ．
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（1）求 的长；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，直接写出 的值．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理．
（1）过A点作 于D点，先根据 求出 的长，进而可知 的长，再根据
可求出 的长，由此可得 的长；
（2）作 于F点，先根据勾股定理求出 的长，再根据 求出
的长，再根据勾股定理求出 的长，即可求出 的值．
熟练掌握三角函数的定义及用面积法求三角形的高是解题的关键．
【小问1详解】
解：过A点作 于D点，
则 ，
，
，
．
，
，
．
【小问2详解】
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解：作 于F点，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
22. 将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________；
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为 ，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上
的数字记为 ．请用列表或画树状图的方法求关于 的一元二次方程 有实根的概率．
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件．
（1）根据数字 、2、3、4 四的张卡片，从这四张卡片中随机抽取一张，即可求出抽到一张恰好是偶数的
概率；
（2）随机抽出一张，记其数字为 ，不放回，再随机抽出一张，记其数字为 ，画出树状图，再根据根的
判别式即可求出关于 的方程 有实数根的概率．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
树状图为：
∵有实数根的概率
∴
∴
共有12种等可能结果，其中满足方程 有实数根的结果有6种，
（方程 有实数根） ．
23. 如图，在正方形 中， 为 边上一点， 交 于点 ．
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（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，延长 交 延长线于点 ，直接写出 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，能够正确找到相似三角形是解决本题的关
键．
（1）利用“一线三直角”即可证明 ；
（2）由 ， ，求出 和 的长，利用 求出 的长度；
（3）由 求出 的长度，再由勾股定理求出 的长．
【小问1详解】
证明： 四边形 为正方形，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
四边形 为正方形，
，
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∵ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解： 四边形 为正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 跳绳是大家喜欢的一项体育运动．集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形
状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度
都为 ，并且相距 ．当身高为 的小红站在小明右侧绳子的下方，且距小明拿绳子的手 时，
绳子恰好碰到小红的头顶．现以两人的站立点所在的直线为 轴，过小明拿绳子的手作 轴的垂线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系．
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（1）求绳子所对应的抛物线的解析式；
（2）若身高为 的小蓝也站在绳子的下方，
①当小蓝在距小明拿绳子的手右侧 时，绳子___________（“会”或“不会”）碰到小蓝的头顶；
②设小蓝与小明拿绳子的手之间的水平距离为 ，为保证绳子不会碰到小蓝的头顶，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）①不会；②
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由题知此抛物线经过 三点，将
这三点代入 中，求出a、b、c的值，即可得抛物线的解析式；
（2）①根据抛物线的解析式求出 时y的值，若 则绳子不会碰到小蓝的头顶，若 则
绳子会碰到小蓝的头顶；
②求出 时x的两个值，即可知d的范围．
本题考查了二次函数，掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
【小问1详解】
设抛物线的解析式为 ，
由题知，此抛物线经过 三点，
，
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解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
①当 时， ，
∴绳子不会碰到小蓝的头顶，
故答案为：不会．
②由 得，
时， ，
则 ，
，
，
解得 ，
为保证绳子不会碰到小蓝的头顶，
∴d的取值范围是： ．
25. 如图，在 Rt 中， ，以 为直径的 交 于点E，点D是 边上的中点，
连接 ．
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（1）求证： 与 相切；
（2）连接 交 于点F，若 的半径为3， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 、 ，先证 ，再证明 ， ，即
可证出 ，即可证出 与 相切.
（2连接 ，先求出 的长，证明 与 相切，根据切割线定理求出 ，再证明OD是
的中位线，得出比例式即可求出 的值.
【小问1详解】
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证明：连接 、 ，如图所示：
，
，
是直径，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
，
，
且点E在圆上，
与 相切；
【小问2详解】
连接 ，如图所示：
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，
，
，
，
，
与 相切
，
O是 的中点，D是 的中点，
OD是 的中位线，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质以及中位
线定理的运用；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.
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26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，且 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）点 在抛物线上，若 ，试比较 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函
数的必解答，（1）将的值代入抛物线和，然后即可求得的值；（2）先求出的取值范围，再根据二次函数
的性质，即可得到 与 的大小关系．
【小问1详解】
解：∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
同时 ，且对称轴为直线 ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
∵点 在抛物线 上，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
，
，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ．
27. 如图，在 中，将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，将 绕点 顺时针旋转 得线
段 ，连接 ，取 中点 ，连接 ．
（1）依题意补全图，求证： ，
（2）用等式表示 和 之间的数量关系，并证明；
（3）若 ，直接写出 的长．
【答案】（1）见详解 （2） ，理由见详解
（3）
【解析】
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【分析】（1）延长 、 EC相较于F点，根据四边形 的内角和等于 ，和 的内角
和等于 即可证明 ；
（2）将 绕 C 点沿逆时针方向旋转 至 ，连接， 、 、 ，先根据 证明
， 则 可 得 ， ， 由 可 得
．再根据 证明 ，则可得 ，再证B、O、G三点共线，由等腰
三角形三线合一可得 ， ，由此可得 和 之间的数量关系．
（3）连接 ，则可得 为等腰直角三角形，先证 三点共线，再证 ，则
可得 ，由 可得 ．
【小问1详解】
如图，延长 、 EC相较于F点，
．
∵四边形 中 ，
．
又 中， ，
．
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【小问2详解】
如图，将 绕C点沿逆时针方向旋转 至 ，连接， 、 、 ，
，
．
又 ，
，
．
又 ，
．
， ，
．
又∵点 是 中点，
，
在 和 中
，
，
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．
，
，
∴B、O、G三点共线．
中 ，
，
且 ，
，
，
．
【小问3详解】
如图，连接 ，
，
．
，
，
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三点共线．
，
．
，
．
，
．
又 ，
，
．
中 ，
，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等
腰直角三角形的性质．综合性强，难度较大．正确的作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，已知点 ，点 不在 上，给出如下定义：
上存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 在 上，则称点 为点 关于 的反射点．
（1）在点 中，点 关于 的反射点是___________；
（2）若点 是点 关于 的反射点，直接写出 的取值范围；
（3）点 是直线 上的动点， ，且点 是点 关于 的反射点，当
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最小时，
①直接用等式表示 与 的数量关系；
②直接写出 的长度．
【答案】（1） ；
（2） 或 ．
（3）① ，② ；
【解析】
【分析】（1）根据新定义的含义，分别画图，确定 是否在 上，即可得到答案；
（ 2 ） 设 ， 则 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得 ，
，结合新定义可得： ，整理得：
，结合 ，可得： 或 ．
（3）①如图，点 是点 关于 的反射点，当 最小时，可得 与 相切，切点为 ，记
的中点为 ，记 与 轴的交点为 ，连接 ， ，证明 ， ，求解
，可得 ，设 ，利用勾股定理建立方程组可得 ，可得
；②由①得： ．
【小问1详解】
解：如图，∵ 与原点重合，而 ，
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∴ 不是点 关于 的反射点；
如图，∵ ，
当 时， ，
∴ 是点 关于 的反射点；
如图，当 过圆心 时， 最长，此时 ，
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∴ ，
∴ 不可能在 上，
∴ 不是点 关于 的反射点；
【小问2详解】
设 ，则 ，
∵ ， ，
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∴ ， ，
由新定义可得： ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
由反比例函数的性质可得： 或 ．经检验符合题意.
【小问3详解】
①如图，点 是点 关于 的反射点，当 最小时，
∴ 与 相切，切点为 ，记 的中点为 ，记 与 轴的交点为 ，连接 ， ，
则 ， ，
∵直线 为，
∴当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，设 ，
∴ ，
解得： ，（不合题意的根舍去），
∴ ，
∴ ；
②由①得： ．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的应用，勾
股定理的应用，一元二次方程的解法，切线的性质，新定义的含义，理解新定义的含义，熟练的利用数形
结合的方法解题是关键．
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