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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市第十四中学 2023-2024 学年九年级上学期月考数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，共26道小题，满分100分．考试时间100分钟．
2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．
3．试题答案一律填涂或书写在等题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．答题不得使用任何涂改工具．
一、选择题（本题共20分；每小题2分）
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点即可求得顶点坐标．
【详解】解： 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 ．
故选： ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式 ，顶点坐标是 ，
对称轴是 ．
2. 将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A. y=2(x+1)2+3 B. y=2(x－1)2－3 C. y=2(x+1)2－3 D. y=2(x－1)2+3
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线平移不改变a的值求解此题．
【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为
（-1，3）．
可设新抛物线的解析式为y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．
故选：A．
3. 下面是李宏同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
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A. 若 ，则 B. 方程 的解为
C. 方程 一个实数根为0 D. 方程 有两个相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】通过解方程可判断A，B，把方程的解代入原方程可判断C，利用根的判别式的值的情况可判断
D，从而可得答案．
【详解】解：若 ，则 ，故A不符合题意；
∵
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
方程 的解为 ，表述错误，B不符合题意 ，
把 代入方程 不满足方程，
∴方程 一个实数根为0，表述错误，故C不符合题意，
∵ ，
∴ ，
∴方程 有两个相等的实数根，表述正确，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法与根的判别式的应用，熟练的解一元二次方程以及根据根的判
别式的值判断根的情况是解本题的关键．
4. 如图所示，抛物线顶点坐标是 ，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的图象找到抛物线的顶点和对称轴，即可研究抛物线的增减性．
【详解】由图可得，抛物线开口向下，且抛物线的顶点坐标为 ，即对称轴为 ，
当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，能够准确找到抛物线的顶点是解决本题的关键，注意找的是
x的取值范围而不是y的取值范围．
5. 将抛物线 绕原点O旋转 ，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线 绕原点O旋转 得到旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，即可
得到答案；
【详解】解：∵抛物线 绕原点O旋转 ，
∴旋转后的抛物线与原抛物线关于原点对称，
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∴旋转后 的抛物线： ，
即 ．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是根据原点旋转 得到关于原点对称．
6. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式
的意义得到 且 ，然后求出两不等式解集的公共部分即可求解，掌握一元二次方程的定义及根
的判别式是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， 且 ，
解得 且 ，
故选： ．
7. 将代数式 配方后，发现它的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式配方后，即可确定最小值．
【详解】解： ，
当 时，代数式有最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
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8. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论∶① ② ；③ ；
④ 其中正确的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象可确定 和 的符号，根据 的
函数值和对称轴的位置即可得出答案，解题的关键是要能根据图象确定 ， 的符号，能确定
是 时的函数值．
【详解】解：由二次函数的图象可知开口向下，
故①符合题意，
∵由图象可知，当 时， 故②不符合题意，
∵二次函数的图象与 轴的交点在 轴的上方，
故③符合题意，
∵由图象可知抛物线的对称轴在 和 之间，
故④符合题意，
∴正确的个数有 个，
故选：B．
9. 股市每天的涨、跌幅均不超过 ，即当上涨了原价的 后，便不能再涨，叫做涨停；当下跌了原
价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此
股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设某天跌停前的价格为a元，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设某天跌停前的价格为a元，
由题意得， ，
即 ，
∴ ，
故选：C．
10. 在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）
A. y B. y C. y D. y
1 2 3 4
【答案】A
【解析】
【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．
【详解】由图象可知：
抛物线y 的顶点为（-2，-2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y= （x+2）2-2；
1 1
抛物线y 的顶点为（0，-1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y=x2-1；
2 2
抛物线y 的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y=（x-1）2+1；
3 3
抛物线y 的顶点为（1，-3），与y轴的交点为（0，-1），根据待定系数法求得y=2（x-1）2-3；
4 4
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综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y
1
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐
标求得解析式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每空2分)
11. 已知 是关于 的一元二次方程，则实数 的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：由题意可知： ，
，
故答案为： ，
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
12. 已知x＝1是一元二次方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m2＋2mn＋n2的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意首先求出 ，再将所求式子因式分解，最后代入求值即可．
【详解】把 代入一元二次方程 得 ，
所以 .
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及因式分解求代数式的值，明确方程的解的意义即熟练因式分解是
解决问题的关键．
13. 已知函数 若它是二次函数，则m值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义可得 ， ，再解一元二次方程即可求解．
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【详解】解：由题意得， ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：2．
14. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB
平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，则小路的宽为 _____．
【答案】1m
【解析】
【分析】设小路的宽为x m，则种草的部分可合成长为（16-2x）m，宽为（9-x）m的矩形，利用矩形的面
积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路的宽为xm，则种草的部分可合成长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m的矩形，
依题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
整理得：x2﹣17x+16＝0，
解得：x＝1，x＝16．
1 2
当x＝1时，16﹣2x＝14＞0，符合题意；
当x＝16时，16﹣2x＝﹣16＜0，不合题意，舍去．
故答案为：1m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且
∠AOC=105°，则∠C=____°．
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【答案】45
【解析】
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质得到 的度数，再由∠AOC=105°，计算得到 的度
数，最后由三角形外角和得到 的度数，即可知道 的度数．
【详解】解：∵ 是由 绕点O顺时针旋转40°后得到的图形
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
故答案为：45
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，学会数形结合处理相关的数据是
解题的重点．
16. 若抛物线 的顶点在 轴上，则 __________．
【答案】
【解析】
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【分析】将抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标，然后根据顶点在 x轴上，可得顶点纵坐标为0，然
后求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∵顶点在 轴上，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，求出顶点坐标是解题的关键．
的
17. 抛物线 ，对称轴为直线 ，且经过点 ，则 值为
___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线 的对称性作答即可．
【详解】∵对称轴为直线 ，
∴ 和 的函数值相同，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
18. 关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在第___________
象限．
【答案】四
【解析】
【分析】由于关于x的一元二次方程 无实数根，由此可以得到此方程的判别式是负数，这
样可以得到关于n的不等式，解不等式求出n的取值范围，再求解抛物线 顶点坐标，就可
以判断顶点所在象限．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根，
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∴ ，
∴ ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴顶点坐标 ，
∴顶点在第四象限．
故答案为四．
【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点个数，顶点坐标，一元二次方程的解，熟练掌握二次函数的性质是
解题关键．
三、解答题（本题共64分）
19. 解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4） ，
【解析】
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【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）移项后直接开平方即可求解；
（2）直接因式分解法即可求解；
（3）直接因式分解法即可求解；
（4）移项后，利用平方差公式进行分解因式即可求解；
【小问1详解】
解： ，
移项得 ，
由此可得 ， ．
【小问2详解】
解：
分解因式得 ，
由此可得 ， ．
【小问3详解】
解：
分解因式得 ，
由此可得 ， ．
【小问4详解】
解：
移项得 ，
分解因式得 ，
整理得 ，
由此可得 ， ．
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20. 已知 ，求 的值．
【答案】9．
【解析】
【分析】将 化为 ，整体代入化简后的代数式即可．
【详解】解：∵ ，∴ .
∴ ．
【点睛】本题考查整式的混合运算及化简求值，掌握完全平方公式和单项式乘多项式的法则正确计算是解
题关键．
21. 如图，在平面直的坐标系xOy中， 的顶点坐标分别为 ， 绕点
顺时针旋转 得倒 ，点 旋转后的对应点为 ．
（1）画出旋转后的图形 ；
（2）写出点 的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2） ，
【解析】
【分析】本题主要考查了作旋转图形，对于（1），分别将点A，B绕原点顺时针旋转 ，再连接即可得
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出图形；
对于（2），根据作图可得答案．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
根据（1）可知点 ，点 ．
22. 已知二次函数 ．
（1）该函数的顶点坐标是___________，与x轴的交点坐标是___________．
（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；
（3）根据图象回答：当 时，y的取值范围是___________．
【答案】（1） ； ， ．
（2）画图见解析 （3）
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【解析】
【分析】（1）先把抛物线化为顶点式可得得到坐标，再令函数值 ，可得 ，可得抛物
线与x轴的交点坐标；
（2）先列表，再描点，再画图即可；
（3）根据函数的图象得到当 时，y的最大值与最小值即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴顶点坐标为： ，
令 ，则 ，
∴ ，
解得： ， ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为： ， ．
【小问2详解】
列表如下：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 0 3
描点并画图，
【小问3详解】
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根据图象可得当 时，最小值为 ，
当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是把抛物线化为顶点式，顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标，画抛物线的图象，抛
物线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
23. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证:该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求 的取值范围．
（3）若该方程的两根满足 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程；
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 ， ，根据方程有一根小于 ，即可得出 的
取值范围；
（3）因式分解解一元二次方程，得出 ，则 ，进而即可求解．
【小问1详解】
解: ∵
∴ ，
∴不论 为任何实数，方程总有两实数根；
【
小问2详解】
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∵ ，
∴ ，
解得： ， ，
∵该方程有一个根小于2，
∴ ．
【小问3详解】
由题意得 ，
即方程有两等实数根，
当 时，即 时满足题意．
24. 已知P（－3，m）和Q(1，m)是抛物线y＝2x2＋bx＋1上的两点．
(1)求b的值；
(2)判断关于x的一元二次方程2x2＋bx＋1＝0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理
由；
(3)将抛物线y＝2x2＋bx＋1的图象向上平移k(k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的
最小值．
【答案】（1）b=4；（2） ， ；（3）k的最小值为2.
【解析】
【详解】解：（1）∵点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，
∴P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．
∴抛物线对称轴x＝ ，
∴b＝4；
（2）由（1）可知，关于x的一元二次方程为2x2＋4x＋1＝0．
∵△＝b2−4ac＝16−8＝8＞0，
∴方程有实根，
∴
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解得： ， ；
（3）由题意将抛物线y＝2x2＋bx＋1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无
交点，
∴设为y＝2x2＋4x＋1＋k，
∴方程2x2＋4x＋1＋k＝0没有实数根，
∴△＜0，
∴16−8（1＋k）＜0，
∴k＞1，
∵k是正整数，
∴k的最小值为2．
25. 已知：二次函数 的图象过点 和 ．
（1）求二次函数的表达式及对称轴；
（2）将二次函数 的图象在直线 上方的部分沿直线 翻折，图象其余的部分保持
不变，得到的新函数图象记为G，点 在图象G上，且 ，画出新函数G的图象，并直接写
出m的取值范围．
【答案】（1） ，抛物线的对称轴为直线 ．
（2）画图见解析，m的取值范围为 或 ．
【解析】
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【分析】（1）把点 和 代入 ，根据待定系数法即可求得，再化为顶点式即
可得到对称轴方程；
（2）求得翻折部分的解析式，然后令y=0，求得新函数图象G，与x轴的交点，根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：二次函数 的图象过点 和 ：
，
解得： ，
则二次函数解析式为 ；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ．
【小问2详解】
∵ ，
∴顶点坐标为： ，
顶点 翻折后成为 ，
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∴翻折部分的解析式为 ，
点M只能位于x轴上方（含x轴上）的图象上，，
把 ，代入 得 ，
解得： 或 ，
把 ，代入 得， ，
解得 或 ，
根据图象G，可得m的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，求得翻折后的函数的
解析式是解题的关键．
26. 已知：如图①，在正方形 中，点 是 上一个动点，点 在 的延长线上，且 ，
连接 ， ， ． 平分 ，交 于点 ，连接 ．
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（1）直接写出 与 的数量关系与位置关系；
（2）求证： ；
（3）如图②，当点 在射线 上运动时，过 作 于点 ，直接写出线段 ， 与
之间的数量关系．
【答案】（1） ，
（2）见解析 （3）当点 在边 的延长线上， ；当点 在边 的延长线上，
【解析】
【分析】（1）证明 ，可得 ， ，则 ，
所以 ；
（ 2 ） 由 ， 得 ， 由 ， 得
， 所 以 ， 而 ， 则 ， 所 以
；
（3）分两种情况，一是点 在边 上，作 于点 ， 于点 ，先证明四边形
是正方形，根据角平分线的性质得 ，再证明 ， ，
得 ， ， 即 可 推 导 出 ， 其 中
，则 ，所以 ；二是点 在边 的
延长线上，作 交 的延长线于点 ， 交 的延长线于点 ，先证明四边形
是正方形，根据角平分线的性质得 ，再证明 ，
得 ， ，即可推导出 ，所以
， 其 中 ， 所 以
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，得 ．
【小问1详解】
解： ， ，
理由：如图①，
四边形 是正方形，
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【小问2详解】
证明：如图①，
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平分 ，
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【小问3详解】
解：如图②，当点 在边 上，作 于点 ， 于点 ，
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四边形 是矩形，
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四边形 是正方形，
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同理， ，
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如图③，当点 在边 的延长线上，作 交 的延长线于点 ， 交 的延长
线于点 ，
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四边形 是矩形，
， ，
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四边形 是正方形，
， ， ，
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， ， ，
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同理， ，
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，
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综上，当点 在边 延长线上， ；当点 在边 的延长线上， ．
的
【点睛】此题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理
及其推论等知识，解题过程中还应注意分类讨论，求出所有符合题意的结论．
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