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2023年高考押题预测卷01【全国甲卷】
理科数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C D C D B A B D A B C
13．9 14．16 15． 16．3
【解答题评分细则】
17．解：（1）证明：因为
所以 （1分）
所以
即 （3分）
所以 （4分）
（2）由余弦定理得： （5分）
（6分）
又 （7分）
所以 ， （9分）
由角平分线定理可得， ， （10分）
在 中，由余弦定理得： （11分）所以 （12分）
18．解：（1） 为正常工作的设备数，由题意可知 （不写不扣分）
（1分）
（2分）
（3分）
（4分）
从而 的分布列为
0 1 2 3
由 ，则 （6分，分步列1分）
（2）设方案1､方案2的总损失分别为 ，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到 ，由（1）可知计算机网络断掉的概率为 ，
不断掉的概率为 （7分）
故 元（9分）
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 ，可知计算机网络断掉的概率为
（10分）
故 （11分）
因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2（12分）
19．解：（1）因为四边形 是正方形，所以 ， ．
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 （1分）
因为 平面 ，所以平面 平面 （2分）因为 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 （3分）
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 （4分）
因为 平面 ，所以 ．
因为BD∩DF=D， ， 平面 ，所以 平面 （5分）
因为 平面 ，所以平面 平面 （6分）
（2）由（1）知，直线 ， ， 两两互相垂直，以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为
轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，如图，
则 ， ， ， ， （8分，建系正确给一分）
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则有 得 所以 ．
取 ，得 ，所以可取 （10分）
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 （11分）
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 （12分，不叙述扣1分）20．解：（1）设 的焦距为 ，由题意知 ,解得 （3分）
故 的方程为 （4分）
（2）
设 ，
联立
消去 整理得 ，
所以 ，即 ，
且 ， ．（6分）
因为点P是线段MN靠近点N的四等分点，
所以 ，所以 ，
所以 ．
所以
所以 ，
整理得 （9分）显然 不成立，所以 （10分）
因为 ，所以 ，即 （11分）
解得 ，或 ，
所以实数m的取值范围为 （12分）
21．解：（1）（1）∵ ，∴ （1分）
∵ 在 上是增函数，
∴ 在 上恒成立，可得 在 上恒成立（2分）
令 ，则 （3分）
当 时， ，∴ 在 上是增函数，
∴ （4分）
∴ ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 （5分）
（2）若 ，则 ．
下面证明当 时，不等式 成立，
令 ， ，则 ．
令 ，得 ，令 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 （7分）
所以当 时， ，即 ①恒成立．要证当 时， 恒成立，即证 恒成立，
即证 恒成立（8分）
结合①式，现证 成立，即证 在 上恒成立（9分）
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 即 恒成立（11分）
因为①②两式取等号的条件不一致，故 恒成立．
即当 时， 恒成立．（12分）
22．解：（1）连接 ，因为 是直径，所以 ，
在 中， ， ，
∴ ，∴点B的极坐标为 （2分）
在正方形OBCD中， ， （3分）
∴点C的极坐标为 （4分）（2）设 ， ，且 ①（5分）
由题意可得 的直角坐标为 ，所以曲线M的普通方程为 即
（6分）
将 代入曲线M的普通方程得极坐标方程为 （7分）
当 时，O，B两点重合，不合题意（8分）
∴点B的极坐标方程为 （9分）
将①式代入得点D的极坐标方程为 （10分）
23．解：（1） ，
若 ，则 ，得2>1，即 时恒成立；（1分）
若 ，则 ，得 ，即 ；（2分）
若 ，则 ，得 ，此时不等式无解. （3分）
综上所述， 的取值范围是 .（5分）
（2）由题意知，要使不等式恒成立，
只需 .（6分）
当 时， ， .（7分）因为 ，
所以当 时， .（8分）
于是 ，解得 .（9分）
结合 ，所以 的取值范围是 .（10分）
