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初三年级 12 月阶段性练习
数学
一、选择题（本大题共24分，每小题3分）
的
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形 是（ ）
A. B.
C. D.
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为的正确形式是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个
球，恰好是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则 的值是（ ）
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A. 1 B. C. D.
6. 如图，已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ，且在 轴左侧， 随 的增大而
减小，则点 在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同
阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为 时，线段 的长度记为 ．下列描述正确的是（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
二、填空题（本大题共24分，每小题3分）
9. 关于 的一元二次方程 的一个根为－1，则 的值为__________．
10. 如图， 的直径 垂直于弦 ，则 ________ ．
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11. 如图是函数 的部分图象，则该函数图象与 轴负半轴的交点横坐标是___________．
的
12. 如图，将 绕着点 A 顺时针旋转 到 位置，使点 E 首次落在 上．已知
， ，则 _________．
13. 下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000
针与直线相交的次数
454 970 1430 1912 2386 4769 9548
m
针与直线相交 的频率
p＝ .
0.454 0.485 0.4767 0478 0.4772 0.4769 0.4774
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线
相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是：_____．
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14. 《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西五里，南北九里，各开中门，出东
门十里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形 ，东边城墙 长9里，南边城
墙 长5里，东门点 ，南门点 分别位于 的中点， 里，
经过 点，则 的长为___________里．
15. 如图，矩形 的顶点 和正方形 的顶点 都在反比例函数 的图象上，点
的坐标为 ，则点 的坐标为___________．
16. 定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．例如，在 中， ， 的正对记
作 ．若 为锐角， ，则 ___________．
三、解答题（本题共72分，第17题5分，第18题6分，第19～20题，每题4分，第21～22
题，每小题5分，第23～26题，每小题7分，第27题8分，第28题7分）
17. 计算： ．
18. 用适当的方法解下列方程：
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（1） ；
（2） ．
19. 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且 ，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．
20. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的
图象的一个交点坐标为 ．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，反比例函数 的值大于一次函数 的值，直接
写出 的取值范围．
21. 如图，在 中， ．
（1）求 的长；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，直接写出 的值．
22. 将背面完全相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片上的数字是偶数的概率为___________；
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，卡片上的数字记为 ，再从剩下的卡片中随机抽取一张，卡片上
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的数字记为 ．请用列表或画树状图的方法求关于 的一元二次方程 有实根的概率．
23. 如图，在正方形 中， 为 边上一点， 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长；
（3）在（2）的条件下，延长 交 延长线于点 ，直接写出 的长．
24. 跳绳是大家喜欢的一项体育运动．集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形
状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度
都为 ，并且相距 ．当身高为 的小红站在小明右侧绳子的下方，且距小明拿绳子的手 时，
绳子恰好碰到小红的头顶．现以两人的站立点所在的直线为 轴，过小明拿绳子的手作 轴的垂线为 轴，
建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求绳子所对应的抛物线的解析式；
（2）若身高为 的小蓝也站在绳子的下方，
①当小蓝在距小明拿绳子的手右侧 时，绳子___________（“会”或“不会”）碰到小蓝的头顶；
②设小蓝与小明拿绳子的手之间的水平距离为 ，为保证绳子不会碰到小蓝的头顶，求 的取值范围．
25. 如图，在 Rt 中， ，以 为直径的 交 于点E，点D是 边上的中点，
连接 ．
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（1）求证： 与 相切；
（2）连接 交 于点F，若 的半径为3， ，求 的值．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，且 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）点 在抛物线上，若 ，试比较 与 的大小关系，并说明理由．
27. 如图，在 中，将 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，将 绕点 顺时针旋转 得线
段 ，连接 ，取 中点 ，连接 ．
（1）依题意补全图，求证： ，
（2）用等式表示 和 之间的数量关系，并证明；
（3）若 ，直接写出 的长．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，已知点 ，点 不在 上，给出如下定义：
上存在一点 ，使点 关于直线 的对称点 在 上，则称点 为点 关于 的反射点．
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（1）在点 中，点 关于 的反射点是___________；
（2）若点 是点 关于 的反射点，直接写出 的取值范围；
（3）点 是直线 上的动点， ，且点 是点 关于 的反射点，当
最小时，
①直接用等式表示 与 的数量关系；
②直接写出 的长度．
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