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北京市海淀区清华附中 2022－2023 学年八年级（上）10 月月考数学
试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据分式的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A. 分母中不含有字母，故 不是分式，不符合题意；
B. 分母中不含有字母，故 不是分式，不符合题意；
C. 分母中含有字母，故 是分式，符合题意；
D. 没有分母，故 不是分式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果 （ 不等于零）表示两个整式，且 中含有字母，
那么式子 就叫做分式，熟练掌握此定义是解题的关键．
2. 若分式 的值为0，则x的值为（ ）．
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得.【详解】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
3. 下列分式是最简分式的是( )
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分.判断的方法是把分子、分母分解因式，
并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分.
【详解】解：A、该分式的分子、分母中含有公因数a，则它不是最简分式.故本选项错误；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式.故本选项错误；
C、该分式符合最简分式的定义.故本选项正确.
D、分母为(x+1)(x﹣1)，所以该分式的分子、分母中含有公因式(x+1)，则它不是最简分式.故本选项错误；
故选：C.
【点睛】本题考查了对最简分式，约分的应用，关键是理解最简分式的定义．
4. 若将分式 中的 、 都扩大10倍，则该分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大到原来的10倍
C. 扩大到原来的100倍 D. 缩小到原来的
【答案】B
【解析】
【分析】分别将 、 都扩大10倍，计算一下，然后与原分式进行比较即可得出结论．
【详解】将分式 中的 、 都扩大10倍为故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
5. 分式 可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的基本性质进行变形即可得到答案．
【详解】解： ，
分式 可变形为 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据分式的基本性质判断分式的变形，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和
分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，是解题的关键．
6. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. ＝b+1 D. ＝a+b
【答案】B
【解析】
【分析】 等式成立的条件是a＝0或a＝b时；因式分解法化简分式 ＝ ；根据
分式的基本性质化简 ＝b+ ．
【详解】解：A. 与 在a＝0或a＝b时才成立，故选项A不正确；B. ＝ ＝ ，故选项B正确；
C. ＝b+ ，故选项C不正确；
D. 不能化简，故选项D不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的基本性质.
7. 解分式方程 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A. x+1＝2（x﹣1） B. x﹣1＝2（x+1） C. x﹣1＝2 D. x+1＝2
【答案】D
【解析】
【分析】先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案；
【详解】解：由题意可得最简公分母为（x+1）（x-1）
去分母得：x+1＝2，
故答案为D．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解答的关键在于最简公分母的确定.
8. 下列运算结果最大的是（ ）
A. （ ）﹣1 B. 20 C. 2﹣1 D. （﹣2）2
【答案】D
【解析】
【分析】将各数化简即可求出答案．
【详解】解： ， ， ， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是实数，解题的关键是正确理解零指数幂以及负整数指数幂的意义，本题属于基
础题型．
9. 若分式 运算结果为 ，则在“□”中添加的运算符号为( )A. + B. — C. —或÷ D. +或×
【答案】C
【解析】
【分析】依次计算+、－、×、÷，再进行判断.
【详解】当□为“－”时， ；
当□为“+”时， ；
当□为“×”时， ；
当□为“÷”时， ；
所以结果为x的有—或÷.
故选C.
【点睛】考查了分式的加、减、乘、除运算，解题关键是熟记其运算法则.
10. 一艘轮船往返甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为 千米时，第二次往返航行时，正遇
上发大水，水流速度 千米时（ ），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所
用时间的关系是（）
A. 第一次往返航行用的时间少 B. 第二次往返航行用的时间少
C. 两种情况所用时间相等 D. 以上均有可能
【答案】A
【解析】
【分析】甲乙两港之间的路程一定，可设其为 ，两次航行中的静水速度设为 ，所用时间=顺流时间+逆
流时间，注意顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度﹣水流速度，把相关数值代入，比较即
可.
【详解】解：设两次航行的路程都为 ，静水速度设为 ，
第一次所用时间为：
第二次所用时间为：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴
∴第一次的时间要短些.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了列代数式，得到两次所用时间的等量关系是解决本题的关键.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论厚度为 ，
这个数据用学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ， 为整数，确定 的值时，要看
把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10
时， 是正整数，当原数绝对值小于1时， 是负整数．
【详解】解：0.00000000034用学记数法可表示为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值．
12. 方程 的解是____________．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：1-x=0，
解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：x=1．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
13. 化简 的结果为______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式的加减法法则“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通
分，变为同分母的分式，再加减”即可得.
【详解】原式
.
【点睛】本题考查了分式的加减法法则，熟记运算法则是解题关键.
14. 若关于 的分式方程 无解．则 的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】解分式方程得 ，由分式方程无解可得 ，从而可得 ，进行计算即可得到答
案．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ，
关于 的分式方程 无解，
，
，
，解得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题、解分式方程，分式方程无解有两种情况：一种是把分式方
程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式
方程的分母为0，是增根．
15. 甲完成一项工作需要 天，乙完成该项工作需要的时间比甲多3天，则乙一天能完成的工作量是该项
工作的______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得乙完成一项工作需要 天，把此项工作看成单位1，从而即可得出答案．
【详解】解： 甲完成一项工作需要 天，乙完成该项工作需要的时间比甲多3天，
乙完成一项工作需要 天，
把此项工作看成单位1，则乙一天能完成的工作量是该项工作的 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键．
16. 已知 ， ， ，…， （ 为正整数），则化简 的结果
为______．（结果用含 的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】先求出 、 、 、 的值，从而得出三个为一个循环，由 可得 ，
即可得到答案．【详解】解： ， ， ，…， （ 为正整数），
，
，
，
，
，
由上可知，三个为一个循环，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用代数式表示数的规律，通过计算得出三个为一个循环是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂，再将分式的除法转换为分式的乘法，最后进行约分即可得到答案．【详解】解：
．
【点睛】本题提要考查了负整数指数幂、分式乘除混合运算，熟练掌握分式乘除混合运算法则是解题
的关键．
18. 计算： ．
【答案】 ．
【解析】
【分析】先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，然后计算加减运算，即可得到答案．
【详解】解：
=
= ．
【点睛】本题考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂，以及有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法
则进行计算．
19. 解分式方程： ．
【答案】
【解析】【分析】先将原方程变形为 ，然后去掉分母使分式方程转化为整式方程，求出
整式方程的解得出 的值，最后再进一步检验即可.
【详解】原方程可变形为：
方程两边同时乘以 可得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得： ，
经检验，当 时， ，
∴原方程的解为 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，熟练掌握相关方法是解题关键.
20. 已知关于 的方程 的解为 ，求 的值．
【答案】 的值为
【解析】
【分析】把 代入方程 得到关于 的分式方程，解分式方程即可得到答案．
【详解】解：把 代入方程 ，
得 ，
去分母得： ，
解得： ，检验，当 时， ，
是分式方程 的解，
的值为 ．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，熟练掌握分式方程的解的定义以及解分式方程的步
骤是解题的关键，注意要检验．
21. 已知关于x的方程 的根是x=1，求 的值．
【答案】 的值为 ．
【解析】
【分析】把x=1代入方程 ，得到关于 的方程，解关于 的分式方程，求解方程即可.
【详解】把x=1代入方程 ，
得 ，
解得 ，
∴ 的值为 ．
【点睛】考查分式方程中的参数问题，熟练掌握分式方程的解法，方程的解的定义是解题的关键.
22. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，【解析】
【分析】括号内先通分，再将分式的除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将 代入化简后的
式子进行计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
23. 对于实数 ， ．定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是通常的四则运算．例
如： ．解方程 ．
【答案】
【解析】
【分析】由新运算“ ”为： 方程 ，解分式方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
， ，，
去分母得： ，
解得： ，
检验，当 时， ，
是原分式方程的解．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，理解题意，正确列出分式方程是解此题的关
键．
24. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价6元出售，很
快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1680元所购该书
的数量比第一次多50本，当按定价售出300本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元?
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱，赔多少；若赚钱，
赚多少?
【答案】（1）第一次购书的进价是4元；（2）该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元
【解析】
【分析】(1)设第一次购书的进价为x元，列分式方程 解答；
(2)根据利润=销售数量乘以每本书的利润分别求出两次购书所赚钱数，相加确定赔赚即可．
【详解】解：(1)设第一次购书的进价为x元，根据题意得：
解得： ．
经检验， 原方程的解，
答：第一次购书的进价是4元；
(2)第一次购书为 (本)，
第二次购书300+50=350(本)．
第一次嫌钱 (元)，第二次嫌钱 (元)
所以两次共赚钱600+240=840(元)，
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元．
【点睛】此题考查分式方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．
25. 观察下列方程及其解的特征：
① 的解为 ．
② 的解为 ， ．
③ 的解为 ， ；
．．．
解答下列问题：
（1）请猜想：方程 的解为______；
（2）请猜想：关于 的方程 ______的解为 ，
（3）利用（2）的结论解方程：
① ；
② ．
【答案】（1） ，
（2）
（3）① ， ；② ，【解析】
【分析】（1）观察阅读材料中方程解的特征，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
【小问1详解】
解：猜想方程 ，即 的解为 ， ，
故答案为： ， ；
【小问2详解】
猜想：关于 的方程 的解为 ， ，
故答案为： ；
【
小问3详解】
①方程 变形为 ，
可得 或 ，
解得： ， ，
② 变形为 ，
可得 或 ，
解得： ， ．【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值；弄清题中的规律
是解本题的关键．
