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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市海淀区首都师大附中第一分校中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
3. 比 大，比 小的整数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
的
4. 不透明 袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回
并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
.
A B. C. D.
5. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（ ）
A. b+c 0 B. 1 C. ad bc D. |a| |b|
6. 如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为 ，B课程成绩
的方差为 ，则 ， 的大小关系为（ ）
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A. B. C. D. 不确定
7. 如图①，底面积为 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀
速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度 与注水时间 之间的关系如图②．若“几何体”的
下方圆柱的底面积为 ，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）
A. 24 B. 12 C. 18 D. 21
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
8. 某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了_____米．
9. 如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－
8)，那么黑棋①的坐标应该是________．
10. 已知一元二次方程 的两根为 与 ，则 的值为_______．
11. 如图，在 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 的顶点均是格点，则
的值是______．
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12. 已知 是方程 的一组解 ，任写出一组符合题意的 、 值，则
______， ______．
13. 如图，在矩形 中，E是边 的中点，连接 交对角线 于点F，若 ，
则 的长为______．
14. 图中的小正方形边长都相等，若 ，则点 可能是图中的_______．
15. 初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪
念品可获利 ：销售一件乙纪念品可获利 ；当销售量的比为 时，总获利为 ．当销售量的
比为 时，总获利为______．
三、计算题：本大题共2小题，共10分．
16. 计算： ．
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17. 已知 ，求 的值．
四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18 解不等式组：
.
19. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：点P，使得AP＝AB，且 ．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交 于点D（异于点C）；
③连接DA并延长交 于点P．
所以点P就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在 上．
∵ ，
∴ （____________________）（填推理的依据），
由作图可知， ，
∴ ______ ．
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∴ ．
20. 如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
（1）若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝ ，求此⊙O的半径．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD= ，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值．
（2）若∠BCD=120°，求CD的长．
22. 某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请
居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分
制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：
b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下
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平均
中位数 方差
数
讲座前 72.0 71.5 99.7
.
讲座后 86.8 m 884
c．结合讲座后成绩 ，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖” ，有7人获得“优秀奖”
，有8人获得“环保达人奖” ，其中成绩在 这一组的是：
80 82 83 85 87 88 88
根据以上信息，回答下列问题：
（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；
（2）写出表中 的值；
（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．
23. 如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的
跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．
（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑
曲线连接；
（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；
（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为 米．当游船从拱桥正下方通过时，
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为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于 米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．
24. 如图，矩形 的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是 ，D为 边上一点，将矩形
沿 折叠，点C落在x轴上的点E处， 的延长线与x轴相交于点
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，若P是 上一动点， 交 于M， 交 于N，设 ，
的
，求s与t之间 函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
25. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 的围网在水库中
围成了如图所示的 三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设 的长度为 ，矩形区域
的面积为
（1）是否存在 的值，使得矩形 的面积是 ；
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（2） 为何值时， 有最大值？最大值是多少？
26. 如图，在等边 中，点 在 边上，点 在 的延长线上，且 ．
（1）求证： ；
（2）点 关于直线 的对称点为 ，连接 ， ，
①根据题意将图补全；
②在点 运动的过程中， 和 有什么数量关系并证明．
27. 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
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