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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市海淀区首都师大附中中考数学零模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶
光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表
示为（ ）
A. 6000×104 B. 6×107 C. 0.6×108 D. 6×108
【答案】B
【解析】
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是比原整数位数
少1的数．
【详解】解：6000万＝60000000＝6×107．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．2022年北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵
感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容
融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 下列运算正确的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；
【详解】解： ，A准确；
，B错误；
，C错误；
，D错误；
故选A．
【点睛】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方
与积的乘方法则是解题的关键．
4. 若实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b的范围，再逐个判断得出结论．
【详解】解：根据数轴可得，－2＜a＜－1，2＜b＜3，
∴ ，ab＜0， ，a−b＜0，即A正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数乘法的符号法则、相反数以及有理数的减法．认真分析数轴得
到有用信息是解决本题的关键．
5. 若 ，则代数式 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
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【解析】
【分析】先将代数式进行化简，再将 代入化简之后的式子求解即可．
【详解】解：
将 代入上式可得：原式 ，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是根据分式运算法则先将式子正确化简，再将 代
入计算．
6. 一个不透明的盒子中装有15个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红
球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据概率公式求解．
【详解】解：∵盒子中装有15－2－3＝10个红球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ；
故选：D．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现
的结果数．
7. 一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上 ，得到一组新数据 ， ，
， ， ，这两组数据的以下统计量相等的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得．
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【详解】解：将一组数据中的每一个数都加上a得到一组新的数据，那么这组数据的波动幅度保持不变，
即方差不变，而平均数和众数、中位数均改变．
故选：D．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握方差的意义与平均数、众数和中位数的定义．
8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 千帕 随气球内气体的体积
立方米 的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（ ）
立方米 64 48 32 24 …
千帕 2 3 4 …
A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知 的值是一个定值，则p与V的函
数关系最可能是反比例函数，据此可得答案．
【详解】解：由题意可知， ； ； ； ； ，…
由此可得出p和V的函数关系是为：
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
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解得： ，
故答案为： ．
10. 分解因式： __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因数3，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
11. 下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数 48 82 124 176 230 287 328
投中次数 33 59 83 118 159 195 223
投中频率
根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为________．（结果精确到 ）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．解题的
关键是注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
【详解】解∶由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数 附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为 ．
故答案为∶ ．
12. 如图，双曲线 与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为
_______．
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【答案】（-2，-3）
【解析】
【分析】根据反比例函数的中心对称性判断即可．
【详解】∵双曲线 与直线y＝mx相交于 、 两点，直线y＝mx过原点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴A点坐标为（2，3），
∴点B的坐标为：（ ）
故答案为：（ ）．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质·，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题关键．
13. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛
(“斛”是古代的一种容量单位)，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”
译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2
斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？
设1个大桶可以盛酒 斛，1个小桶可以盛酒 斛，依题意，可列二元一次方程组为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”建立方程组即可．
【详解】由题意得：
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，读懂题意，正确建立方程是解题关键．
14. 不等式组 的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集
【详解】解：解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
的
【点睛】本题考查 是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则m__n
（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．
将 和 两点代入反比例函数求得m和n的值，再比较大小即可
【详解】解：∵点A和B在反比例函数图象上，
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∴ ，
∴ ，
故答案为：
16. 下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌幅情况折线图（注：2022
年2月与2021年2月相比较称为同比，2022年2月与2022年1月相比较称为环比）．
根据图中信息，有下面四个推断：
①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨；
②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌；
③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月
同比数据的方差；
④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1
月环比数据的平均数．
所有合理推断的序号是________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】直接利用折线图，判断①②③④的结论，即可得出答案．
【详解】解：从同比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比数据有正数也有负数，即同比
有上涨也有下跌，故①错误；
从环比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比数据有正数也有负数，即环比有上涨也有下
跌，故②正确；
从折线统计图看，2021年4月至8月的同比数据波动小于2021年4月至8月的同比数据波动，所以2021
年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差，故③正确；
2021年4月至8月的环比数据的平均数为：（0-0.1-0.4+0.7+0.1）÷5=0.06，
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2021年9月至2022年1月环比数据的平均数为：（-0.1+0.9+0-0.3+0.2）÷5=0.14，
∴2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查折线统计图，方差，平均数，从统计图获取的所要的信息是解题的关键．
三、计算题：本大题共2小题，共10分．
17. 计算： |﹣2|﹣2cos45° ．
【答案】
【解析】
【分析】利用负整数指数幂的性质，以及零指数幂的性质，特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝1+2﹣2 4
＝7 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂的性质，以及零指数幂的性质，特殊角的三角函
数值是解题的关键．
18. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，等号两边同时乘以 ，化成整式方程在求解，最后验根即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，
得到： ，
解得：
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解是 ，
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键，最后一
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定要记得检验．
四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】-2（x2-3x+2）；-6 ．
【解析】
【分析】把代数式化简成含有x2−3x的式子，再由已知得到x2−3x=1后代入化简后的算式可以得解．
【详解】解：由已知可得：x2−3x=1，
∴原式=x2-4-3x2+6x
=-2x2+6x-4
=-2（x2-3x+2）
=-2（1+2）
=-2×3
=-6．
【点睛】本题考查代数式的应用，熟练掌握整式的运算法则及整体代入的方法是解题关键．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
【答案】（1）m＜ ；（2）m=2．
【解析】
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出关于m的不等式，求出
不等式的解集即可得到m的取值范围；
（2）找出m取值范围中的正整数，然后分别代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的m
的值．
【详解】（1）∵依题意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，
∴m＜ ，
即m的取值范围是m＜ ；
为
（2）∵m 正整数，
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∴m=1或2，
当m=1时，方程为x2﹣4x+1=0的根 不是整数；
当m=2时，方程为x2﹣4x+3=0的根x=1，x=3，都是整数，
1 2
综上所述，m=2．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
21. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ．
（1）求这个反比例函数的解析式：
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于反比例函数 的值，直接写
出n的取值范围： ．
【答案】（1）这个反比例函数的解析式为 ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关
键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得直线经过点 时的解析式，求得此时直线与y轴的交点，利用数形结合思想即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴这个反比例函数的解析式为 ；
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【小问2详解】
解：当 时， ，
∴ ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于反比例函数 的值，
∴ ．
22. 京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和
命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为
“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向
上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片
分别记为A、A，图案为“黑脸”的卡片记为B）
1 2
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概
率公式计算即可．
【详解】画树状图为：
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由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以
P(两张都是“红脸”) ，
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是 ．
【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关
键是根据题意画出树状图．
23. 2019年9月29日，中国女排以十一连胜 的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠
王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以
或者 取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以 取胜的球队积2分，负队积1分．前四
名队伍积分榜部分信息如下表所示：
名次 球队 场次 胜场 负场 总积分
1 中国 11 11 0
2 美国 11 10 1 28
俄罗
3 11 8 3 23
斯
4 巴西 11 21
（1）中国队11场胜场中只有一场以 取胜，请将中国队的总积分填在表格中．
（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表，求巴西队胜
场的场数．
【答案】（1）32 （2）7场
【解析】
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【分析】（1）依据中国队11场胜场中只有一场以 取胜，即可得到中国队的总积分．
（2）设巴西队积3分取胜的场数为 场，依据巴西队总积分为21分，即可得到方程，进而得出 的值．
【小问1详解】
中国队 的总积分 ；
故答案为：32；
【小问2详解】
设巴西队积3分取胜的场数为 场，则积2分取胜的场数为 场，
依题意可列方程 ，
，
，
，
则积2分取胜的场数为 ，
所以取胜的场数为 ，
答：巴西队取胜的场数为7场．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
24. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨
迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门
得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为 ，水流的最高点到地面的距离记为
．
与 的几组对应值如下表：
（单位： ） 0 1 2 3 4 …
（单位： ） 1 2 …
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（1）该喷枪的出水口到地面的距离为________ ；
（2）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出 与 的函数图像；
（3）结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为 时，水流的最高点到地面的距离
为________ （精确到 ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________ （精确到 ）
【答案】（1）1 （2）见解析
（3）3，18
【解析】
【分析】(1)令x=0时，求得y值即可．
(2)按照描点，连线的基本步骤画函数图像即可．
(3)先确定直线y=kx+b，当x=8时，求得y=3，设抛物线解析式为 ，把(0，1)代入解析式，
确定a= ，得到抛物线解析式，令y=0，求得x的值即可．
【小问1详解】
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令x=0时，得y=1，
故答案为：1．
【小问2详解】
根据题意，画图如下：
．
【小问3详解】
设直线为y=kx+b，根据题意，得
，
解得 ，
故直线的解析式为 ，
当x=8时，
得 (m)，
故抛物线的顶点坐标为(8，3)，
设抛物线解析式为 ，
把(0，1)代入解析式，
解得a= ，
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∴ ，
令y=0，得 ，
解得x= ，或 x= （舍去），
且x= ≈17.79≈18(m)，
故答案为：3，18．
【点睛】本题考查了一次函数图像的画法，待定系数法确定一次函数的解析式，顶点式确定抛物线的解析
式，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，选择顶点式确定二次函数的解析式是解题的关键．
25. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中
随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组： ， ， ，
， ）
b．甲小区用气量的数据在 这一组的是：
15，15，16，16，16，16，18，18，18，18，18，19
c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
小 平均 中位 众
区 数 数 数
甲 17.2 m 18
乙 17.7 19 15
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根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为 ．在乙小区抽取的用户
中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为 ．比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）估计甲小区中用气量不超过15立方米的户数．
【答案】（1）16 （2） ，理由见解析
（3）120户
【解析】
【分析】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握
求中位数及其意义，由样本估计总体的方法是解题关键．
（1）利用求中位数的方法求解即可；
（2）利用中位数和平均数的意义分析即可；
（3）根据抽取的30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例估算出整体户数．
【小问1详解】
解：甲小区抽取的用户中，中位数为顺序排列后第15位和第16位数的平均数，
即 ，
故答案为：16．
【小问2详解】
解：由题知， （户），
在乙小区抽取的用户中，中位数为 ，平均数为17.7，即最少有15户高于他们的平均用气量，即
，
；
【小问3详解】
解：由题知， （户），
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答：甲小区中用气量不超过15立方米的户数为 户．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）若抛物线过点 ．
①求抛物线的对称轴；
②当 时，图像在 轴的下方，当 时，图像在 轴的上方，在平面直角坐标系中画出符
合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；
（2）若 ， ， 为抛物线上的三点且 ，设抛物线的对称轴为直线 ，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）①x=2；②
（2）
【解析】
【分析】①把(4，-1)代入解析式，确定b=-4a，代入直线 计算即可．
②根据对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，判定抛物线经过（-1,0）和（5,0），代入解析式确定a，b的
值即可．
（2）方法一：根据 ，得到b=-2at，从而解析式变形为 ，把 ，
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， 分别代入解析式，根据 ，列出不等式组，解不等式组即可．
方法二：根据每个点的横坐标离对称轴的远近判断y的大小．
【小问1详解】
解：①把(4，-1)代入解析式 ，得
，
解得b=-4a，
∴对称轴为直线 =2．
②根据题意，画图像如下：
∵当 时，图像在 轴的下方，
当 时，图像在 轴的上方，
对称轴为直线x=2，且2-（-1）=5-2，
∴抛物线经过（-1,0）和（5,0），
∴ ，
解得 ，
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∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴b=-2at，
∴解析式变形为 ，
把 ， ， 分别代入解析式，得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故t的取值范围是 ．
方法二：若 ， ， 为抛物线上的三点且 ，对称轴为 ，
， ，开口向上，
①当 ，则 ，不符合题意，
②当 时，
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解得
③当 ，
，
解得 ，
综上所述，
【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对
称性，与不等式的关系是解题的关键．
27. 如图，已知 ， 是 的平分线，点A是射线 上一点，点A关
于 对称点 在射线 上，连接 交 于点 ，过点A作 的垂线，分别交 ， 于点 ，
，作 的平分线 ，射线 与 ， 分别交于点 ， ．
（1）①依题意补全图形；
②求 度数；（用含 的式子表示）
（2）写出一个 的值，使得对于射线 上任意的点A总有 （点A不与点 重合），并证
明．
【答案】（1）见解析， ；
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（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）①在ON上取 ，根据垂线，角平分线的画法作图即可；②求出 ，再
证明 即可；
（2）证明 为等腰直角三角形，再证明 ，得到 ，进一步得到
，证明 为等腰直角三角形，得到 ，即可得到 ．
【小问1详解】
解：①作图如下：
②∵ ， 是 的平分线，
∴ ，
∵点A、 关于 对称，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
【小问2详解】
解：当 时，对任意的点A总有 ，
理由如下：
∵A、B关于OP对称，且OP平分 ，
∴OP垂直平分AB，即 ， ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
由（1）可知： ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AQ平分 ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查作图，角平分线，等腰直角三角形，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平
分线的作法及性质，垂线的作法，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定及性质．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 和直线 给出如下定义：若 的一条边
关于直线 的对称线段 是 的弦，则称 是 的关于直线 的“关联三角形”，直线 是“关联
轴”．
（1）如图1，若 是 的关于直线 的“关联三角形”，请画出 与 的“关联轴”（至少画两
条）；
（2）若 中，点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 在直线 的图像上，存在“关联轴
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”使 是 的关联三角形，求点 横坐标的取值范围；
（3）已知 ，将点 向上平移2个单位得到点 ，以 为圆心 为半径画圆， ， 为
上的两点，且 （点 在点 右侧），若 与 的关联轴至少有两条，直接写出 的最小
值和最大值，以及 最大时 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ， ，
【解析】
【分析】(1)根据A（1，2），B（2，1），C（4，1），计算AB= ，
确定圆O长为 的弦，再确定其对称轴即可．
(2)根据A（2，3），B（4，1），计算AB= ，故AB不能落在圆的内部；过
点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴 ”使 是 的关联三角形，此
时 ；作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴 ”使 是 的关
联三角形，此时 ，综上所述，点C横坐标的范围是 ．
(3) 如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，根据勾股定理，得OM= ，圆M
的半径为2，计算OC的最小值；OC= ，此时AC=4．
【小问1详解】
如图1，作BM⊥x轴，垂足为M，根据题意AB=AE=EF=BF= ，且∠EFO=∠BFM=45°，
∴∠EFB=90°，
∴四边形ABFE是正方形，
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∴边AE，BF的中点所在直线就是 与 的一条“关联轴”；
的
∵ 半径为1，
∴EH=GH=FG=EF== ，且∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵∠EFG+∠EFB=180°，
∴B、F、G三点共线，
∴直线EF是 与 的一条“关联轴”．
【小问2详解】
如图2，根据A（2，3），B（4，1），C（4，1），计算AB= ，故AB不能
落在圆的内部；
过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴 ”使 是 的关联三角形，
此时 ；
作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴 ”使 是 的关联三角形，
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此时 ，综上所述，点C横坐标的范围是 ．
【小问3详解】
如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，
根据勾股定理，得OM= ，圆M的半径为2，
故OC的最小值为 ；
当点C是直径AC的一个端点时,OC最大,根据勾股定理，得
OC= ，此时AC=4.
【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，正确理
解新定义是解题的关键．
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