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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市海淀区首都师大附中中考模拟数学调研试卷（5 月份）
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将
自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在
其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 年 月 日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功
发射．长征二号 （代号： ，简称：长二 ，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标
飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是 千克．将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对
角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是（ ）
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A. B. C. D.
6. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在 中， ，在边 上截取 ，连接 ，过点A作 于点
的
E．已知 ， ，如果F是边 中点，连接 ，那么 的长是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
的
8. 如图， ， 是 内部 射线且 ，过点 作 于点
，过点 作 于点 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ．
设 ，给出下面三个结论：
① ；
② ；
③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ___________．
10. 分式方程 的解 __________________．
11. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 _____
（填“ ”“ ”或“ ”）．
的
12. 如图， 是 直径， 是 延长线上一点， 与 相切于点 ．若 ，则
_________ ．
13. 小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去
掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张
纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下
第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第________张纸牌；将m张纸牌摞起来，
按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 ________（用含n的代数式表示，其中n为自然
数）．
14. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为 ，点A，B，C在同一直线上， 点 ， 分别为两个
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正六边形的中心． 则 的值为______．
15. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位： ）如下表所示：
队员1 队员2 队员3 队员4 队员5
甲
177 176 175 172 175
队
乙
170 175 173 174 183
队
则两队队员身高的平均数 ______ （填 或 ），身高的方差 ______ （填 或 ）．
16. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵
味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心
在线段 上， 分米，则拱门所在圆半径的长为______分米．
三、解答题（本大题共12小题，共80分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算： ．
18. 已知 ，求代数式 的值．
19. 解不等式组： ．
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20. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ，与过点
且平行于 轴的直线交于点 ．
（1）求该函数的表达式及点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于
，直接写出 的取值范围．
21. 如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ， ， 、 、 分别是
、 、 的中点．
（1）求证 ；
（2）连接 ，求证：四边形 是菱形．
22. 某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均 之间的关系，收集了 年 个城市的
人均 数据（单位：万元）以及城市 排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息．
．城市的人均 的频数分布直方图（数据分成 组： ， ， ，
， ）：
频数（城市个数）
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．城市的人均 （万元）的数值在 这一组的是： ；
．以下是 个城市 年的人均 （万元）和城市 排名情况散点图：
根据以上信息，回答下列问题
（1）某城市的人均 为 万元，该城市 排名全国第_____；
（2）在 个城市 年的人均 和城市 排名情况散点图中，请用“ ”画出城市 排名的
中位数所表示的点；
（3）观察散点图，请你写出一条正确的结论．
23. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为 ，流速
为 ，开水的温度为 流速为 ，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到
一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
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物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：
开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度．
24. 如图，矩形 的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是 ，D为 边上一点，将矩形
沿 折叠，点C落在x轴上的点E处， 的延长线与x轴相交于点
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，若P是 上一动点， 交 于M， 交 于N，设 ，
，求s与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
25. 对于平面内的点 和点 ，给出如下定义：
若点 是点 绕点 旋转所得到的点，则称点 是点 关于点 的旋转点；若旋转角小于 ，则称点
是点 关于点 的锐角旋转点．如图1，点 是点 关于点 的锐角旋转点．
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（1）已知点 ，在点 中，是点 关于点 的
锐角旋转点的是______．
（2）已知点 ，点 在直线 上，若点 是点 关于点 的锐角旋转点，求实数 的取值
范围；
（3）点 是 轴上的动点， ，点 是以 为圆心，3为半径的圆上一个动点，
且满足 ．若直线 上存在点 关于点 的锐角旋转点，请直接写出 的取值范围．
26. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，直线l和图形W给出如下定义：线段 关于直线l的对
称线段为 （ 分别是M，N的对应点）．若 与 均与图形W（包括内部和边界）有公
共点，则称线段 为图形W关于直线l的“对称连接线段”．
（1）如图1，已知圆O的半径是2， 的横、纵坐标都是整数．在线段
中，是 关于直线 的“对称连接线段”的是 ．
（2）如图2，已知点 ，以O为中心的正方形 的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段
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是正方形 关于直线 的“对称连接线段”，求k的取值范围．
（3）已知 的半径为r，点 ，线段 的长度为1．若对于任意过点Q 的直线l，都存在
线段 是 关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围．
27. 我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，
定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即
表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆 ，向正北方向画一
条射线 ，在 上取点 ，测得 ， ．
（1）判断：这个模型中 与 是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．
（2）利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角 ，夏至正午阳光与日影夹角为 ，请求
出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．
28. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水
柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.
d（米） 0 1 2 3 4
h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
根据上述信息，解决以下问题：
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的
（1）在如下网格中建立适当 平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下
方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱
的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露
出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位
小数）．
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