文档内容
2020－2021 学年北京市海淀区七年级第二学期期中考试数学试题
数 学
考生须知：
1.本调研卷共8页，共3道大题，28道小题，满分100分，考试时间90分钟．
2.在调研卷上准确填写学校名称、班级名称和姓名．
3.答案一律在调研卷上用黑色字迹签字笔作答．
4. 考试结束，请将本调研卷交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1. 9的算术平方根是（ ）
A. 81 B. 3 C. ±3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【详解】由算术平方根的定义得：9的算术平方根是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题关键．
2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据横坐标大于0，纵坐标大于0，则这点在第一象限．
【详解】解：∵2＞0，3＞0，
∴（2，3）在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：﹣，+；第三象限：
﹣，﹣；第四象限：+，﹣；是基础知识要熟练掌握．
3. 下列实数 ， ， （相邻两个1之间依次多一个0）， ， ， 中，无理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
【详解】 是分数，属于有理数，
，是整数，属于有理数，
无理数有 ， (相邻两个1之间依次多一个0)， ， ，共4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，
如 ， ， (每两个8之间依次多1个0)等形式．
4. 如图，直线 被 所截，则 和 是( )
A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角
【答案】B
【解析】
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在
第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
【详解】解：如图所示，两条直线 被直线 所截形成的角中，∠1与∠2都在 直线的之间，并且在直线 的两旁，所以∠1与
∠2是内错角．
故选B．
5. 下列各数中一定有平方根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这
个数不论m取何值，都得是非负数．
【详解】解：A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，不符合题意；
B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．
故选：D．
【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．
6. 一把直尺和一个含 ， 角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于 ，
两点，另一边与三角板的两直角边分别交于 ， 两点，且 ，那么 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】先根据∠CED=50°，DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF
的大小．
【详解】解：∵DE AF，∠CED=50°，
∴∠CAF=∠CED=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°﹣50°=10°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相
等．
7. 如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF． 将直线CD绕点O旋转，
下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）
A. ∠AOD的度数 B. ∠AOC的度数
C. ∠EOF的度数 D. ∠DOF的度数
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分线性质解得 ，根据对角线性质、平角性质解得 ，
，据此解题．
【详解】解： OE，OF平分∠AOD，∠BOD都与∠BOD大小变化有关，
只有∠EOF的度数与∠BOD大小变化无关，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质、涉及对顶角、平角等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
8. 如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正
方形的边长感受了 dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很
多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A. 利用两个边长为2dm的正方形感知 dm的大小
B. 利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知 dm的大小
C. 利用一个边长为 dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知 dm的大小
D. 利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知 dm的大小
【答案】C
【解析】
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否
相等，就可以逐一排除．
【详解】A： ， =8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18， =18，不符合题意；
C： ， ，符合题意；D： ， ，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，要在河岸l上建一个水泵房 ，修建引水渠到村庄 处．施工人员的做法是：过点 作
于点 ，将水泵房建在了 处．这样修建引水渠 最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是
________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短原理解题．
【详解】过点 作 于点 ，将水泵房建在了 处，
这样做既省人力又省物力，其数学原理是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10. 如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．
【答案】38
【解析】
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
11. 如图，在四边形 中，点 在 的延长线上，连接 ，如果添加一个条件，使 ，那
么可添加的条件为_________（写出一个即可）．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可．
【详解】解：根据内错角相等两直线平行，可添加 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 在平面直角坐标系中，已知点A(2，﹣1)，过点A作AB x轴，且AB=3，则点B的坐标是_________．
【答案】(5，﹣1)或(﹣1，﹣1)
【解析】
的
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面 点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，
相当于点A左右平移，可求B点横坐标．
【详解】解：∵AB∥x轴，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为﹣1，
又∵AB=3，可能右移，横坐标为2+3=5；可能左移横坐标为2﹣3=﹣1，
∴B点坐标为（5，﹣1）或（﹣1，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
13. 用一个实数 的值说明命题“ ”是假命题，这个 的值可以是__________．
【答案】-1（答案不唯一， 即可．）
【解析】【分析】选取的 的值不满足 即可．
【详解】 时，满足 是实数，但不满足 ，
所以 可作为说明命题“如果 是任意实数，那么“ ”是假命题的一个反例．
故答案为：-1（答案不唯一， 即可．）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
14. 为纪念戍边英雄，某班设计了《致敬英雄》主题宣传板报，黑板是一块长为2 米，宽为 米的长方形
，版面设计如图所示，将它分割成两块边长均为 米的正方形 和正方形 ，分别以点
为圆心，正方形边长为半径画弧．阴影部分用图画展示英雄形象，空白部分用文字宣传英雄事迹．阴
影部分的面积为________平方米（用含 的代数式表示）．
【答案】
【解析】
的
【分析】利用平移 性质，将扇形CEF平移至扇形FAB，根据正方形的面积公式解题．
【详解】解： 正方形 和正方形 都是边长均为 米的正方形，
故答案为: ．
【点睛】本题考查扇形面积公式、不规则图形的面积等知识，涉及转化、平移思想，是重要考点，难度较
易，掌握相关知识是解题关键．
15. 为迎接校庆，某学校在东西走向的勤学路上修建了一排边长为1m的小正方形花坛，如图1所示． 小欢和小乐来到花坛边欣赏风景，小欢以自己所在的A点为原点，以向东的方向为正方向，以花坛对角线的
长度 m为单位长度建立数轴，如图2所示． 若小乐在小欢的东15 m处，那么在图2的数轴上，小乐
所在的点位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是_____．
【答案】10和11
【解析】
【分析】先计算小乐距离小欢有 个单位长度，再估算无理数 的大小即可解题．
【详解】解：因为小乐在小欢的东边15m处，而坐标轴上单位长度代表 m，
则小乐距离小欢有 个单位长度，
又 ，且 ，
所以这两个整数分别是10和11，
故答案为：10和11．
【点睛】本题考查数轴、无理数的估算等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16. 在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q
两点之间的“横纵距离”． 如图所示，点A的坐标为（ ， ），则A，O两点之间的“横纵距离”为5
（1）若点B的坐标为（ ），则A，B两点之间的“横纵距离”为_________；（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”
为3，请写出两个满足条件的点D的坐标：___________， ____________．
【答案】 ①. 9 ②. （1，4） ③. （ ， ）
【解析】
【分析】（1）根据A，B两点之间的“横纵距离”的意义求解即可；
（2）画出图形，找到同时满足“D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为
3”的两个点即可．
【详解】（1）点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ），
∴A，B两点之间的“横纵距离”为： 2+3+3+1=9，
故答案为：9；
（2）如图：
由题意得：
①点 （1，4），O两点之间的“横纵距离”为：4+1=5，
点 （1，4），点C（0，2）两点之间的“横纵距离”为： ；
②点 （ ， ），O两点之间的“横纵距离”为5，
点 （ ， ），点C（0，2）两点之间的“横纵距离”为： ；
故答案为：（1，4）；（ ， ）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．第2问要注意
同时满足两个条件．
三、解答题（本题共68分，第17，18，20，21，22，25题，每小题5分，第19，23，24，
26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可.
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能
事半功倍.
19. 求出下列等式中x的值：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．【解析】
【分析】（1）先根据等式的性质化为 ，再根据平方根的定义即可求解；
（2）先根据等式的性质得到 ，再化为 ，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：（1） ；
，
；
（2） ，
，
，
．
【点睛】本题考查了根据平方根、立方根的定义解方程，熟知平方根，立方根的定义，理解解方程就是将
方程转化为“ ”的形式是解题的关键．
的
20. 已知：如图，直线 ， 相交于点 ， ， 平分 ，求 度
数．
【答案】110°
【解析】
【分析】根据补角的性质得到 ，由角平分线的性质得到，根据补角的性质可求出答案.
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查的是补角和角平分线的定义，掌握互为补角的和等于180°和角平分线的定义是解题的
关键．
21. 完成下面的证明：已知：如图， ．求证： ∥ ．
证明：过点 作 ∥ ．
（ ）．
，
．
∥ （ ）．
∥ （ ）．
【答案】 ；两直线平行，内错角相等； ； ；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第
三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【解析】
【分析】根据两直线平行的性质和判定即可解答．
【详解】证明：过点 作 ．
∴ （两直线平行，内错角相等）．∵ ，
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【点睛】本题考查了两直线平行的性质和判定，解题的关键是准确作出辅助线．
22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 的三个顶点分别是 ， ， ．将三角形
先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形 ．
（1）请在图中画出平移后的三角形 ；
（2）三角形 的面积是 ．
【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）如图，∴三角形 为所求．
（2）三角形 的面积是：
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平移交换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．
23. 已知：实数 ， 满足 ．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数 的两个平方根分别为 和 时，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据二次根式和平方的非负性可得到 ， ，运算求解即可；
（2）根据一个正数的平方根为一对相反数，列式运算即可．
【
详解】（1） ， ；
（2）依题意，得 ．
即 ．
∴ ．∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，一个数平方根，熟悉掌握概念是解题的关键．
24. 如图，已知AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝
180°．说明∠EFC＝∠A的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD=180°可得到∠CEF=∠COD，根据平行
线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
∵∠CEF+∠BOD=180°，∠BOD+∠DOC=180°，
∴∠CEF=∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠EFC=∠A．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定方法是解决本题的关键．
25. 2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常
态化、系统化轨道． 条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类． 为了
帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回
收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为 cm的正方形．为了让大
家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大
家A，B，C三点在纸张中的位置．【答案】 （1.5，2.2）， （0.8，1）， （2.2，1）（答案不唯一）
【解析】
【分析】以正方形左下角为原点，过原点且平行于BC的直线为x轴，过原点且与x轴垂直的直线为y轴建
立平面直角坐标系，然后根据测量的结果可以写出A、B、C的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，则 （1.5，2.2）， （0.8，1）， （2.2，1）．（答案不
唯一）
【点睛】本题考查平面直角坐标系的应用，建立合适的坐标系后用有序实数对表示平面上点的位置是解题
关键．
26. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，…， ， ，
其中 ， ， ，…， ， 为正整数．顺次连接 ， ， ，…， ， 的折线与 轴、 轴围成
的封闭图形记为图形 ．小明在求图形 的面积时，过点 ， ，…，
作 轴的垂线，将图形 分成 个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形 的面积．请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当 时，
①若 ，如图1，则图形 的面积为 ；
②用含有 ， ， 的式子表示图形 的面积为 ．
（2）当 时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为 ．
①小明选择了 ，请在图2中画出此时的图形 ；
②在①的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为 的取值，使新得到的图形
的面积与小明的图形 的面积相等，请直接写出这五个数的排序 （写出一组即可）．
【答案】（1） ① ； ② ；（2）①画图见解析；② 8，1，2，10，9（答案不唯一）．
【解析】
【分析】(1)①利用分割法求出面积即可；②利用分割法求解即可；
(2)①根据题意，利用描点法画出图形即可；②根据面积相等取点即可(答案不唯一)
【详解】(1)①如图1所示，过点 ，作 于 ，
图形 的面积=四边形 的面积+四边形 ，
，
故答案为： ；
②同样可得图形 的面积= ，
故答案 为： ．
（2）①如图2所示：，
②如图3所示，小明的图形 的面积
，
新图形 的面积
，
∴新得到的图形 的面积与小明的图形 的面积相等，
故答案为：8，1，2，10，9．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
27. 已知：直线 ∥ ，A为直线 上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．
D，E为直线 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在 上，且
在点B的左侧 ．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出ABM的度数 ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．【答案】（1） ；（2）① ，见解析；② 或
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得到： ， ，再利用角的等量代换换
算即可；
（2）①设 ， ，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出 对比即
可；②分类讨论点 在 的左右两侧的情况，运用角的等量代换换算即可．
【详解】．
解：（1）设在 上有一点N在点A的右侧，如图所示：
∵
∴ ，
∴
∴
（2）① ．证明：设 ， ．
∴ ．
∵ 为 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
②当点 在点 右侧时，如图：
由①得：
又∵
∴
∵
∴当点 在点 左侧， 在 右侧时，如图：
∵ 为 的角平分线
∴
∵
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
当点 和 在点 左侧时，设在 上有一点 在点 的右侧如图：此时仍有 ，
∴
∴
综合所述： 或
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角
平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数 ，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）
为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1， ），点M和点N的2系和点为K（6，
2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．
（1）点A和点B的 系和点的坐标为________（直接写出答案）；（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值 ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的动点，点P为点
A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部
（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 ．
【答案】（1） ；（2）①m＝0；② 或 ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据点M和点N的k系和点的定义求解即可．
（2）①由题意得到D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建方程求解即可．②判
断出D的坐标，可得结论．
（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意： （1+2） ， （2+0）＝1，
∴点A和点B的 系和点的坐标为（ ，1）．
故答案为：（ ，1）．
（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，
∴x＝2k+mk，y＝2k．
即D（2k+mk，2k），
∵点D在第一、三象限角平分线上，
∴2k+mk＝2k．
∴mk＝0．
∵k≠0，
∴m＝0．
②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．∵C（0，2），B（2，0），
∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ；
（3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）．
2≤m≤3，
∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）．
∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整
点，
观察图象可知： ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，象限角平分线的坐标特点，新定义等知识，综合性较强，理解P
（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义，图形与坐标等知识，并根据题意学会利用参数构建方
程或不等式解决问题是解题关键．
