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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市西城区北京师范大学附属中学中考数学三模试卷
一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 正方体
【答案】A
【解析】
【分析】展开图为两个圆，一个长方形，易得是圆柱的展开图．
【详解】解：∵圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，
∴展开图可得此几何体为圆柱．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．
2. 北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导
工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的相关知识，关键是掌握科学记数法的定义； 科学记数法的表示形式
， 本题是将较小的数表示为科学记数法，则n是负数，其绝对值为小数点移动的
位数，据此解答即可．
【详解】解：0.0000625用科学记数法表示为 ，
故选C．
3. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列结论中正确的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较、有理数加(减)法、有理数的乘法法则，掌握相关的方法和法则是
解题的关键．根据数轴判断出 ，再由有理数加法、减法、乘法法则、绝对值的意义逐一
判断即可．
【详解】解：由数轴知： ，
∴ ， ， ， ，
故选：B．
4. 如图， ， ， 平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识，由平行线的性质求出 ，
，由角平分线定义得到 ，由平行线的性质即可
得到答案.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：D
5. 一组数据的方差为 ，将这组数据中的每一个数都减去 ，得到一组新数据，其方差为 ，则
与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即
方差不变，即可得出答案．本题考查方差的意义，当数据都加上同一个数（或减去同一个数）时，方差不
变，即数据的波动情况不变．
【详解】解： 一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减
去）这一个常数，方差不变，
，
故选：B．
6. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根、则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据 ，方程有两个不相等的实根； ，方程有两个相等的实根；
，方程无实根，由此即可求解．
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【详解】解：根据题意得， ，
解得， ，
故选：B ．
7. 不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放
回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查概率的求法，如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中 出现 种
可能，那么事件 的概率 ．
画树状图列出等可能得结果，从中找到符合条件的结果数，再根据公式求出结果．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球的颜色相同的有3种，则两次摸出的小球的颜色相同的概率
是 ．
故选B．
8. 如图1，在菱形 中， ，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段 运动到
点P，再沿线段 运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x， ，表示y与x的函数关系
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的图象如图2所示，则菱形 的边长是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P在对角线 上， ， ，设
，则 ，利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，
由图象可得，
当x从0到4时，
∴
∵四边形 是菱形
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∴点P在对角线 上
∴由图象可得， ，
∴
∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴设 ，则
∴
∴
∴在 中，
∴
解得 ，负值舍去
∴
∴菱形 的边长是 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含 角直角三角形的性质等知识，解
题的关键是根据图象正确分析出点P在对角线 上．
二、填空题（共24分，每题3分）
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，代入求解即可．．
根据分式有意义的条件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
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【详解】∵代数式 有意义，
∴
∴ ．
故答案为： ．
10. 分解因式：ax2﹣4ay2=__．
【答案】a（x+2y）（x﹣2y）
【解析】
【分析】先提公因式a，然后再利用平方差公式进行分解即可得.
【详解】ax2﹣4ay2
=a（x2﹣4y2）
=a（x+2y）（x﹣2y），
故答案为a（x+2y）（x﹣2y）.
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键.
11. 方程组 的解为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
根据方程组中 的系数的特点， 可求出 的值，再把 代入①即可求解．
【详解】解： ，
得， ，
，
，
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把 代入①得， ，
，
∴原方程组的解为 ，
故答案为： ．
12. 在平面直角坐标系 中，若点 和 在反比例函数 的图象上，则
______ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据 ，可得反比例函数 的图象在二、四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数 的图象在二、四象限，
∵ ，
∴点 ， 在第四象限，y随x的增大而增大，
∴ ．
故答案 ：为．
13. 正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为___．
【答案】6
【解析】
【详解】解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，
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∴n=360÷60=6．
故答案为：6．
14. 如图，在 中，E是 上一点， ， 的延长线与 的延长线相交于点F，若
，则 的长为____________．
【答案】10
【解析】
的
【分析】本题考查平行四边形 性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到 ，推
出 ，得到 ，即可求出 ，即可求出 ．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为：10．
15. 如图，在 中， ．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与 ， 相交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线 ．
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②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与 ， 相交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，大
于 的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线 ，与射线 相交于点P．
③连接 ．
根据以上作图，若点P到直线 的距离为1，则线段 的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作
，垂足分别是D、E、F，证明四边形 是正方形即可求出．
【详解】解：作 ，垂足分别是D、E、F，
由题意得： 平分 ， 平分 ，点P到直线 的距离为1，
，
，
四边形 为矩形，
，
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四边形 为正方形，
，
，
故答案为： ．
16. 甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名
次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第 1名．”对乙说：“你不是第4名．”
从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况．
【答案】 ①. 8 ②. 4
【解析】
【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解．
【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况，
第1名 第2名 第3名 第4名
① 丙 乙 丁 甲
② 丙 丁 乙 甲
③ 丁 丙 乙 甲
④ 丁 乙 丙 甲
⑤ 丁 甲 乙 丙
⑥ 丁 乙 甲 丙
⑦ 丙 甲 乙 丁
⑧ 丙 乙 甲 丁
其中①②③④四种情况是甲为第4名，
故答案为 ， ．
三、解答题（共52分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22-24题每题6
分，第25题8分）
17. 计算： ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含有三角函数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先计算三角函数值、
负整数指数幂、二次根式和绝对值，再算加减即可．
【详解】解：
18. 解不等式 ，并写出它的所有负整数解．
【答案】不等式的解集是 ，其中所有负整数解为 ，
【解析】
【分析】此题考查一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则．
先解出不等式的解集，再求其负整数解．
【详解】解： ．
移项得， ．
合并同类项得， ．
系数化为1得， ．
所以原不等式的所有负整数解为 ， ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算
括号内的式子，再根据分式除法法则化简得出最简结果，把 变形后整体代入即可得答案．
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【详解】解：
．
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
20. 如图，在 中，点E，F分别在 ， 上，且 ， 平分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， ，求证： 是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理的逆定理；
（1）根据平行四边形的性质可知 ， ，再证明四边形 是平行四边形．然后推出
，即可得出结论；
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（2）利用勾股定理的逆定理推出 ，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是菱形．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是矩形．
21. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过点
．
（1）求这个函数的表达式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值，直接写
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出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图象的平移，利用数形结合的思想进行求解是
解题的关键．
（1）根据平移得到 ，再将 ，代入解析式即可得解；
（2）根据题意，可得 时直线 在直线 的上方，利用图象法求出
的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ，
∴ ，
把点 代入 得
，
解得 ，
∴这个一次函数的解析式是 ；
【小问2详解】
解：由题意，得 时直线 在直线 的上方，
当 时， ，
把 代入 ，得 ，解得 ，
如图：
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∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值．
22. 如图， 是 的直径，点C在 上， 的平分线交 于点D，过点D的直线
，分别交 ， 的延长线于点E，F．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键；
（1）连接 ．证明 ， ，可得 ，进而得到结论；
（2） 先推出 ，再在 中，由 ，列出比例式即可求解
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
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∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
即 ．
∴直线 是 的切线．
【小问2详解】
解：∵ ，
设 的半径为r，则 ．
∵ ，
∴ ．
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∵ ，
在 中， ．
即 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ．
23. 如图，在矩形 中， ， ，点P是 边上一动点，连接 ，过点P作
的垂线与 ， 分别相交于点E，F．
小明根据学习函数的经验对线段 ， ， 的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段 ， ， 的长度的几组值，如下
表：
位 位 位 位 位 位 位 位 位 位置 位置
置1 置2 置3 置4 置5 置6 置7 置8 置9 10 11
.
0 0.5 10 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0
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0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0
0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0
在 ， ， 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是
这个自变量的函数；
（2）①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）；
②在同一平面直角坐标系 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且 时， _____ （结果精确到
0.1）．
【答案】（1） ， ， ；
（2）①2.2；②见解析；
（3）1.9．
【解析】
【分析】（1）由函数的定义可得答案；
（2）①如图，当 时，则 是 的中点，此时 重合，过 作 交 于 ，交
于 ，证明 ， ， ，再进一步解答可得答案；②先描点，
再用光滑的曲线连接即可；
（3）结合函数图象可得答案．
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【小问1详解】
解：在 ， ， 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个
自变量的函数；
【小问2详解】
①如图，当 时，而 ， ，
∴ 是 的中点，
∴ ，
此时 重合，
过 作 交 于 ，交 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ；
②描点画图如下：
【小问3详解】
由函数图象可得：当 时， ；
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比
例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
24. 在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 （ ）上，设抛物
线的对称轴为 ．
（1）若 ， ，求t的值；
（2）已知点 ， 在该抛物线上，若 ， ，比较 ， 的大小，并说明理
由．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函
数的对称性计算是解题的关键．
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（1）把点 和点 代入 得出关于 、 的二元一次方程组，解方程组求出 、
的值，根据对称轴方程即可得答案；
（2）根据 得出当 时，y随x的增大而增大，判断出 ， 在对称轴的左侧，根据二
次函数的对称性得出点 关于对称轴 的对称点坐标为 ，点 关于对称轴 的
对称点坐标为 ，进而得出 即可得答案．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴把点 和点 代入 得： ，
解得： ，
∵对称轴 为，
∴ ．
【小问2详解】
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大．
令 ，得 ，
∴抛物线与y轴交点坐标为 ．
∵ ， ， ，
∴ ， 在对称轴的左侧，
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设点 关于对称轴 的对称点坐标 ，
．
．
∴点 关于对称轴 的对称点坐标为 ．
∵ ，
．
．
点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧．
设点 关于对称轴 的对称点坐标 ，
．
．
∴点 关于对称轴 的对称点坐标为 ．
．
．
25. 在 中， ， ，将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段
，连接 ， ．
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（1）依据题意，补全图形；
（2）求 的度数；
（3）作 于点E，连接 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练
掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键．
（1）根据题意补全图形即可；
（ 2 ） 根 据 等 边 对 等 角 和 三 角 形 内 角 和 定 理 得 ， 则 ， 即 可 得 到
．进一步即可得到答案；
（3）作 ，交于 点F．证明 ．再证明 ，得到 ，
， ， ，即可得到结论．
【小问1详解】
补全图形，如图所示：
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【小问2详解】
根据题意可知 ， ，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
，证明如下：
如图，作 ，交 于点F，
，
，
， ，
，
，
，
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，
在 和 中
，
， ，
，
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
