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2021-2022 学年北京市海淀区首都师大附中九年级（上）月考数学试
卷（10 月份）
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 1 D. ﹣3
3. 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）
A. y=x2﹣1 B. y=x2+1 C. y=（x﹣1）2 D. y=（x+1）2
4. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0，配方后得到的方程是（ ）
A. （x﹣2）2=1 B. （x﹣2）2=4 C. （x﹣2）2=5 D. （x﹣2）2=3
5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB＝20°，则∠BOD的度数
是（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
6. 如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能
（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°7. 若点 ， 在抛物线 （ ）上，则下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
8. 边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的
长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 以上都不是
二．填空题（每小题2分，共计16分）
9. 写出一个经过原点且开口向上的抛物线的析式：___．
10. 在平面直角坐标系xOy中，若点B与点 关于点O中心对称，则点B的坐标为______．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．
12. “杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量贡献了自己的一生，某试验田种植了杂交水稻，2019年平
均亩产700千克，2021年平均亩产1000千克，设此水稻亩产量的平均增长率为x，则可列出的方程是___．
13. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半
圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为______cm.
的
14. 已知四个点 坐标分别为A（-4，2），B（-3，1），C（-1，1），D（-1，2）．若抛物线y＝ax2
与四边ABCD的边有两个交点，则a的取值范围为___．15. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，5），B
1 2
（4，﹣1），则方程ax2+bx+c＝kx+m的解是___，函数y＝y﹣y 的对称轴为直线___．
3 2 1
16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中直径为4的圆及其内部最多能覆盖住的格点个数为___．
三．解答题（17-22每小题5分，23-26每小题5分，27，28每小题5分）
.
17 解方程：x2﹣6x+8＝0．
18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在BC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得
到线段AE，连接BE．求证：BE＝CD．
19. 已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a+1）2﹣4a+5的值．
的
20. 下面是小文设计 “过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计完成作图（保留作图痕迹）及证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为⊙M的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝ °（ ）（填推理的依据）
∴OA⊥AP， ⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线 （ ）（填推理的依据）
21. 已知关于x的方程x2＋8x＋12－a＝0有两个不相等的实数根．
⑴ 求a的取值范围；
⑵ 当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．
22. 已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足表：
1
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 0 m …
1
（1）观察表可求得m的值为 ；
（2）请求出这个二次函数的表达式；
的
（3）正比例函数y＝kx（k≠0），当x＞3时总有y＞y，直接写出k 取值范围．
2 1 2
23. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC，若DE＝1，BE＝ ，求GC和OF的长．
24. 用承重指数 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的
木板，实验发现：木板承重指数 与木板厚度 （厘米）的平方成正比，当 时， ．
（1）求 与 的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损
耗）．设薄板的厚度为 （厘米）， ．
①求 与 的函数关系式；
② 为何值时， 是 的3倍？
【注：（1）及（2）中的①不必写 的取值范围】
25. 如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2 ，AE＝2，求⊙O的直径．26. 已知二次函数y＝x2﹣2hx+h2﹣1．
（1）求该二次函数的对称轴（用含h的式子示）；
的
（2）若M（x，y），N（x，y）是二次函数图像上 点，当﹣1≤x＜1且x≥3时，均满足y＜y，求
1 1 2 2 1 2 1 2
h的取值范围；
（3）在（2）的条作下，已知点（﹣3，m），（﹣1，n），（3，p）在二次函数的图象上，若h＞0，比
较m，n，p的大小，说明理由．
27. 如图，在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，直线MN经过点C，且点A，B在直线MN的同侧，
过点A作AD⊥MN于D．
（1）求证：∠DAC＝∠MCB；
（2）点E在AD的延长线上，将线段CE绕点C逆时旋转90°得到线段CF，连接BF交直线MN于H：
①依题意补全图形；
②用等式表示线段BH与FH的数量关系，并证明．
28. 对图形M，N和点P，如果图形M上存在点Q，图形N上存在点Q，使得点Q 绕点P顺时针旋转90°
1 2 1
后与点Q 重合，则称图形N是图形M关于点P的“秋实”图形．
2（1）如图1，A（﹣3，0），B（0，3），则点C （1，0），C （﹣2，﹣1），C （3，0）中．是线段AB
1 2 3
关于坐标原点O的“秋实”图形的点是 ___；
（2）设直线y＝x+b（b＞0）与x轴负半轴交于点D，与y轴正半轴交于点E，⊙F是以点F（2，1）为圆
心，2为半径的圆．若⊙F是线段DE关于坐标原点O的“秋实”图形，求b的取值范围；
（3）设直线l：y＝k（x+m），其中m＞0，⊙G是以G（4，0）为圆心，1为半径的圆，若对⊙G上的任
意一点H，存在k（ ≤k≤ ），使得点H是直线l关于坐标原点O的“秋实”图形，请直接写出m的取
值范围．
