文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
首都师范大学附属中学朝阳学校教育集团
2023—2024 学年第一学期九年级期中考试
满分：100分 时间：120分钟
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计
多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转
，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.是中心对称图形，故该选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
2. 一元二次方程 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 1，4 B. 1，0 C. 1， D. 1，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，正确把一元二次方程化为形如
的形式是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【
详解】解：
移项得： ，
∴二次项系数和一次项系数分别是1， ，
故选C．
3. 关于函数 的图象叙述正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 图象都在 轴下方
C. 与 轴交点为 D. 顶点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数 ，若 ，则函
数开口向上，顶点坐标为 ，函数有最小值k；若 ，则函数开口向下，顶点坐标为 ，函
数有最大值k．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ， ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，故A、D说法错误
∴抛物线有最大值 ，
∴该抛物线的图象都在 轴下方，故B说法正确；
当 时， ，
∴与 轴交点为 ，故C说法错误；
故选B．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点 、 、 在 轴上，点 的坐标为 ， ， 是
经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
A. 绕点 逆时针旋转 ，再向下平移1个单位
B. 绕点 顺时针旋转 ，再向下平移1个单位
C. 绕点 逆时针旋转 ，再向下平移3个单位
D. 绕点 顺时针旋转 ，再向下平移3个单位
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，坐标与图形变化—平移，通过 变换到 应
该先旋转再平移，再结合图形的位置即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ， ， ，
∴由图可知， 绕点 顺时针旋转 ，再向下平移3个单位可得到 ，
故选C．
5. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一
吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为 ，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的
数据带入计算即可.
【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.
6. ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向下的二次函数离对称轴越远函数值越小进行
求解是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵ ， ， 三点都在二次函数 ， ，
∴ ，
故选A．
7. 关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，则二次函数
当 时， 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得
二次函数开口向上，与x轴的两个交点坐标为 ，据此可得答案．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：∵二次函数解析式为 ， ，
∴二次函数开口向上，
∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，
∴二次函数 与x轴的两个交点坐标为 ，
∴当 时， 的取值范围是 或 ，
故选D．
8. 如图，二次函数 的图象经过点 ，点 ，交 轴于点 ，给出下列结论：
① ；②若 ，则 ；③对于任意实数 ，一定有
④一元二次方程 的两根为 和 ．其中正确的结论是（ ）
A. ①③④ B. ①③ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的图象及性质、二次函数的最值，根据函数图象
与 轴的交点，将函数解析式化为交点式，进而可判断①，当 时，代入
，再将函数解析式化为顶点式，利用函数的性质即可判断②，根据函
数的顶点坐标及开口方向即可判断③，方程 化为： ，整理得
，进而可判断④，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解： 二次函数 的图象经过点 、点 ，
抛物线解析式为： ，即： ，
， ，
，故①正确；
当 时， ，
，
顶点坐标为： ，
抛物线的开口向下，
当 时，则 ，故②错误；
，
抛物线的开口向下，
当 时，该二次函数有最大值，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
方程 化为： ，
整理得： ，
解得： ， ，故④正确，
则正确的结论是①③④，
故选A．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称点 的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系内，关于原点对称的两点的横纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：点 关于原点对称点的坐标是 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了点的关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标均互为
相反数是解题的关键．
10. 将二次函数 化成 的形式为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握配方法．
利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11. 若关于 的方程 的一个根为 ，则方程的另一根为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为m，则由根与系数的关系得
到 ，据此可得答案；对于一元二次方程 ，若 是该方程的两
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
个实数根，则 ．
【详解】解：设方程的另一个根为m，
∵关于 的方程 的一个根为 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程的另一个根为 ，
故答案为： ．
12. 如图，在 中， ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ．若点 恰好
落在 边上，且 ，则 的度数为______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，先由旋转的
性质得到 ，再根据等边对等角得到 ， ，利用三角形外角的性质得
到 ，再根据三角形内角和定理得到 ，据此可得答案．
【详解】解：由旋转的性质可得 ，
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则符合条件的非负整数 的个数为
______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据题意，得到 ，将 化为一般形式，计算确定k的取值范围，
结合k为非负整数，求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般式，熟练掌握
根的判别式是解题的关键．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，
，
，
， ， ，
，
解得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
则符合条件的非负整数 有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，
符合条件的非负整数 有16个，
故答案为：16．
14. 如图， 的半径为2， 是函数 的图象， 是函数 的图象， 是函数 的
图象，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形面积，二次函数与几何综合，根据对称性得到阴影部分面积就是一个圆心
角度数为 ，半径为2的扇形面积是解题的关键．
【详解】解：抛物线 与抛物线 的图象关于x轴对称，直线 与x轴的正半轴的夹角
为 ，且抛物线 和抛物线 的图象自身都关于y轴对称，
∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并
且扇形的圆心角为 ，半径为2，
∴
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案为； ．
15. 如图，点 在 轴上， ，将线段 绕点 顺时针旋转120度至 的位置，则经过 、 、
三点的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点B作 轴于D，由旋转的性质可得 ，则
，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出 ，则
，再由 ，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式．
【详解】解：如图所示，过点B作 轴于D，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴- ，
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入 得 ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，旋转的性质，勾
股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确求出点B的坐标是解题的关键．
16. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度 （米）与物体运动的时间
（秒）之间满足函数关系 ，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发
射到落地的运动时间为3秒．设 表示0秒到 秒时 的值的“极差”（即0秒到 秒时 的最大值与最小值
的差），则当 时， 的取值范围是_________；当 时， 的取值范围是_________．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0， ，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，
根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0， ，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴ ，
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，
∴ 时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且 （米）；当t=0时，h最最小，且 （米）；
∴w= ，
∴w的取值范围是 ，
故答案为： ．
当 时， 的取值范围是
∵对称轴为t= =1，a=-5＜0，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且 （米）；当t=3时，h最最小，且 （米）；
∴w= ，w= ，
∴w的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练
掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6
分，第27-28题，每题7分）
17. 解下列方程
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解；∵ ，
∴ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ，
解得 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， 轴于 ．
（1）画出将 绕原点 逆时针旋转90°后所得的 ，并写出点 的坐标为______；
（2）在（1）的条件下， 上一点 ，旋转后的对应点 坐标为______，连接 ，则线段 的
长度为______．
【答案】（1）图见解析； ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2） ； ．
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换及求旋转后的点的坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）根据旋转中心为原点O，旋转方向逆时针，旋转角度90°，得到点A、B的对应点，连接得到
即可；根据点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标；
（2）根据点B坐标变化的特点可得点 坐标；根据 可得 ，再根据旋转证明
，得到 ，利用勾股定理求得 即可解答．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求，
的坐标为 ；
【小问2详解】
解：如图， 的坐标为 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
， ，
由图可知
，
，
，
根据旋转可知， ，
，
，
，
，
，
由勾股定理得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
19. 已知将抛物线 向左平移 （ ）个单位后得到的新抛物线 经过点
．
（1）求平移后的抛物线 的解析式；
（2）利用以上信息图象解答问题：若关于 的一元二次方程 在 的范围内有两
个实数解，则 的取值范围是______．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一元二方程与二次函数的关系，根据二次函数上加下
减，左加右减的平移规律求出平移后的抛物线解析式是解题的关键．
（1）根据抛物线图象的平移规律得到平移后的解析式为 ，再代入 进行求解即可；
（2）根据（1）所求，分抛物线的解析式为 和 两种情况，利用函数图象求
出抛物线与直线 有两个交点时t的取值范围即可得到答案．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：将抛物线 向左平移 （ ）个单位后得到的新抛物线解析式为
，
∵平移后的抛物线经过 ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴平移后的抛物线解析式为 或 ；
【小问2详解】
解：当抛物线解析式为 时，
∴抛物线对称轴为直线 ，开口向上，
∴在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴直线 与抛物线 在 时最多只有一个交点，即关于 的一元二次方程
在 的范围内最多有一个实数解，这与题意不合；
当抛物线解析式为 时，
∴抛物线对称轴为直线 ，开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ，
由函数图象可得，当 时，二次函数 与直线 有两个不相同的交点，即此时关
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
于 的一元二次方程 在 的范围内有两个实数解；
综上所述， ，
故答案为：
20. 关于 的方程 有两个相等的实数根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，可得 ，进而得出 ，根据分式的性质可得 ，将 代入，
即可求解．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得， ，
∵ ，∴ ，
当 时， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握一元二次方程
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
根的判别式的意义是解题的关键．
21. 如图，四边形 是正方形，点E为 内一点，将BE绕点B顺时针旋转 得到 ，连接
、 、 ， 与 交于点G．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明 ， ． ， ．可得 ．
再证明 ，从而可得结论；
（2）先求解 ，再证明 ．结合 是 的外角，
从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ．
∵ 绕点B顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ．
∵ ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ 绕点B顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 是 的外角，
∴ ．
【点睛】本题考查 的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的外角的性质，正方形的性质，掌
握以上基础知识是解本题的关键．
22. 如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把 和 代入 ，建立方程组求解解析式即可；
（2）把 代入函数解析式求解 的值，再利用函数图象可得 时 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数 图象经过点 和 ．
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ；
【小问2详解】
当 时， ，
∴ ，
解得： ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
如图，当 时，
∴ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合
的方法解题是关键．
23. 学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为 8米，在与墙平行的一
面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．
（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为 米；
（2）为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直
的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到 平方米，若能，此时小路的宽度
是多少米？若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）能，道路的宽为 米
【解析】
【分析】（1）设与墙垂直的一面为 米，另一面则为（ ）米，然后利用这堵墙的长度为不超
过 米，列出不等式求解即可；
（2）设小路的宽为a米，两边的长分别为（ ）米，（ ）米，列出方程求解即可求解．
【小问1详解】
解：设与墙垂直的一面为 米，另一面则为（ ）米，
根据题意得： ．
解得： ，
答：长方形车棚与墙垂直的一面至少 米；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故答案： ．
【小问2详解】
解：设小路的宽为 米，根据题意得
，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，
答：小路的宽为 米．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题
的关键．
24. 如图，在 中 ， ， 边上的中线 ．
（1）以点D为对称中心，作出 的中心对称图形；
（2）求 的面积的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）延长 到点M，使 ，然后连接 即可；
（2）证明 得到 ，再利用勾股定理的逆定理得到
为直角三角形， ，再根据 进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
解：如图所示，过点A作 于H，
∵ 为中线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，画中心对称图形等等，灵活运用
所学知识是解题的关键．
25. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，
不妨简称为“锅线”，锅口直径为 ，锅深 ，锅盖高 （锅口直径与锅盖直径视为相同），建
立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，把锅盖纵断面的抛物线记为 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求 和 的解析式；
的
（2）如果炒菜时锅 水位高度是 ，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为 ，高度为 的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？
请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）水面的直径为
（3）锅盖不能正常盖上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）已知 、 、 、 四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
（2）炒菜锅里的水位高度为 ，即 ，列方程求得x的值即可得答案；
（3）底面直径为 、高度为 圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当 时， 、 中的 值
的差与 比较大小，从而可得答案．
【小问1详解】
由于抛物线 、 都过点 、 ，设 、 的解析式为： ，
；
抛物线 还经过 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
则有： ，解得：
即：抛物线 ；
抛物线 还经过 ，
则有： ，解得：
即：抛物线 ．
【小问2详解】
当炒菜锅里的水位高度为 时， ，即 ，
解得： ，
∴此时水面的直径为 ．
【小问3详解】
锅盖不能正常盖上，理由如下：
当 时，抛物线 ，
抛物线 ，
而 ，
∴锅盖不能正常盖上．
【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特
征等，注意数形结合思想在解题中的应用.
26. 已知 ， 两点在一次函数 与二次函数 的图象上．
（1）求 的值和二次函数的解析式；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）请直接写出使 时，自变量 的取值范围为______；
（3）直接写出所求的抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为______．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，坐标与图形变化—轴
对称等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先把点B坐标代入一次函数解析式求出m的值，再把点A坐标代入一次函数解析式求出点A的坐标，
最后把A、B坐标代入二次函数解析式中求出二次函数解析式即可；
（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方自变量的取值范围即可得到答案；
（3）设 是抛物线 关于 轴对称的抛物线图象上的一点，则点 在抛物
线 的图象上，把 代入 中求出m、n的关系式即可得到答案．
【小问1详解】
解：把 代入 中得： ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴ ；
把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴二次函数解析式为 ；
【
小问2详解】
解：由（1）得一次函数解析式为 ，
由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时， ，
∴当 时，自变量 的取值范围为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：设 是抛物线 关于 轴对称的抛物线图象上的一点，
∴点 在抛物线 的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
27. 问题背景：（1）如图1， 和 都是等腰直角三角形，点 在 上，连 ，求证：
；
迁移运用：（2）如图 2，在 中， ， ，点 在 外， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
， ，求 的长；
拓展提升：（3）如图 3，在等腰 中， ， ，点 、 在 外，
， ，直接写出线段 、 、 之间的关系．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，可得结论；
（2）由旋转的性质可得 ， ， ， ，由
勾股定理可求解；
（3）由旋转的性质可得 ， ， ， ，可求 ，
由“ ”可证 ，可得 ，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）证明： 和 都是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，
，
，
，
；
（2）如图2，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 于 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
；
（3）如图3，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
，
，
，
，
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
， ， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
又 ， ，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，
勾股定理等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
28. 我们规定，以二次函数 的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项
构造的一次函数 叫做二次函数 的“子函数”，反过来，二次函数
叫做一次函数 的“母函数”．
（1）若一次函数 是二次函数 的“子函数”，且二次函数经过点 ，求此
二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）若“子函数” 的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式；
（3）已知二次函数 的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，P点在直线l
上方的抛物线上，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）
（3）13
【解析】
【分析】（1）根据二次函数 的“子函数”的定义，可知 ，再把点 代
入解析式即可解决问题．
（2）“子函数” 的“母函数”为 ，利用最小值为1即可求出c的值．
（3）可得直线l的表达式为 ，可求C,D坐标，再根据
可解决问题．
【小问1详解】
由题意得 ， ，
∴抛物线的解析式为 ，把点 代入可得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ．
【小问2详解】
“子函数” 的“母函数”为 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴“母函数”的函数表达式为 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问3详解】
由题意得直线l的表达式为： ，
∴ ， ，
作 轴交直线 于点M，如图，设P点的坐标为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 最大，最大值为13．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、
函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质、灵活应用数形结合思想是关
键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
