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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京首都师范大学附属中学 2023-2024 学年九年级下学期三月学业水
平调研数学试题
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看，上面一层是一个正方形，下面一层是两个正方形，
故选B
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图，掌握三视图的有关定义是解题
的关键．
2. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用
科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对
值大于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为
a时小数点移动的位数．据此解答即可．
【详解】解：二万八千亿写作 ，
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，
故选：C．
3. 如图是一个由5个小正方体和1个圆锥组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据从正面看到的图形即可求解．
【详解】解：从正面看到的图形为 ，
故选：C
【点睛】本题考查了立体图形的三视图，理解三视图的概念是解题的关键．
4. 如图，在 中， 是直径， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得 的度数，又由 是的直
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径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ．
故选C．
【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
5. 正比例函数y=kx和反比例函数 （k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx所过象限，进而选出答案．
【详解】反比例函数 （k是常数且k≠0）中， ＜0，图象在第二、四象限，故A、D
不合题意，
当k＞0时，正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，经过原点，故C符合；
当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，经过原点，故B不符合；．
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故选C．
6. 若 ，则 的结果是（ ）
A. 7 B. 9 C. ﹣9 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方的特征对式子进行整理，即(a- )2+2，最后整体代入进行计算可得结果.
【详解】解：∵ ，
∴
＝（a﹣ ）2+2
＝（﹣3）2+2
＝9+2
＝11，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．
7. 已知： 中， 是中线，点 在 上，且 ．则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系等知识点，先利用等
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腰三角形的性质及外角与内角的关系说明 ，再判断 ，利用相似三角形的性
质用 表示出 ，最后代入比例可得结论．
【详解】解： 是 的中线，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
故选B．
8. 对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y
＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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【解析】
【分析】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a2+a+c=0，根据二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个
不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于
1，设这两个实数根为a、a，则Δ＞0，a＜1，a＜1，即有1-4c＞0，且（a-1）+（a-1）＜0，（a-1）
1 2 1 2 1 2 1
（a-1）＞0，即可解得-2＜c＜ ．
2
【详解】设a是二次函数y=x2+2x+c的不动点，则a=a2+2a+c，即a2+a+c=0，
∵二次函数y=x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，
∴关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，
设这两个实数根为a、a，则a+a=-1，a•a=c，
1 2 1 2 1 2
∴Δ＞0，a＜1，a＜1，
1 2
∴Δ=1-4c＞0①，
且（a-1）+（a-1）＜0②，
1 2
（a-1）（a-1）＞0③，
1 2
由①得c＜ ，
∵a+a=-1，
1 2
∴②总成立，
由③得：a•a-（a+a）+1＞0，即c-（-1）+1＞0，
1 2 1 2
∴c＞-2，
综上所述，c的范围是-2＜c＜ ，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义、一元二次方程解的判定、韦达定理等知识，解题的关
键是根据已知得到关于a的方程a2+a+c=0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1．
二、填空题（本大题共9小题，共21分）
9. 半径为2且圆心角为90°的扇形面积为_______．
【答案】π
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【解析】
【分析】根据扇形面积公式求出即可．
【详解】扇形的面积是 =π，
故答案为π．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
10. 从 张上面分别写着“学”“生”“学”“数”“学”这 个字的卡片（大小、形状完全相同）中随
机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“数”字的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解： 张卡片中有 张写有“数”字，
抽取一张恰好写有“数”字的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
11. 分解因式： =____.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可．
【详解】 ．
为
故答案 ：
12. 如图， 是 的直径，弦 于点 ， ，则 ______°．
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【答案】
【解析】
【分析】先根据 由垂径定理得 ， ，
再由 得到 ，进而得到 ，从而可计算 ．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查垂径定理及 角的三角函数值，解题关键是熟练应用垂径定理．
13. 如图，点A，B，C，D在 上， ， ，则 _________．
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【答案】 ##100度
【解析】
【分析】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待
求角度集中在同一个三角形内．
利用同弧上的圆周角相等得到 ，然后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
14. 如图，在 中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点
M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线 交 于点
D．若 ， 的面积为4，则 的面积为______．
【答案】6
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【解析】
【分析】利用基本作图得到 平分 ，再根据角平分线的性质得点D到 、 的距离相等，
于是利用三角形面积公式得到 的面积 的面积 ，从而可计算出 的
面积．
【详解】解：由作法得 平分 ，则点D到 、 的距离相等，
∴ 的面积 的面积 ，
∵ 的面积为4，
∴ 的面积是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作
已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 也考查了角平分线的性质．
15. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ，PA，PC是⊙O的切线．∠P＝___°．
【答案】40
【解析】
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP=∠OCP=90°，从而得到∠P+∠AOC=180°，再由圆周角
定理可得∠AOC=2∠ABC=140°，即可求解．
【详解】解：如图，连接OC，
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∵PA，PC是⊙O的切线．
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴∠P+∠AOC=180°，
∵ ，
∴∠AOC=2∠ABC=140°，
∴∠P=40°．
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
16. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某校初三（5）班举办了“古诗词”
大赛，现有小恩、小王、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第
一、二、三名（没有并列），对应名次的得分分别为 ， ， （ 且 ， ， 均为正整数）分，
选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小恩
同学第三轮的得分为_______．
第四
第一轮 第二轮 第三轮 第五轮 第六轮 总分
轮
小
27
恩
小
11
王
小
10
奕
【答案】5
【解析】
【分析】根据三位同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合 且a，b，c均为
正整数确定a，b，c的值，从而确定小恩同学第三轮的得分．
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【详解】解：由题意可得： ，
∴ ，
∵a，b，c均为正整数，
若每轮比赛第一名得分a为5，则最后得分最高的为 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 最小取3，
∴ ，
∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；
小王同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；
又∵表格中第二轮比赛，小王第一，小奕第三，
∴第二轮比赛中小恩第二，
∴第三轮中小恩第一，小奕第二，小王第三，
∴小恩的第三轮比赛得5分，
故答案为：5．
【点睛】本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解
题关键．
三、计算题（本大题共1小题，共8分）
17. 计算
（1） （2）
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解；
（2）根据平方差公式与完全平方公式即可求解.
【详解】（1）
解：原式
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（2）
解：原式
【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知多项式的乘法与公式的运算.
四、解答题（本大题共10小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先用负整数次幂、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简，然后再进行计算式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的运用，掌握零次幂、负整数次幂以及特殊角的三角函数值是解答本题的关
键．
19. 已知：如图1，直线AB及AB外一点 ．
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求作：直线 ，使得 ．
作法：如图2，
①在直线 上任取一点C，连接 ；
②C为圆心， 长为半径作弧，交直线 于点D；
③分别以点P，D为圆心， 长为半径作弧，两弧在直线 外交于一点Q；
④作直线 ．
直线 就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
__________，
四边形 是__________形（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2） ，菱，四边相等的四边形是菱形
【解析】
【分析】（1）根据题意，按照步骤补全作图即可；
（2）根据菱形的判定与性质求解即可．
【小问1详解】
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解：直线 如下图所示：
【小问2详解】
证明：连接 ．
，
四边形 是菱形（四边相等的四边形是菱形）．
．
故答案为： ，菱，四边相等的四边形是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质，解题的关键是根据作图方法判断出
．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
的
（2）若 ，且该方程 一个根是另一个根的2倍，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；
（2）设方程的两个根分别为 ，利用根与系数的关系得到 ，由此建立关于m的方程求
解即可．
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【小问1详解】
证明：由题意得，
，
∴关于 的一元二次方程 总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：设方程的两个根分别为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．
21. 如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出 是等腰直角三角形，进而得出答案．
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【详解】解： 半径 弦 于点 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，解题的关键是正确得出 是等腰直角
三角形．
22. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 两点，与 轴、 轴
分别交于 两点
（1）求一次函数与反比例函数的解析式
（2）求当 为何值时，
【答案】（1）一次函数解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）当 时，
【解析】
【分析】（1）根据A点坐标求出反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式求出 B点坐标，最后用待定
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系数法求出一次函数解析式．
（2）令 ，然后解不等式 即可．
【小问1详解】
解：把 代入 得 ，
反比例函数解析式为 ，
把 代入 得 ，
，
把 代入 得 ，解得 ，
一次函数解析式为 ．
【小问2详解】
解：当 时，即 ，解得 ，
当 时， ．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，涉及到用待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系
数法是解题的关键．
23. 在平面直角坐标xOy中，点 在抛物线 上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点 ， ，且 ， ．
①当 时，比较 ， 的大小关系，并说明理由；
②若对于 ， ，都有 ，直接写出t的取值范围．
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【答案】（1）
（2）① ，理由见详解；② 或
【解析】
【分析】（1）对于抛物线 ，令 ，可得 ，可知点（0，2）在抛物线上，根据点
也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为 ；
（2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当 时，根据题意可计算 、 的取值范围，再结合抛物
线图象判断 ， 的大小即可；②分情况讨论，当 、 、 三种情况下， 区域和 区域的
位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围．
【小问1详解】
解：对于抛物线 ，令 ，可得 ，
即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），
又∵点 也在抛物线上，
∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为 ；
【小问2详解】
根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，
①当 时，根据题意可知， ， ， ，
即有 ， ，
由图象可知， ；
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②若对于 ， ，都有 ，可分情况讨论，如下图：
当 时， ， ，由图象对称性可知， 成立；
当 时， 区域向左移动， 区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知， 成立；
当 时， 区域、 区域相向移动，
两区域相遇时，有 ，解得 ，在 时， 成立；
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相遇后，再继续运动，两区域分离时，有 ，解得 ；
分离后，即 时，随着t的增大，由图象对称性可知， 成立；
综上所述，满足条件的t的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用
数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题．
24. 在 中， ， ，过点A作 的垂线 ，垂足为D，E为射线 上一动
点（不与点C重合），连接 ，以点A为中心，将线段 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，
与直线 交于点G．
（1）如图1，当点E在线段 上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为 的中点．
（2）如图2，当点E在线段 的延长线上时，用等式表示 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意画图即可；②由条件可证 ,得到 ,
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从而有 ，再通过平行线分线段成比例即可证出 为 的中点；
（2）由(1)知 ,可得 为 的中点仍然成立,设 ,表示
出 即可发现它们之间的数量关系．
【小问1详解】
解：①如图，
②如图，连接 ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
，
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，
，
，
， ，
，
，
G为 的中点．
【小问2详解】
解： ．
理由如下：如图，连接 ，
由（1）可知： ，
，
为 的中点仍然成立，且 ，
设 ， ，则 ，
，
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，
在 中，由勾股定理可得： ，
， ， ，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出
的长度是解决问题的关键．
25. 如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）已知∠A＝α，求∠D的大小（用含α的式子表示）；
（2）取BE的中点M，连接MF，请补全图形；若∠A＝30°，MF＝ ，求⊙O的半径．
【答案】（1）∠D＝90°﹣2α；（2）⊙O的半径为2．
【解析】
【分析】（1）连接OE，OF，如图，利用等腰三角形的性质得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，所
以∠DOF＝2α，再根据切线的性质得∠OFD＝90°．从而得到∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，利用圆周角定理得到∠AEB＝90°．再证明OM∥AE得到∠MOB＝∠A＝30°．而
∠DOF＝2∠A＝60°，所以∠MOF＝90°，设⊙O的半径为r，利用含30度的直角三角形三边的关系得
OM＝ BM＝ r，然后根据勾股定理得到即（ r）2+r2＝（ ）2，再解方程即可得到⊙O的半径．
【详解】解：（1）连接OE，OF，如图，
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴∠DOF＝∠DOE．
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝α，
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∴∠DOF＝2α，
∵FD为⊙O的切线，
∴OF⊥FD．
∴∠OFD＝90°．
∴∠D+∠DOF＝90°，
∴∠D＝90°﹣2α；
（2）连接OM，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴O为AB中点，∠AEB＝90°．
∵M为BE的中点，
∴OM∥AE，
∵∠A＝30°，
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵∠DOF＝2∠A＝60°，
∴∠MOF＝90°，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OMB中，BM＝ OB＝ r，
OM＝ BM＝ r，
在Rt△OMF中，OM2+OF2＝MF2．
即（ r）2+r2＝（ ）2，解得r＝2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知切线的判定定理及勾股定理的应用.
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ， ．
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（1）若 ，
①求此抛物线的对称轴；
②当 时，直接写出m的取值范围；
（2）若 ，点 在该抛物线上， 且 ，请比较p，q的大小，并说明理由．
【答案】（1）① ；② 或
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①把点 代入 ，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解
析式化为顶点式，即可求解；②求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，再根据二次函数的图象，即可
求解；
（2）把点 代入 可得 ，再由 ，可得 ， ，
从而得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ，然后根据
，可得 ，再根据 ，可得 到对称轴的距离大于 对称
轴的距离，即可求解．
【小问1详解】
解：①当 时，点 ，
把点 代入 得：
，
解得： ，
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∴该函数解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
②令 ，则 ，
解得： ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时， m的取值范围为 或 ；
【小问2详解】
解： ，理由如下：
把点 代入 得：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ 到对称轴 距的离大于 对称轴的距离，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点
A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1） ，证明见解析；
（2）AB=AM+AE，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）连接CM，由AB＝AC， D是BC中点得AD垂直平分线段CD，
，从而有BM=CM=ME，于是得 ，
，即可得 ；
（2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，
AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°得 ，进而证明 是等边三角形，得
AG=AM=MG，从而证明
，即可证明AB=AM+AE，
【小问1详解】
解： ，理由如下：如下图1，连接CM，
AB＝AC， D是BC中点，
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AD垂直平分线段CD， 即 ，
BM=CM，
ME＝MB，
BM=CM=ME，
， ，
，
；
小问2详解】
【
解： AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，
AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°，
，
AG=AM，
是等边三角形，
AG=AM=MG， ，
，
在 和 中，
，
，
EG=AE+AG，AG=AM，
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AB=AM+AE．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定及性质、等边三角形的判定及性质以
及全等三角形的判定及性质，利用旋转思想作出手拉手全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，我们给出如下定义：将图形M绕直线 上某一点P顺时针旋转 ，
再关于直线 对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点 ．
（1）若点P的坐标是 ，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；
（2）若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知 的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在 上且不与点A重合．
若线段 ，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，求此时 P点坐标及点B的
纵坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） ， ，
【解析】
【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到 和 ，过点 作 轴于点 D，可证得
，从而得到 ，即可求解；
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（2）根据题意得：点P位于x轴的下方，设点P的纵坐标为m，过点P作 轴于点E，过点 作
轴交 延长线于点F，坐标为m，表达点 的坐标，可得出结论；
（3）由（2）可知，点 的坐标，由A关于点P的二次关联图形在 上且不与点A重合可得出点 的
坐标，由线段 ，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，找到临界点 ，可
得出 的坐标，进而可得出点B的坐标，即可得出 的取值范围．
【小问1详解】
如图1，根据二次关联图形的定义分别找到 和 ，过点 作 轴于点D，
∴
由旋转可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 和 关于直线 对称，
∴点 ，
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即点A关于点P的二次关联图形的坐标为 ；
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意得：点P位于x轴的下方，
设点P的纵坐标为m，
如图，过点P作 轴于点E，过点 作 轴交 延长线于点F，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
根据题意得：点A和点 关于直线 对称，
∴ ，
解得： ，
∴点P的坐标为 ，
【小问3详解】
解：设点P的纵坐标为n，
由（2）得： ，
∴ ，
∵ 在 上，
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∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ，
∵ ， 其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，
此时点 是一个临界点，连接 ，如图，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
过点 作 轴于点M，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由对称性得：另一个点的坐标为 ，
∴ 的取值范围为 ．
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【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关
知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
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