文档内容
2023 年北京海淀区农业大学附属中学八年级下期末数学试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 下列图案中不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【详解】解：只有选项D连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇
边形有关的一定不是中心对称图形．
2. 以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 32，42，52 B. 13，5，12 C. ， ， D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，
由此即可得出结论．
【详解】A、因为32=9，42=16，52=25，92+162≠252，不能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项正确；
C、因 为（ ）2+（ ）2 （ ）2，不故能构成直角三角形，此选项错误．
D、因为 ，不能构成直角三角形，此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基
础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．3. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完
全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
4. 如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，３），那么一定有【 】
A. m>0，n>0 B. m>0，n<0 C. m<0，n>0 D. m<0，n<0
【答案】D
【解析】
【详解】∵A，B是不同象限的点，而正比例函数的图象要不在一、三象限,要不在二、四象限，
∴由点A与点B的横纵坐标可以知：
点A与点B在一、三象限时：横纵坐标的符号应一致，显然不可能；
点A与点B在二、四象限：点B在二象限得n<0，点A在四象限得m<0.
故选D.
5. 一组数据2，4，5，3，2的中位数是（ ）
A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】中位数是指一组数据从小到大排列之后，如果数据的总个数为奇数，则中间的数即为中位数；如
果数据的总个数为偶数，则中间两个数的平均数即为中位数．
【详解】解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5.
∵数据个数为奇数，最中间的数是3，∴这组数据的中位数是3.
故选：C．
【点睛】本题考查了统计数据中的中位数，明确中位数的计算方法是解题的关键．本题属于基础知识的考
查，比较简单．
6. 下列命题中，正确命题的序号是（ ）
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
②一组邻边相等的平行四边形是正方形
③对角线相等的四边形是矩形
④对角互补的四边形内接于圆
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，
从而得出正确选项．
【详解】解：①由平行四边形的判定定理知正确；
②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
④对角互补的四边形内接于圆，正确．
故选D．
【点睛】此题综合考查平行四边形、菱形、矩形的判定及内接于圆的四边形的条件．
7. 矩形 中， 是 中点，如果 ， ，那么 的长为 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦函数求出AB的长度，再利用勾股定理求出AC即可.
【详解】在直角 ABE中，∠BAE=30°．
△∴BE= AE=1，AB=AE× =
是 的中点
∴BC=2BE=2．
在直角△ABC中利用勾股定理得到：AC=
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的基本性质及余弦函数与勾股定理，熟练掌握余弦函数 = 是正确
求解的关键.
8. 菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质可得这条对角线与菱形的两边组成等边三角形，从而求得锐角的度数等于60°．
【详解】解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于
60°，
故选C．
【点睛】此题主要考查菱形的性质：四边相等．
二、填空题（共8小题；共40分）
9. 一元二次方程 的解为__________．
【答案】x= 或x=2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x= ,故答案为:x= 或x=2．
【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论．
10. 将直线 沿 轴向上平移 个单位，可得直线的解析式________________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将直线 向上平移5个单位长度后，所得直线解析式为 ，即
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键．
11. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA= ，BE=4，则tan∠DBE的值是___．
【答案】2．
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．
∵cosA= ，BE=4，DE⊥AB，∴设AD=AB=5x，AE=3x．
∵BE=4，∴5x﹣3x=4，解得x=2．∴AD=10，AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得： ，
在Rt△BDE中， =2．
考点：菱形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理．12. 时钟上的分针匀速旋转一周需要 分钟，则经过 分钟，分针旋转了_________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】先求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6度，再求10分钟分针旋转的度数即可．
【详解】解：∵时钟上的分针匀速旋转一周的度数为360度，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，
则时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为： ，
那么40分钟，分针旋转了 ，
故答案为：240．
【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，解决本题的关键是求出时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度
数．
13. 如图，函数 和 图象相交于点 ，则关于 ， 的方程组的解为
_______________ ．
【答案】
【解析】
【分析】函数 和 图象的交点坐标即为关于 ， 的方程组的解
【详解】把 代入 ，得
．
解得
．所以，点 的坐标为 ．
因为函数 和 的图象相交于点 ．
所以，关于 ， 的方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程，牢记一次函数与二元一次方程的关系（解一个二元一次
方程组，可以先写出方程组中的两个二元一次方程分别对应的一次函数，其图象的交点坐标即为方程组的
解）是解题的关键．
14. 如图，公路 ， 互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得 的长为 ，
则 ， 两点间的距离为___ ．
【答案】1.2
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC＝AM＝1.2km．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB的中点，
∴MC＝ AB＝AM＝1.2km．
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上 的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一
半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
15. 如图，在 中， ， ， ，CD平分 交AB于点D．点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】构建如图坐标系，利用一次函数构建方程组求出点D、E坐标，作点E关于BC的对称点E′，连
接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长．
【详解】根据如图坐标系：
由题意： A(0,6)，B(8,0) ，
∴ 直线 AB 的解析式为 y=− x+6 ，
∵CD 平分 ∠ACB ，
∴ 直线 CD 的解析式为 y=x ，
由 ，解得 x= ，y= ，
∴D( ， ) ，
∵CE=DE ，∴E( ， ) ，作点 E 关于 BC 的对称点 E′( ，− )，
连接 DE′ 交 BC 于 P，此时 PD+PE 的值最小 ，
最小值为 DE′ 的长，
∵D( ， ) ，E′( ，− )，如图作 交于M点，
DM= ， = ，
∴DE′= = ，∴PD+PE 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题，一次函数应用的知识，还有勾股定理求边长，解题的关键是学会
构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题．
16. 如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且
能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．
若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为
360°，则k关于边数n的函数是___（写出n的取值范围）
【答案】 （n=3，4，6）
【解析】
【分析】先根据n边形的内角和为（n-2）•180°及正n边形的每个内角相等，得出 ，再代
入360=kα，即可求出k关于边数n的函数关系式，然后根据k为正整数求出n的取值范围．
【详解】∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，∴正n边形的每个内角度数 ．
∵360=kα，
∴ ，
解得 ．
∵ ，k为正整数，
∴n﹣2=1，2，±4．
∴n=3，4，6，﹣2．
又∵n≥3，
∴n=3，4，6，
即 （n=3，4，6）．
故答案为： （n=3，4，6）
【点睛】本题考查了n边形的内角和公式，正n边形的性质及分式的变形，根据正n边形的性质求出k关
于边数n的函数关系式是解题的关键．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 计算： ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
【详解】解：∴ 或 ，
解得 ，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程及二次根式的运算，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、
公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
【答案】（1）y=1.5x+4.5；（2）21
【解析】
【详解】（1）设y=kx+b．
.
由图可知：当x=4时，y=10 5；当x=7时，y=15．
把它们分别代入上式，得
解得k=1.5，b=4.5．
∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x≥1）．
（2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm
19. （1）探究规律：
已知：如图，点 为平行四边形 内一点， 、 的面积分别记为 、 ，平行四
边形 的面积记为 ，试探究 与 之间的关系．（2）解决问题：
如图矩形 中， ， ，点 、 、 、 分别在 、 、 、 上，且
， ．点 为矩形内一点，四边形 、四边形 的面积分别记为
、 ，求 ．
【答案】（1） ，证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，过 点作 ，作 延长线于点 ，延长 交 于点 ，可
得平行四边形 与 同底同高，平行四边形 与 同底同高，由此即可求解；
（2）如图所示，连接 、 、 、 得四边形 ，可证 ，
，即四边形 是平行四边形，并可求出 ， ，
由此可求出平行四边形 的面积，由（1）的计算方法即可求解．
【详解】证明：（1） ，理由如下，
如图所示，过 点作 ，作 延长线于点 ，延长 交 于点 ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
，
．
解：（2）如图所示，连接 、 、 、 得四边形 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，且 ，
同 理 可 得 ， ， ， ，， ，
∴四边形 为平行四边形， ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、矩形的性质及不规则图形面积的计算方法，掌握已知知识的综
合运用是解题的关键．
20. 如图，在□ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF.
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形ABFC是矩形时，当∠AEC=80°，求∠D的度数.
【答案】（1）见解析；（2）40°
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质得出AB∥DC，推出∠1=∠2，根据AAS证两三角形全等即可；
（2）由四边形ABFC是矩形可得AE=BE，由外角额性质可求出∠ABE=∠BAE=40°，然后根据平行四边形
的对角相等即可求出∠D的度数.
【详解】解：（1）如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC 即 AB∥DF，∴∠1=∠2，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△ABE和△FCE中，
∠1＝∠2, BE＝CE,∠3＝∠4,
∴△ABE≌△FCE（AAS）．
(2)∵四边形ABFC是矩形，
∴AF=BC，AE= AF，BE= BC，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠AEC=80°，
∴∠ABE=∠BAE=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠ABE=40°.
点睛：本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，矩形的性质，三角形外角的性
质，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质还是解答本题的关键.
21. 已知关于 的方程 ．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程有一个根为 ，请求出方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2） ，或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式处理，求证 ；
（2）将 代入方程，求得待定参数k的值，代入原方程，求解即可．
【小问1详解】
证明： ，
原方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
解：把 代入方程 ，得
解得
当 时，原方程化为
解得
当 时，原方程化为
解得
综上，原方程的另一个根 ，或 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求解，掌握根的判别式的运用是解题的关键．
22. 张师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示还能行驶50千米．假设
加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之
间的关系如图所示．
（1）求张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式；
（2）求出a的值；
（3）求张师傅途中加油多少升．
【答案】（1）张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式为：y=–8t+28；
（2）a=3； （3）张师傅途中加油46升．
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）首先求出y=0时，t的值，进而得出a的值；
（3）根据汽车的耗油量以及剩余油量和加油量之间关系得出等式求出答案．试题解析：（1）设加油前函数解析式为y=kt+b（k≠0），
把（0，28）和（1，20）代入，
得 ，
解得： ，
故张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式为：y=﹣8t+28；
（2）当y=0时，﹣8t+28=0，
解得：t= ，
故a= ﹣ =3；
（3）设途中加油x升，则28+x﹣34=8× ，
解得：x=46，
答：张师傅途中加油46升．
考点：一次函数的应用
23. 已知：正方形 的边长为6，点E为 的中点，点F在 边上， ，画出 ，
猜想 的度数并写出计算过程．
解： 的度数为 ．
计算过程如下：
【答案】45°，计算过程见解析
【解析】
【分析】根据题意画出图形，进一步作出辅助线，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性质解决问
题即可．延长 到点 ，使 ，连接 ， ，证得 和 即可得出结
论．
【详解】解：所画 如图所示，
的度数为45°，
计算过程如下：
如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ．
正方形 的边长为6，
， ．
，
∴ ．
在 和 中，
，
， ，
∴ ，
即 ．
点 为 的中点，．
点 在 边上， ，
， ．
．
∵在 中， ，
．
∴在 和 中，
，
．
故答案为： ．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用，利用了转化的数学思想
方法．
24. 如图， 中， 于点 ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ， ．
（1）求证 ．
（2）若四边形 的周长是 ， 的周长是 ．求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【
分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到 ， ，求得 ，得到
，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【小问1详解】
，
，
点 是 的中点，
；
【小问2详解】
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
四边形 的周长是30，
，
的周长是21，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
