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雅礼中学 2025 届高三月考试卷（二）
数学
命题人：周芳芳 张博 审题人：周芳芳 伊波
得分：______
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150
分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 设 ， 是单位向量，则 的最小值是（ ）
A. B. 0 C. D. 1
.
4 已知 ，则 （ ）
A. 5 B. C. -5 D.
5. 巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量 ，且 .记一天中旅客人数不少于26万
人的概率为 ，则 的值约为（ ）
（参考数据：若 ，有 ， ，）
A. 0.977 B. 0.9725 C. 0.954 D. 0.683
6. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于 ， 两点，则 的
最小值为（ ）
A. B. 4 C. D. 3
7. 若 ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其总重量恰为9克
的方法总数为 ，下列各式的展开式中 的系数为 的选项是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. (多选)下列选项中，正确的是（ ）
A. 不等式 的解集为 或
B. 不等式 的解集为
C. 不等式 的解集为D. 设 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
10. 如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器一边 于地面上，再
将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）
的
A. 没有水 部分始终呈棱柱形
B. 水面 所在四边形的面积为定值
C. 随着容器倾斜度的不同， 始终与水面所在平面平行
D. 当容器倾斜如图（3）所示时， 为定值
11. 已知奇函数 在 上单调递增， ， ，若 ，则
（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B.
C. 或
D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 从 ， ， ，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为 ， ，记 “ ”，则
______.
13. 如图， 中， ， ， 为 中点，则 的取值范围为______.
14. 小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子（黑球数少于白球数）轮流取
球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取 颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球
（至少各取 颗），最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有 个球，且两人掷硬币后决定由小军先手取
球.小方看了眼黑盒中的球，对小军说：“你输了！”若已知小方有必胜策略，则黑盒中球数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15. 记 的内角 的对边分别为 .已知 ， .
（1）求 ；
（2）若 的内切圆在 上的切点为 ，求 .
16. 已知动圆 过点 且与圆 ： 内切.
的
（1）求动圆圆心 轨迹 的方程；
（2）设动圆 ： ， 与 相交于 四点，动圆 ： 与 相交
于 四点.若矩形 与矩形 的面积相等，求 的值.
17. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心
的
和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制 《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布，《指南》建议18～64岁的成年人每周进行150～300分钟中等强度或75～150分钟高强
度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”），经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年
人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访
的18～64岁的市民数为随机变量 （ ），且该市随机抽取的18～64岁的市民是达标成年人的概率
为 ，抽查结果相互独立.
（1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；
（2）若抽取的18～64岁的市民数 不超过 的概率大于 ，求整数 的最小值.
18. 已知函数 .
（1）当 时，求 的图象在点(1,f (1))处的切线方程；
（2）若 时， ，求 的取值范围；
（3）求证： .
19. 高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由
欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系.其特例是球面三
角形总曲率 与球面三角形内角和 满足： ，其中 为常数，（如图，把球面上的三个点用三
个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球面三角形，每个大圆弧叫做球面三角
形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个角.球面三角形的总曲率等于 ，
为球面三角形面积， 为球的半径）.（1）若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为 ，求此球面三角形内角和；
（2）求 的值；
（3）把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸
多面体.设凸多面体 顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，试证明凸多面体欧拉示性数
为定值，并求出 .
