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2022—2023 学年度第一学期 9 月学习诊断—初三数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常系数分别是
A. 3，6，1 B. 3，6，-1 C. 3，-6，1 D. 3，-6，-1
2. 把抛物线 向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为
A. B. C. D.
是
3. 如图，在正方形网格中， 绕某一点旋转某一角度得到 ，则旋转中心可能 （
）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
4. 用配方法解方程 ，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线 经过点 ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
6. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n
的值可能是（ ）A. 45 B. 60 C. 90 D. 120
7. 已知抛物线 ，其中 ， ．下列说法正确的是（ ）
A. 该抛物线经过原点
B. 该抛物线的对称轴在 轴左侧
C. 该抛物线的顶点可能在第一象限
.
D 该抛物线与 轴必有公共点
8. 如图，在 中， ，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从
点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的
速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y， 的面积为S，则y与t，S与t满足的函数
关系分别是（ ）
A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 一元二次方程x2＝2x的解为________．
10. 写出一个图象开口向上，且经过点 的二次函数的解析式：_______．
的
11. 若关于x 一元二次方程 有一个根为0，则a的值为_________．
12. 如图，矩形ABCD中， ， ．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得
点B'落在边AD上，此时DB'的长为______．13. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，
只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几
步．若设长为x步，则可列方程为_____．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点
为 ，则关于 的方程 的解为__________．
15. 抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，则 的值为_______．
16. 若抛物线 与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为
______．
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18题3分，第19题~25题，每小题5分，第
26题6分，27~28题，每小题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为(0，2)，(-1，0)，将 绕点O顺时针旋转 得到 ．
（1）画出 ；
（2）直接写出点 和点 的坐标．
19. 如图，等边三角形 的边长为3，点 是线段 上的点， ，以 为边作等边三角形
，连接 ，求 的长．
20. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
21. 二次函数 图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 0 2 0 …（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在上图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当 时，自变量x的取值范围．
（4）当抛物线 的顶点在直线 的下方时，n的取值范围是______．
22. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E
在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方
米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的
长为多少米？
23. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ， ．
求实数m的取值范围；
是否存在实数m，使得 成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
24. 如图，在四边形 中，AB//DC， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
是
（1）求证：四边形 菱形；
（2）若 ， ，求 的长．25. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为 轴方向，1m为单
位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的 点出手，运动路径可看作抛物线，在 点
处达到最高位置，落在 轴上的点 处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点 与出手点 的水平距离 的长度）不小于10m，成绩为优秀．请
通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ， ．
（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；
（2）若此抛物线与直线 没有公共点，求a的取值范围；
（3）点 ， 在此抛物线上，且当 时，都有 ．直接写出a的取值范围．
27. 如图，已知 ，OP是 的平分线，A，B分别在OP，OM上，且
．以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON
上取一点D，使得 ．（1）①依题意补全图；
②求证： ；
（2）连接CD，若 ，求 的度数，并直接写出 的值．
28. 点P到 的距离定义如下：点Q为 的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的
长度为点P到 的距离，记为 ．特别的，当点P在 的边上时，
．
在平面直角坐标系xOy中， ．
（1）如图1，若 ， ，则 ______， ______；
（2）在正方形OABC中，点 ．①如图2，若点P在直线 上，且 ，求点P的坐标；
②将抛物线 向下平移 个单位长度后得到的新抛物线记作图象W，若点P在图象W上，
且满足 的点P有且只有两个，请直接写出k的取值范围．
