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2024 年北京市海淀区首都师大附中中考数学零模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶
光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表
示为（ ）
A. 6000×104 B. 6×107 C. 0.6×108 D. 6×108
2. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．2022年北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵
感来源；北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是以熊猫为原型进行设计创作；北京冬季残奥会的吉祥物“雪容
融”是以灯笼为原型进行设计创作．下列冬奥元素图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，则代数式 的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
6. 一个不透明的盒子中装有15个除颜色外无其他差别的小球，其中有2个黄球和3个绿球，其余都是红
球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为（ ）
.
A B. C. D.
7. 一组数据1，2，2，3，5，将这组数据中的每一个数都加上 ，得到一组新数据 ， ，
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， ， ，这两组数据的以下统计量相等的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
8. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 千帕 随气球内气体的体积
立方米 的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（ ）
立方米 64 48 32 24 …
千帕 2 3 4 …
A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是___________.
10. 分解因式： __________．
11. 下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数 48 82 124 176 230 287 328
投中次数 33 59 83 118 159 195 223
投中频率
根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为________．（结果精确到 ）
12. 如图，双曲线 与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为
_______．
13. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛
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(“斛”是古代的一种容量单位)，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”
译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2
斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？
设1个大桶可以盛酒 斛，1个小桶可以盛酒 斛，依题意，可列二元一次方程组为____________________．
14. 不等式组 的解集为________．
15. 在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则m__n
（填“＞”“＝”或“＜”）．
16. 下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌幅情况折线图（注：2022
年2月与2021年2月相比较称为同比，2022年2月与2022年1月相比较称为环比）．
根据图中信息，有下面四个推断：
①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨；
②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌；
③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月
同比数据的方差；
④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1
月环比数据的平均数．
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所有合理推断的序号是________．
三、计算题：本大题共2小题，共10分．
17. 计算： |﹣2|﹣2cos45° ．
18. 解方程： ．
四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
的
19. 已知 ，求代数式 值．
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
21. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点 ．
的
（1）求这个反比例函数 解析式：
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于反比例函数 的值，直接写
出n的取值范围： ．
22. 京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和
命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为
“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向
上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片
分别记为A、A，图案为“黑脸”的卡片记为B）
1 2
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23. 2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠
王”2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以
或者 取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以 取胜的球队积2分，负队积1分．前四
名队伍积分榜部分信息如下表所示：
名次 球队 场次 胜场 负场 总积分
1 中国 11 11 0
2 美国 11 10 1 28
俄罗
3 11 8 3 23
斯
4 巴西 11 21
（1）中国队11场胜场中只有一场以 取胜，请将中国队的总积分填在表格中．
（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表，求巴西队胜
场的场数．
24. 如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨
迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门
得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为 ，水流的最高点到地面的距离记为
．
与 的几组对应值如下表：
（单位： ） 0 1 2 3 4 …
（单位： ） 1 2 …
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（1）该喷枪的出水口到地面的距离为________ ；
（2）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点，并画出 与 的函数图像；
（3）结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为 时，水流的最高点到地面的距离
为________ （精确到 ）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________ （精确到 ）
25. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中
随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组： ， ， ，
， ）
b．甲小区用气量的数据在 这一组的是：
15，15，16，16，16，16，18，18，18，18，18，19
的
c．甲，乙两小区用气量 平均数、中位数、众数如下：
小 平均 中位 众
区 数 数 数
甲 17.2 m 18
乙 17.7 19 15
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根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为 ．在乙小区抽取的用户
中，记3月份用气量高于他们的平均用气量的户数为 ．比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）估计甲小区中用气量不超过15立方米的户数．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）若抛物线过点 ．
①求抛物线 的对称轴；
②当 时，图像在 轴的下方，当 时，图像在 轴的上方，在平面直角坐标系中画出符
合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；
（2）若 ， ， 为抛物线上的三点且 ，设抛物线的对称轴为直线 ，
直接写出 的取值范围．
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27. 如图，已知 ， 是 的平分线，点A是射线 上一点，点A关
于 对称点 在射线 上，连接 交 于点 ，过点A作 的垂线，分别交 ， 于点 ，
，作 的平分线 ，射线 与 ， 分别交于点 ， ．
（1）①依题意补全图形；
②求 度数；（用含 的式子表示）
（2）写出一个 的值，使得对于射线 上任意的点A总有 （点A不与点 重合），并证
明．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 和直线 给出如下定义：若 的一条边
关于直线 的对称线段 是 的弦，则称 是 的关于直线 的“关联三角形”，直线 是“关联
轴”．
（1）如图1，若 是 的关于直线 的“关联三角形”，请画出 与 的“关联轴”（至少画两
条）；
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（2）若 中，点 坐标为 ，点 坐标为 ，点 在直线 的图像上，存在“关联轴
”使 是 的关联三角形，求点 横坐标的取值范围；
（3）已知 ，将点 向上平移2个单位得到点 ，以 为圆心 为半径画圆， ， 为
上的两点，且 （点 在点 右侧），若 与 的关联轴至少有两条，直接写出 的最小
值和最大值，以及 最大时 的长．
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