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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市北师大附属实验中学分校 2024 年中考数学二轮模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 长江干流上的葛洲坝、三峡向家坝、溪洛渡、白鹤滩、乌东德6座巨型梯级水电站，共同构成目前世界
上最大的清洁能源走廊，总装机容量71695000千瓦，将71695000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解∶ ．
故选∶A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义旋转 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得
到答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、是中心对称图形，符合题意，选项正确；
C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误，
故选：B．
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【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键．
3. 式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是
非负数，否则二次根式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：依题意，得
，
解得， ．
故选：D．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. “买中奖率为 的奖券10张，中奖”是必然事件
B. “汽车累积行驶 ，从未出现故障”是不可能事件
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为 ”，意味着襄阳明天一定下雨
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【答案】D
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可．
【详解】A. “买中奖率为 的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；
B. “汽车累积行驶 ，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；
C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为 ”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；
D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；
故选：D．
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【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需
要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定．
5. 将方程 配方后，原方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：
．
故选A．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．
6. 某无盖分类垃圾桶如右图所示，则它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单组合图形的三视图，属于基础题，关键掌握俯视图是从上向下看得到的视图．俯
视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断．
【详解】解：从上向下看，是两个同心圆．
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故选：B
7. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝
4 ，则AE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出．
【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．
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8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），
AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A. B. 8 C. 10 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，
1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得 ，求证
△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF= ，进而可求得B（4， ）；将B（4， ）代入反比例函数 ，
即可求得k的值．
【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
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∴DH=3，
∴ ，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为： ，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴ ,
∴ED=AD- AE=5- = ，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴ ,
∴ ,
∴在矩形ABCD中， ，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴ ,
∴代入数值，可得AF=2，BF= ，
∴OF=AF+AO=4，
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∴B（4， ），
∴将B（4， ）代入反比例函数 ，得 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的
性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反
比例函数，即可得解．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9. 点 关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答
案．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10. 因式分解： ___________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．
【详解】 ．
故答案为： ．
11. 计算 的结果等于__________．
【答案】3
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【解析】
【分析】先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】解：原式=（ ）2-（ ）2
=6-3
=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
12. 在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，则m的值为
______．
【答案】3
【解析】
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
【详解】解：∵函数 的图象经过点 和
∴把点 代入得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数
图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
13. 如图，在长方形 中， ， ，点 为射线 上一个动点，把 沿直线 折
叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，则 的长为__________．
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【答案】 或10
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段 上时，
②当点E在线段 延长线上时，点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，先求出
，再求出 ，设 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：①当点E在线段 上时，
过点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵点F在线段 的垂直平分线上，
∴ ，则 ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ，
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根据勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
即 ；
②当点E在线段 延长线上时，
过点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵点F在线段 的垂直平分线上，
∴ ，则 ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
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根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
即 ．
综上： 或 ．
故答案为： 或10．
14. 若一组数据 的平均数为17，方差为3，则另一组数据 ， ， 的平
均数是_______，方差是_______
【答案】 ①. 36 ②. 12
【解析】
【分析】本题考查根据一组数据的平均数和方差，求另一组数据的平均数和方差，若一组数据
的平均数为 ，方差为 ；则数据 的平均数为 ，方差为
，由此可解．
【详解】解：由题意得： ， ，
则另一组数据 ， ， 的平均数是：
，
方差为：
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，
故答案为：36；12．
15. 已知一次函数 与 ，则 的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，以及解一元一次不等式，根据 建立不等式求解，
即可解题．
【详解】解： ，
，
解得 ，
故答案为： ．
16. 如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和
上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两
弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一个动点，连接 ，则
的最小值是______________．
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【答案】
【解析】
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定
理求出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则
，当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小，
最小值为 ，利用含 的直角三角的性质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，
由题意知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用
等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂然后根
据实数的运算法则求得计算结果．
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【详解】解：
．
18. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】先对小括号部分通分，再把除化为乘，然后根据分式的基本性质约分，最后代入求值．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式 的化简求值，二次根式的分母有理化计算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是
解题关键．
19. 解不等式组：
【答案】
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【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解； ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
则不等式组的解为 ．
20. 在平面直角坐标系 中，直线 与 交于点 ．
（1）求 ， 的值；
（2）已知点 ，过点 作垂直于 轴的直线交直线 于点 ，交直线 于点 ．若
，直接写出 的值．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）将点 代入 求得 ，将 代入 ，即可求得 的值；
（2） ， ，根据 ，则 ，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：将点 代入
即 ，
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∴ ，
代入 ，即 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：依题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
21. 2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹
景象．小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊心”》四部电影中随机
选择一部观看，将《满江红》表示为 ，《无名》表示为 ，《流浪地球2》表示为 ，《熊出没·伴我
“熊心”》表示为 ．
（1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为________；
（2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，共有4种不同的选法，
故选中《满江红》的概率为 ．
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【小问2详解】
解：画树状图如下：
∵共有16种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的情况有 4种，分别是 、
、 、 ，
∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率： ，
即 （小亮和小丽恰好选择观看同一部电影） ．
【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率．正确的列出树状图是解题的关键．
22. 如图，在四边形 中， ，过点D作 的角平分线交 于点E，连接 交
于点O， ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， 的周长为36，求菱形 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）96
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义证得 ，
再利用等腰三角形的等角对等边得到 ，进而利用菱形的判定定理即可证得结论；
（2）先根据菱形的性质和三角形的周长求得 ，进而利用勾股定理求得 即可求解．
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【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ， 的周长为36，
∴ ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ．
【点睛】本题考查菱形 的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行线的性质
以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键．
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23. 如图， 为 的直径，弦 于点H， 的切线 与 的延长线交于点E，
， 与 的交点为F．
（1）求证： ；
（2）若 的半径为6， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）利用切线性质，圆周角定理，余角的性质证明 ；
（2）利用三角函数计算即可．
本题考查了切线性质，圆周角定理，余角的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质，三角函数是解题的关
键．
【小问1详解】
证明：连接 则 ，
∵ 与 相切于点C，
∴ ，
∵ 为 的直径，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ + ＝ + ＝ ，
∴ ．
解法2 证明：连接 ，交 于点M，
∵ 与 相切于点C，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ 的半径为6， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为12．
24. 在平面直角坐标系 中，对于 和线段 给出如下定义：如果线段 上存在点P，Q，使得
点P在⊙G内，且点Q在 外，则称线段 为 的“交割线段”．
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（1）如图， 半的径为2，点 ．
①在 的三条边 中， 的“交割线段”是 ；
②点M是直线 上的一个动点，过点M作 轴，垂足为N，若线段 是 的“交割线段”，
求点M的横坐标m的取值范围；
（2）已知三条直线 ， ， 分别相交于点D，E，F， 的圆心为 ，半径为
2，若 的三条边中有且只有两条是 的“交割线段”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ；②当 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）先根据点A和点B的坐标得到 与 相切，则线段 上没有点在 外；再证明线
段 上没有点在 外，线段 上有点在 内，也有点在 内，即可得到结论；
（2）设直线 在x轴上方与 交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设
，利用勾股定理求出 ，由函数图象可知，当点M在 之间（不包括端点），即
时，线段 是 的“交割线段”；由对称性可得当 时，线段 是
的“交割线段”；
（3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的
定义即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴点A在 上，
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∴ 与 相切，
∴线段 上没有点在 外，
∴线段 不是 的“交割线段”，
∵ ，
∴点C在 内，点B在 外，
∴线段 上没有点在 外，线段 上有点在 内，也有点在 内，
∴线段 不是 的“交割线段”，线段 是 的“交割线段”，
故答案为： ；
②如图所示，设直线 在x轴上方与 交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，
设 ，
∴ ， ，
∴此时点H刚好在 上，且此时 与 相切；
∵ 的半径为2，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
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∴由函数图象可知，当点M在 之间（不包括端点），即 时，线段 是 的“交割线
段”；
由对称性可得当 时，线段 是 的“交割线段”；
综上所述，当 或 时，线段 是 的“交割线段”；
【小问2详解】
解：联立 得 ，
∴ ，
同理可得 ， ；
如图2-1所示，当 恰好经过点D时，
∴ ，
∴ ；
如图2-2所示，当 恰好与 相切于H时，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
由切线的性质可得 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当 时， 是 的“交割线段”， 不是 的“交割线段”；
如图2-3所示，当 恰好经过点D时，
∴ ，
∴ ；
如图2-4所示，当 恰好与 相切于P时，连接 ，设直线 与x轴交于Q，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由切线的性质可得 ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 是 的“交割线段”， 不是 的“交割线段”；
综上所述，当 或 时， 的三条边中有且只有两条是 的“交割线段”．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三
角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值．
25. 如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，抛物线的顶点 在直线 上，与 轴的
交点为 ，其中点 的坐标为 ．直线 与直线 相交于点 ．
（1）如图2，若抛物线经过原点 ．
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①求该抛物线的函数表达式；②求 的值．
（2）连接 与 能否相等？若能，求符合条件的点 的横坐标；若不能，试说明理由．
【答案】（1）① ；②
（2）能， 或 或 或 ．
【解析】
【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
②过点 作 于点 ．设直线 为，把 代入，得 ，解得
，直线 为 ．同理，直线 为 ．联立两直线解析式得出
，根据 ，由平行线分线段成比例即可求解；
（2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．①如图 2-1，当 时，存在
．记 ，则 ．过点 作 轴于点
，则 ．在 中， ，进而得出点 的横坐标为6．②如图2-2，
当 时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点
，则 ．在 中， ，得出点 的横坐标为 ．③如图 ，当
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时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在
中， ，得出点 的横坐标为 ．④如图 2-4，当 时，存在
．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中，
，得出点 的横坐标为 ．
【小问1详解】
解：①∵ ，
∴顶点 横的坐标为1．
∴当 时， ，
∴点 的坐标是 ．
设抛物线的函数表达式为 ，把 代入，
得 ，
解得 ．
∴该抛物线的函数表达式为 ，
即 ．
②如图1，过点 作 于点 ．
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设直线 为 ，把 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 为 ．
同理，直线 为 ．
由
解得
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
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【小问2详解】
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
①如图 ，当 时，存在 ．
记 ，则 ．
∵ 为 的外角，
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为6．
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②如图2-2，当 时，存在 ．
记 ．
∵ 为 的外角，
∴ ．
∴
∴ ．
∴ ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为 ．
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③如图2-3，当 时，存在 ．记 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
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∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为 ．
④如图2-4，当 时，存在 ．记 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
过点 作 轴于点 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，解得 ．
∴点 的横坐标为 ．
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综上，点 的横坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类
讨论是解题的关键．
26. 和 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 运
动，运动到点B、C停止.
（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 的数量关系是____________，位
置关系是____________；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不
成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形 的面积是 面积的一半，请直接写出答案；此时，四
边形 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
【答案】（1）CD=EF，CD EF
（2）CD=EF，CD EF，成立，理由见解析
（3）点D运动到BC的中点时， 是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 和 均为等边三角形，得到AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，根据
E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，推出CD=EF，CD EF；
（2）连接BF，根据∠FAD=∠BAC=60°，推出∠FAB=∠DAC，根据AF=AD，AB=AC，推出
AFB≌ ADC，得到∠ABF=∠ACD=60°，BF=CD，根据AE=BD，推出BE=CD，得到BF=BE，推出
△BFE是△等边三角形，得到BF=EF，∠FEB=60°，推出CD=EF， CD∥EF；
△
（3）过点E作EG⊥BC于点G，设 ABC的边长为a，AD=h，根据AB=BC，BD=CD= BC= a，
△
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BD=AE，推出AE=BE= AB，根据AB=AC， 推出AD⊥BC，得到EG AD，推出 EBG∽ ABD，推出
△ △
，得到 = h，根据CD=EF， CD∥EF，推出四边形CEFD是平行四边形，
推出 ，根据EF=BD，EF BD，推出四边形BDEF是平
行四边形，根据BF=EF，推出 是菱形．
【小问1详解】
∵ 和 均为等边三角形，
∴AF=AD，AB=BC，∠FAD=∠ABC=60°，
当点E、D分别与点A、B重合时，AB=AD，EF=AF，CD=BC，∠FAD=∠FAB，
∴CD=EF，CD EF；
故答案为：CD=EF，CD∥EF；
【小问2详解】
CD=EF，CD EF，成立．
证明：
连接BF，
∵∠FAD=∠BAC=60°，
∴∠FAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即∠FAB=∠DAC，
∵AF=AD，AB=AC，
∴ AFB≌ ADC(SAS)，
∴△∠ABF=∠△ACD=60°，BF=CD，
∵AE=BD，
∴BE=CD，
∴BF=BE，
∴ BFE是等边三角形，
∴△BF=EF，∠FEB=60°，
∴CD=EF，BC EF，
即CD EF，
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∴CD=EF， CD EF；
【小问3详解】
如图，当点D运动到BC的中点时，四边形 的面积是 面积的一半，此时，四边形 是
菱形．
证明：
过点E作EG⊥BC于点G，设 ABC的边长为a，AD=h，
△
∵AB=BC，BD=CD= BC= a， BD=AE，
∴AE=BE= AB，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴EG AD，
∴ EBG∽ ABD，
△ △
∴ ，
∴ = h，
由（2）知，CD=EF， CD EF，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∴ ,
此时，EF=BD，EF BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵BF=EF，
∴ 是菱形．
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【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．
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