文档内容
北京师大附中 2022−2023 学年（上）初三期中考试
数学试卷
考生须知
1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长120分钟，满分100分．
2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效．
3．考试结束后，考生应将答题纸交回．
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不 是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 以下事件为随机事件的是（ ）A. 明天太阳从东方升起 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 半径为2的圆的周长是
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、明天太阳从东方升起，这是必然事件，不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，这是随机事件，符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是 ，这是不可能事件，不符合题意；
D、半径为2的圆的周长是 ，这是必然事件，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必
然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件
即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 已知x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，则m的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 0或﹣2
【答案】A
【解析】
【详解】∵x=2是一元二次方程x2﹣2mx+4=0的一个解，
∴4﹣4m+4=0，
∴m=2．
故选A．
4. 若二次函数 的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2）
【答案】A
【解析】
【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入 ，得
，
∴二次函数解析式为 ．∴所给四点中，只有（2，4）满足 ．故选A．
5. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出
同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这种植物主支干长出x个，小分支数目为 个，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得
出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
【详解】设种植物主支干长出x个，小分支数目为 个，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故选C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
6. 小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
A. 无解 B. x＝1 C. x＝－4 D. x＝－1或x＝4
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（-1，0），（4，0），
∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4．
故选D．7. 如图，二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，下列说法错误的是（ ）
A. B. 图像的对称轴为直线
C. 点 的坐标为 D. 当 时， 随 的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象开口方向可判断 ；根据函数解析式可判断函数图象对称轴为直线 ；
根据函数的对称性可知点 的坐标为 ；根据二次函数图象可知当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而减小．
【详解】解：A、二次函数图象开口向下， ，故A正确，不符合题意；
B、二次函数解析式为 ，根据顶点式判断函数图象对称轴为直线 ，故B正确，不
符合题意；C、二次函数对称轴为 ，和图像与 轴交于 ，根据对称性可知点 的坐标为 ，故C
正确，不符合题意；
D、由图象可知，二次函数当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，故D
错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与系数的关系是解答本题的关键．
8. 平面上有一个图形 与图形外一点 ，当 时， 的坐标为 ，当 时， 的坐
标为 ，若点 在图形 上，则称 是“点 与图形 的联系点”，设抛物线 ：
（ 为常数）顶点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，若抛物线上存在点 是点
与图形 的联系点，则所有可能的 的和为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的表达式可知 ，可得 ，当 时， 的坐标为 ，当
时， 的坐标为 ，分别求出 的值，再求出 的和即可．
【详解】解：∵抛物线 ： （ 为常数）顶点为 ，
∴ ，
∵点 关于 轴的对称点为 ，
∴ ，
∴当 时， 的坐标为 ，当 时， 的坐标为 ，
∴当 的坐标为 时，则 ， ，此时， ，解得 （舍）， ，
当 的坐标为 时，则 ， ，
此时， ，解得 ， ，
∴所有可能的 的和为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，以及新概念的理解，正确理解题目意思，写出 点的坐标
是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】（-2，1）
【解析】
【详解】解：点（2，―1）关于原点对称的点的坐标是（―2，1）．
故答案为（―2，1）．
10. 把二次函数 的图像向上平移3个单位，再向左平移2个单位，可得抛物线的表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图像平移的规律“上加下减，左加右减”即可写出平移后二次函数的解析式．
【详解】解：抛物线 的图像向上平移3个单位后的解析式为：
再将 向左平移2个单位后的解析式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移．掌握二次函数图像平移的规律是解答本题的关键．
11. 小林给弟弟买了10个布偶，其中有8个冰墩墩，2个雪容融，从这10个布偶中任取1个，恰好取到雪
容融布偶的概率是______．
【答案】 ##0.2
【解析】【分析】根据概率公式直接计算即可求解．
【详解】解：∵10个布偶，其中有8个冰墩墩，2个雪容融，
∴从这10个布偶中任取1个，恰好取到雪容融布偶的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．概率等于所求情况数与总情
况数之比．
12. 若关于 的一元二次方程 有一个根是0，则实数 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】先把 代入方程得到 ，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满
足条件的m的值．
【详解】解：把 代入方程 得 ，
解得 ，
根据一元二次方程的定义得： ，
所以 ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
13. 如图，将 绕点O按逆时针方向旋转 后得到 ，若 ，则 的度数是
___________．【答案】 ##35度
【解析】
【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于 ，从而可以得到 的度数，由 可以得
到 的度数．
【详解】解：∵ 绕点O按逆时针方向旋转 后得到 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角．
14. 若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】k＞﹣1且k≠0
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式即可求得k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△= = ＞0，且 ，
解得：k＞﹣1且k≠0，
故答案为：k＞﹣1且k≠0
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．对于一元二次方程 ，根的
判别式△= ，当△＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；
0 =0
当 ＜ 时，方程没有实数根；要注意 这个隐含条件，避免漏解．
△ 0
15. 如图， 中， ， ， ．将 绕点A逆时针旋转60°，得到，连接 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据旋转的性质得出∠CAE=60°，AC=AE=2，求出∠BAE=90°，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ， ，
∴ AC=AE=2，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+60°=90°，
在Rt△BAE中，
由勾股定理得：
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理，能求出AE的长度和求出∠BAE的度数是解此题的关键．
16. 如图，已知二次函数 的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．
则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；② ＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．其中正确的
是 _____．
【答案】①③④【解析】
【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知： ， ， ，再对各结论进行判
断．
【详解】解：①观察图象可知，开口方上 ，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可得 ，与
轴交于负半轴 ，
，故正确；
② 抛物线与 轴有两个交点，
，即 ，故错误；
③当 时 ，由图象知 在第二象限，
，故正确；
④设 ，则 ，
， 代入抛物线得 ，又 ，
，故正确；
故正确的结论有①③④三个．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决
定抛物线的开口方向和大小：一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置：常数项 决定抛物线
与 轴交点：抛物线与 轴交于 ；抛物线与 轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
三、解答题（本大题共12小题，共68分）
17. 解方程：（1） ；（2） ．
【答案】（1） ， ；（2） ，
【解析】【分析】（1）移项，二次项系数化为1，直接开平方即可；
（2）用公式法求解即可.
【详解】解：（1）
，
（2）
，
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法和公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题
的关键.
的
18. 如图，方格中每个小正方形 边长都是单位1， 在平面直角坐标系中的位置如图
（1）画出 关于原点成中心对称的 ；（2）画出将 绕点 逆时针方向旋转 得到的 ；并写出 和 的坐标．
（ ）， （ ）
【答案】（1）见详解 （2）见详解； ，
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的性质先找出 ， ， 的对应点 ， ， ，依次连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别找出 ， 的对应点 ， ，依次连接即可．
【小问1详解】
解：如图：
∴ 为所求作三角形．
【小问2详解】
解：如图：
∴ 为所求作三角形， ， ．
【点睛】本题考查旋转变换知识，掌握旋转变换的性质并找出旋转之后点的位置是解答本题的关键．19. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取满足条件的最小整数值时，求此时方程的解．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2）求得m的最小整数值，代入得到 ，然后利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
根据题意得 ，
解得 ；
【小问2详解】
∵ ，
∴m的最小整数值为 ，
此时方程为 ，
则 ，
解得： ．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） 方程有两个
△
不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根；也考查了
因式分解法解一元二次方程．
20. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】7【解析】
【分析】由题意易得 ，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公
式及代数式的值是解题的关键．
21. 如图，在 中， ， ，D是AB边上一点 点D与A，B不重合 ，连接
CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转 得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
求证： ≌ ；
当 时，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由题意可知： ， ，由于 ，从而可得 ，根据SAS即可证明 ≌ ；
（2）由 ≌ 可知： ， ，从而可求出 的度数．
【详解】（1）由题意可知： ， ，
，
，
，
，
在 与 中，
，
≌ ；
（2） ， ，
，
由（1）可知： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等
三角形的判定与性质．
22. 已知函数 与 轴交于点 ，且与 轴的一个交点为（1）求该函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当 时，请直接写出 的取值范围______．
【答案】（1） ；图象见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意用待定系数法求函数解析式即可，根据函数与 轴交于点 ，与 轴的一
个交点为 和顶点 画出图象即可；
（2）根据函数图像判断当 时 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵函数 与 轴交于点 ，
∴ ，
将 代入函数 ，
∴ ，解得 ，
∴该函数解析式为 ，
∴ ，即二次函数顶点为 ，二次函数图象如下图：
【小问2详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及画二次函数的图象，正确求解二次函数的表达式是解
答本题的关键．
23. 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，下表列举出了所有可能出现的结果．
第2
枚
1 2 3 4 5 6
第1
枚
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性______（填“相等”或者“不相等”）；
（2）计算下列事件的概率：
①两枚骰子的点数相同；
②至少有一枚骰子的点数为3.
【答案】（1）相等；（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据两枚骰子质地均匀，可知同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的
可能性相等；
（2）①先根据表格得到两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，然后利用概率公式求解即可；
②先根据表格得到至少有一枚骰子的点数为3(记为事件B)的结果有11种，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）∵两枚骰子质地均匀，
∴同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等；
故答案为：相等；
（2）①由表格可知两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，
(5，5)，(6，6)，
∴
②由表格可知至少有一枚骰子的点数为3(记为事件B)的结果有11种，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了列表法求解概率，熟知列表法求解概率是解题的关键．
24. 图中所示的物线形批桥，当找顶离水面 m时，水面宽 m，水面上升 米，水面宽度减少多少?
【答案】4米
【解析】
【分析】根据已知得出直角坐标系，再设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．【详解】解：建立如图所示坐标系.
则可得过点
设解析式为
代入 得 .
所以解析式为 .
把 代入，得 ，
则水面的宽减少 米
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于画出坐标系.
25. 在某次数学探究活动中，小麦同学发现“两个整数 、 的和 为定值，则积 有最大值”．
（1）例如： ，探究过程如下：
当两个整数 、 中有一个为负整数，则 ；
当两个整数 、 中有一个为0时，则 ；
当两个整数 、 都为正整数时，则 ．
通过计算 ， ， ， ， 的值，经过比较可以得到 的最大值为______
（2）小麦同学提出，当 的绝对值比较大时，用上述方法耗时耗力，同学们进一步探讨，得到两个可行方
法．
方法一、把（1）中步骤编程，用计算机代替人去计算，可解决耗时耗力问题；
方法二、构造二次函数．例如： ， ，二次函数开口向下，对称轴方程为 即
，所以当 时， 有最大值为______．
（3）利用上述方法， ，当 ______时， 有最大值为______．
（4）利用上述方法， ，当 ______时， 有最大值为______．
【答案】（1）25 （2）2500
（3）25 （4）
【解析】
【分析】（1）直接根据有理数的乘法运算计算，然后比较大小即可；
（2）根据题意直接代入求解即可；
（3）仿照（2）中方法求解即可；
（4）仿照（2）中方法求解即可．
【小问1详解】
解： ， ， ， ， ，
∴ 的最大值为25，
故答案为：25；
【小问2详解】
根据题意得，当 时，
，
故答案为：2500；
【小问3详解】
当 时，
，
二次函数开口向下，
对称轴方程为 ，即 ，
所以当 时， 有最大值为 ，
故答案为：25；
【小问4详解】
当 时，
，
二次函数开口向下，
对称轴方程为 ，
即 ，
所以当 时， 有最大值 ，
为
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查有理数的乘法运算及二次函数的应用，理解题意，熟练运用二次函数的性质是解题
关键．
26. 已知二次函数 ，点 ， 是其图像上的两点，其中
（1）求抛物线的对称轴方程；
（2）当 时，若 ，求 的取值范围；
（3）当 时， ，请直接写出 的取值范围______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把函数解析式化为一般式然后由对称轴方程求解即可；（2）根据题意得出对称轴为 ，二次函数开口向上，分两种情况分析：①当 A，B两点均在对称轴左
侧时；②当A，B两点在对称轴两侧时；利用对称轴的性质分别求解即可；
（3）依据（2）中方法，分两种情况：①当A，B两点均在对称轴右侧时，②当A，B两点在对称轴两侧时，
到对称轴的距离小于 到对称轴的距离；据此列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：
整理得： ，
对称轴为： ，
∴对称轴方程为 ；
【小问2详解】
当 时，对称轴为 ，
∵ ， ，且二次函数开口向上，
∴①当A，B两点均在对称轴左侧时，
即 ，
∴ ；
②当A，B两点在对称轴两侧时， 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∴ ，
∴ ；
综上可得 ；
【小问3详解】
由（1）可得： ，
， ， ，①当A，B两点均在对称轴右侧时，
∴ ，
∴ ；
②当A，B两点在对称轴两侧时， 到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断进行分类讨论是解题的关键．
27. 抛物线 与 轴交于 、 ，与 轴交于点 ．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1， 为抛物线对称轴 上一动点，连接 、 ，求 的最小值及此时 点的坐
标；
（3）如图2，抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，点 ， 为抛物线上一动点， 为抛物线对称轴
上一动点，以点 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点 的坐标．
【答案】（1）
（2） ；
（3） 、
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）作点 关于对称轴的对称点 ，连接 ，此时 最小，最小值为 的长，求出的长，利用待定系数法求出直线 的表达式，再求出点 的坐标；
（3）根据平行四边形的性质和判定，找出点 、点 的位置，再求出相应的坐标即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于 、 ，
∴ ，解得 ， ，
∴抛物线的表达式为 ．
【小问2详解】
解：如图，作点 关于对称轴的对称点 ，
连接 ，此时 最小，最小值为 的长，
∵抛物线的表达式为 ，
∴ ，对称轴为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
设：直线 的表达式 、 为： ，由题意得： ，解得 ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ．
【小问3详解】
解：①如图：
∵ ，当点 的横坐标为 时，此时
∴ ，
又∵
∴
此时 ， ，故四边形为平行四边形；
②如图：当点 为 ， 为 时，
∴ ， ，
， ，
∴ ， ，故四边形为平行四边形；
③当 为对角线时，如图，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， 轴，
同理求得：点P的坐标为 ，
∴ ，
点Q的坐标为 ；
综上：点 的坐标为 、 、 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、最短路径问题及平行四边形与二次函数的综合问题，利
用对称或平行处理问题及分类讨论平行四边形的存在问题是解答本题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ．对于点 给出如下定义：将点 绕点 逆时针旋
转 ，得到点 ，点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．（1）如图，若点 在坐标原点，点 ，
①点 的“对应点” 的坐标为______；
②若点 的“对应点” 的坐标为 ，则点 的坐标为______；
（2）如图，已知 的半径为1， 是 上一点，点 ，若 为 外一点，点
为点 的“对应点”，连接 ．
①当点 在第一象限时，求点 的坐标（用含 ， ， 的式子表示）
②当点 在 上运动时，直接写出 长的最大值与最小值的积为______（用含 的式子表示）
【答案】（1）① ；②
（2） ；
【解析】
【分析】（1）①点 绕点 逆时针旋转 得 ，再求点 关于点 的对称点为 ；②点 关于点 的对称点为 ，点 绕点 顺时针旋转 ，得到点 ；
（2）①根据题意作出点 ，过点 作平行于 轴的线 ，过点 作垂直于 线 ，交 于点 ，
过点 作垂直于 线 ，交 于点 ，证明 ，可知 ， ，
根据 在第一象限， ，可得 ， ，继而得出 的
坐标，由于 ，点 关于点 的对称点为 ，即可得出 的坐标；
②根据①中点 的坐标，表示出点 的横纵坐标的关系，可得出点 在圆心为 、半径为 的
圆上，继而得到 最长为 ， 最短为 ，即可求出 长的
最大值与最小值的积．
【小问1详解】
解：①∵由题意可知
∴点 绕点 逆时针旋转 ，得到点 ，
∴点 关于点 的对称点为 ，
∴点 的“对应点” 的坐标为 ，
故答案为： ；
②点 的“对应点” 的坐标为 ，
∴点 关于点 的对称点为 ，
∴点 绕点 顺时针旋转 ，得到点 ，
故答案为： ．
【小问2详解】解：①如图，根据题意作出点 ，过点 作平行于 轴的线 ，过点 作垂直于 线 ，交 于
点 ，过点 作垂直于 线 ，交 于点 ，
∵由题意可知 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ 在第一象限， ，
∴ ， ，
∴ ，
的
又∵ ，点 关于点 对称点为 ，
∴ ，
②∵ ，∴ ， ，
∴
，
的
∵ 半径为1， 是 上一点，
∴ ，
∴
，
∴点 在圆心为 、半径为 的圆上，
∴ 最长为 ， 最短为 ，
∴
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转作图及中心对称，三角形全等的判定和性质及圆的知识点，理解题目意思，正确
找到“对应点”和写出对应的坐标是解答本题的关键．
