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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2022-2023 学年北京市海淀区首都师大附中八年级下学期调研数学模
拟试卷（3 月份）
一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1. 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将 和各选项化为最简二次根式，然后找出一个被开方数与它相同的二次根式即可．
【详解】解： =2 ，
A、 =2 ，故A选项与 不是同类二次根式；
B、 ，故B选项与 不是同类二次根式；
C. = , 故C选项与 不是同类二次根式；
D. , 故D选项与 是同类二次根式；
故选D．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简各二次根式是解题关键．
2. 变量 与 之间的关系是 ，当 时，函数值 的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 11 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】直接把x＝5代入y＝2x+1计算即可．
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【详解】解：当x＝5时，y＝2×5+1=11，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了求函数值，关键是掌握已知函数解析式，给出自变量值时，求相应的函数值就是
求代数式的值．
3. 下列图形∶①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形．对角线一定相等的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形、矩形、菱形和平行四边形的性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
正方形和矩形的对角线相等、菱形和平行四边形的对角线不一定相等．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形和平行四边形的性质，解题的关键是在于能够掌握相关的知识．
4. 在一次函数 y＝﹣3x+9 的图象上有两个点 A（x，y），B（x，y），已知 x＞x，则 y 与 y 的
1 1 2 2 1 2 1 2
大小关系是（ ）
A. y＜y B. y＞y
1 2 1 2
C. y＝y D. 无法确定
1 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数解析式一次项系数的正负判断函数的增减关系．
【详解】解：∵一次函数的一次项系数k=-3<0，
∴y随着x的增大而减小，
∵x＞x，
1 2
∴y＜y．
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数解析式得出函数的性质．
5. 如图，在边长为2 的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF交于点O，
点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，则GH的长度为（ ）
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A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD∥BC，AB=AD=BC=2
，根据全等三角形的性质得到PD=CF= ，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AB=AD=BC=2 ，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE=CF= ×2 = ，
∵AD∥BC，
∴∠DPH=∠FCH，
∵∠DHP=∠FHC，且DH=FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD=CF= ，
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∴AP=AD-PD= ，
∴PE= =2，
∵点G，H分别是EC，CP的中点，
∴GH= EP=1；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
6. 若a＝2﹣ ，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 4 +4 D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】将所求代数式利用配方法转化为2（a-2）2-9的形式，代入求值即可．
【详解】∵a=2- ，
∴2a2-8a-1
=2（a-2）2-9
=2（2- -2）2-9
=2×5-9
=1．
故选：A．
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于掌握二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求
值．
7. 如图，矩形ABCD，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连
结CE，若OC cm，CD＝4cm，则DE的长为（ ）
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A. cm B. 5cm C. 3cm D. 2cm
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形的性质得出∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4 ，由勾股定理得出 AD
8，由线段垂直平分线的性质得出 AE＝CE，设 AE＝CE＝x，则 DE＝8﹣x，在
Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，OA＝OC，AC＝2OC＝4 ，
∴AD 8，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝8﹣5＝3（cm）；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的性质以及勾股定理的应
用．
8. 已知平面内有两条直线 ， 交于点 ，与 轴分别交于 两点，
落在 内部（不含边界）则 的取值范围（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】根据点 落在 内部（不含边界）得出 点在两条直线的下方同时在 轴上方，
列出不等式组求解即可得到答案．
【详解】解： 点 落在 内部（不含边界），
点在两条直线的下方同时在 轴上方，
列不等式组 ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、根据点所在象限求参数、一次函数与坐标轴的交点问题等
知识点，根据题意得出不等式组是解此题的关键．
二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9. 在函数 中，自变量 的取值范围是______．
【答案】x≠2
【解析】
的
【分析】根据分式有意义 条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x−2≠0，解可得自变量x的取值
范围．
【详解】根据题意，有x−2≠0，
解可得x≠2；
故自变量x的取值范围是x≠2．
故答案为：x≠2．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件：分母不等于0．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
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10. 比较大小： ___ ，4 ___ （填“＞、＜、＝”）．
【答案】 ①. ＞ ②. ＞
【解析】
【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即；根据算术平方根的性质，把4化为16的算
术平方根，再比较被开方数的大小，即可得出答案．
【详解】解: ∵ ＜
∴ ＞
∵4 = ＞
∴4＞
故答案为: ＞,＞
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的面积为10，点 在第一象限且坐标为 ，则
点 的坐标为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，根据正方形的性质容易证
，根据全等三角形的性质可得 ，在 中，根据勾
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股定理 ，求出 的值，即可确定点 坐标．
【详解】解：过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
则 ，
，
在正方形 中， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
正方形 的面积为10，点 在第一象限且坐标为 ，
， ， ，
在 中，根据勾股定理 ，
解得 或 （舍去），
，
，
点 坐标为 ，
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故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，添
加适当的辅助线，构造三角形全等是解此题的关键．
12. 如图，平行四边形 的周长是 ，对角线 、 相交于点O， 与 的周长
差是 ，则边 的长是 ___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形 的周长是 得： ，再由 与 的周长差是
得出 ，两式联立求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵平行四边形 的周长是 ，
∴ ，
∵ 与 的周长差是 ，
即：
∴ ，
∴ ，
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解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
13. 如图所示，等腰 中， ，将 沿 对折，顶点 落在 边点 处，若
， ，那么 的长度是_____________
【答案】 ##
【解析】
【分析】由折叠的性质得 ，得 ， ，再
证明 是等腰直角三角形，则 ，即可得出答案．
【详解】解：∵等腰 中， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的性质等知识；熟练掌
握翻折变换的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14. 如图， 中， ， ，D、E分别是 、 的中点，则
___________， ___________．
【答案】 ①. ##5厘米 ②.
【解析】
【分析】根据三角形 的中位线定理即可解决问题．
【详解】解：∵D、E分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，解题的关键是三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三
边的一半．
15. 正比例函数 的图象经过点 ，那么y随x的增大而___________（填“增大”或
“减小”）．
【答案】减小
【解析】
【分析】利用待定系数法求出k的值，再根据正比例函数的性质求解即可．
【详解】解：把点 代入 得， ，
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∵ ，
∴y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，求正比例函数解析式，正确利用待定系数法求出 k的值是解
题的关键．
16. 已知， 是矩形 的对角线 的中点， 是线段 上的一点，过点 作 交直线
CD于点F，连接EF，若 ,则 =___________．
【答案】
【解析】
【分析】延长 交 于点 ，连接 ，利用矩形的性质证明 ，根据全等三角形的
性质得到 是 的垂直平分线，得到 、 的长利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
延长 交 于点 ，连接 ，
∵ 是矩形 的对角线 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
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∴ （ ），
∴ ， ．
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等，勾股定理，垂直平分线的性质，正确构造辅助线是解决本
题的关键．
三、解答题（共11小题）
17. 计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）2
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【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可
【小问1详解】
解：原式
；
【
小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
【小问4详解】
解：原式
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键
18. 在平面直角坐标系内有两点 和直线l： ．在直线l上是否存在点P，使
是直角三角形，若存在，求出所有满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．
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【答案】 或 或 或
【解析】
【分析】由题意知，分当 M 点、N 点、P 点为 的直角顶点，三种情况求解：①当 M 点为
的直角顶点时，即 ，P 点的横坐标为 ，将 代入 得，
，计算求解，进而可得点 P 的坐标；②当 N 点为 的直角顶点时，即
，P点的横坐标为4，将 代入 得， ，计算求解，进而可得
点 P 的 坐 标 ； ③ 当 P 点 为 的 直 角 顶 点 时 ， 即 ， 设 ，
， ， ，由勾股定理得，
，即 ，计算求解，进而可得点 P
的坐标．
【详解】解：由题意知，分当M点、N点、P点为 的直角顶点，三种情况求解：
①当M点为 的直角顶点时，即 ，
∴P点的横坐标为 ，
将 代入 得， ，
∴ ；
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②当N点为 的直角顶点时，即 ，
∴P点的横坐标为4，
将 代入 得， ，
∴ ；
③当P点为 的直角顶点时，即 ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴由勾股定理得， ，
∴ ，
整理得， ，
解得 ， ，
∴ 点坐标为 或 ；
综上所述，存在， 点坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与分类讨论．
19. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝
∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
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【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】
【分析】（1）根据题意可证明 ，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为
平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件
求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在 AOE 和 COD中，
△ △
∴ ．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线， ．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt COD 中，CD＝5，
△
，
∴ ，
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，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面
积计算公式是解题关键．
20. 先化简，再求值： ，其中 是一元二次方程 的根．
【答案】 ，1．
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据 是方程 的根可得 ，再代入
即可．
【详解】解：原式
．
∵ 是方程 的根，
∴ ．
∴ ．
∴ 原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关
键．
21. 下面是小林设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程．
已知：在 中， .
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求作：矩形ABCD.
作法：如图②，
①分别以点A、C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点E、F；
②作直线EF，直线EF交AC于点O；
③作射线BO，在BO上截取OD，使得 ；
④连接AD，CD.
所以四边形ABCD就是所求的矩形．
根据小林设计的尺规作图过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明： ________， ，
∴四边形ABCD为平行四边形（________________）（填推理依据）.
又∵ ，
∴四边形ABCD为矩形（________________）（填推理依据）.
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【答案】（1）见解析；（2）OC；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边
形为矩形
【解析】
【分析】（1）根据题意，根据作图的作法作出图形即可；
（2）由对角线互相平分证明平行四边形，以及有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可证明结论成立.
【详解】解：（1）补全图形，如图所示；
（2）证明： ， ，
∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）.
又∵ ，
∴四边形ABCD为矩形（有一个内角为90°的平行四边形为矩形）.
故答案为：OC；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形.
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，以及作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握
矩形的判定定理和线段垂直平分线的作法.错因分析：①不能正确运用尺规完成作图；②没有掌握矩形的判
定定理
22. 小帆根据学习函数的过程与方法，对函数 的图象与性质进行探究，已知该函数
图象经过点 ，且与 轴的一个交点为 ．
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（1）求函数的解析式；
（2）在给定的平面直角坐标系中：
①补全该函数的图象；
②当 时， 随 的增大而___________（在横线上填增大或减小）；
③当 时， 的最大值是___________；
④直线 与函数 有两个交点，则 ___________．
【答案】（1）
（2）①见解析，②减小，③2，④2或1
【解析】
【分析】（1）将点 ， 代入函数 ，求出 值的即可得到答案；
（2）①根据函数解析式，补全函数图象即可；②根据函数图象即可得到答案；③根据函数图象即可得到
答案；④由函数图象即可得到答案．
【小问1详解】
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解：将点 ， 代入 ，得 ，
解得： ， 或 ， ，
，
， ，
；
【小问2详解】
解：①补全函数图象如图所示：
②由图可知，当 时， 随 的增大而减小，
故答案为：减小；
③当 时，由图象可知， 时， 有最大值，此时 ，
故答案为：1；
④直线 与函数 有两个交点，
或 ；
故答案为：0或1．
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【点睛】本题考查了函数的图象与性质，能够准确的画出函数图象，采用数形结合的思想解题，是解此题
的关键．
23. 已知：如图，点P为矩形 内一点， ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】欲证明 只要证明 即可．
【详解】证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练
掌握矩形的性质，全等三角形的判定．
24. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点
F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若BA⊥AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
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【答案】（1）详见解析；（2）四边形AFBD是菱形，理由详见解析．
【解析】
【分析】（1）首先推知△AFE≌△DCE（AAS），则其对应边相等AF＝CD，结合已知条件AF＝BD得到：
BD＝CD，即D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是菱形．连接FD．构造平行四边形AFDC．根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形
证得结论：四边形AFBD是菱形．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴ ，
∴△AFE≌△DCE（AAS）．
∴AF＝CD．
∵AF＝BD，
∴BD＝CD，即D是BC的中点；
（2）四边形AFBD是菱形．理由如下：
连接FD．∵AF∥BD且AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
同理可证四边形AFDC是平行四边形．
∴FD∥AC．
∵BA⊥AC，
∴BA⊥FD．
∴四边形AFBD是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形
的判定，是基础题，明确对角线相互垂直的平行四边形是菱形是解本题的关键．
25. 已知直线 经过点 、 ，直线 ．
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（1）求直线 的解析式；
（2）判断点 是否在直线 上？若不在，点M应向左或向右平移多少个单位长度能落在 上？
（3）若 ，直线 与x轴交于点C．
①直线 与 交于点P，则点P坐标为______；
②求 面积．
（4）直线 上有两点 、 ，若直线 与线段QR有交点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）直线 的解析式为
（2）点 不在直线 上；点M应向左平移 个单位
（3）① ；②
（4） 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当 时， 可知点 不在直线 上，然后根据点坐标的平移规律得出平
移方式；
（3）①联立两函数解析式成方程组，求出方程组的解可得交点坐标；
②先求出点C、M的坐标，然后根据 进行计算；
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（4）先求得Q、R的坐标，分别代入y＝kx−3中，求得相应的k的值，结合图象即可求得k的取值范围．
【小问1详解】
解：设直线 的解析式为 ，
∵直线 经过点 、 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
【小问2详解】
在 中，当 时， ，
∴点 不在直线 上，
∴点M应向左平移 个单位长度能落在 上；
【小问3详解】
①当 时，直线 ，
联立 ，解得： ，
∴点P坐标为 ；
②如图，在 中，当 时， ；当 时， ，
∴ ， ，
∴ ；
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【小问4详解】
∵点Q（−2，m）、 在直线 上，
∴m＝−2×（−2）＋4＝8，n＝−2× ＋4＝3，
∴Q（−2，8），R（ ，3），
当直线 过点Q时，则8＝−2k−3，解得k＝ ；
当直线 过点R时，则3＝ k−3，解得k＝12；
∴由函数图象得：k的取值范围为k≥12或k≤ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，点坐标平移的规律，
一次函数图象的交点问题，三角形的面积，一次函数图象与系数的关系，掌握数形结合思想的应用是解题
的关键．
26. 如图，在 中， ， ，点 是直线 上一点，连接 ，将线段 绕点
逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）如图①，当 ，且点 在线段 上时，线段 和 之间的数量关系___________；
（2）如图②，当 ，且点 在线段 上时，猜想线段 、 、 之间的关系，并加以证明；
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（3）当 ， ， 时，请直接写出 的长．
【答案】（1）
（2） ；见解析
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得 ，推出 ，证明
，即可得证；
（2）同（1）可证 可得 ，从而得到
，由勾股定理可得 ，即可得证；
（3）由勾股定理可得 ，分两种情况：当 在线段 上时， ，由勾股定理可得出
；当 在 延长线上时， ，再由勾股定理计算出 ．
【小问1详解】
解： ，
理由如下：
如图：
，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，
，
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，
，
在 与 中，
，
，
；
【小问2详解】
解：线段 ，
证明如下：
如图：
，
，
，
同（1）可证 ，
，
，
，
；
【小问3详解】
即为： ，
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，
①当 在线段 上时，如图：
，
，
，
由（2）知 ，
，
②当 在 延长线上时，如图：
，
，
，
，
综上所述， 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识
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点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
27. 如图，在矩形 中， ， ， 、 两点分别从 同时出发．点 沿
折线 运动，在 上的速度是 ，在 上的速度是 ，点 在 上以 的
速度向终点 运动，过点 作 ，垂足为点 ．连接 ，以 ， 为邻边作 ．设
运动的时间为 ， 与矩形 重叠部分的图形面积为 ．
（1）用含 的代数式表示 的长；
（2）当 时，求 的值；
（3）求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围；
（4）直线 将矩形 的面积分成 两部分时，直接写出 的值．
【答案】（1） 或
（2）
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（3）
（4） 或
【解析】
【分析】（1）分两种情况：当点 在 上时；当点 在 上时，分别求解即可；
（2）求出 ，再由含 角的直角三角形的性质得出 ，则
，求解即可得到答案；
（3）分三种情况，由平行四边形的面积公式和梯形面积公式分别求解，即可解决问题；
（4）分两种情况，由锐角三角函数定义分别求解即可解决问题．
【小问1详解】
解：当点 在 上时， ；
当点 在 上时， ；
综上所述， 的长为 或 ；
【小问2详解】
解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
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，
，
， ，
即 ，
解得： ；
【小问3详解】
解：①如图1，当 时，重叠部分是平行四边形 ，
，
过 作 于 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
；
②如图2，当 时，重叠部分是直角梯形 ，
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，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
在矩形 中， ， ，
， ，
，
，
，
解得： ， ，
，
由①得： ，
；
③如图3，当 时，重叠部分是直角梯形四边形 ，
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，
则 ， ，
，
；
综上所述， ；
【小问4详解】
解：①如图4中，当直线 经过 中点 时，满足条件，
，
则有： ， ，
过 作 于 ，则 ，
由（3）得 ， ，
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，
，
，
，
，
解得 ；
的
②如图5中，当直线 经过 中点 时，满足条件，
，
此时 ， ，
， ，
，
解得
综上所述，当 为 或 时，直线 将矩形 的面积分成 两部分．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角
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形、梯形面积公式、动点问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想
解决问题．
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