文档内容
2022-2023 学年北京市海淀区清华附中
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人
工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心
对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转 °后能与原来的图案互相重合，则 的最小值为（
）
A. 45 B. 60 C. 72 D. 144
3. 用配方法解关于 的一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
2
x x -x2 -5=0
A. B. C. D.
4. 将抛物线 平移，得到抛物线 ，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5. 如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
6. 已知函数 的图象上有 ， ， 三点，则 的大小关
系（ ）
A. B. C. D.
7. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项中不正确的是( )
A. B. C. 0 < D.
8. 四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发
现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，
y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空题（共16分，每题2分）
的
9. 在平面直角坐标系中，点A 坐标为（﹣2，3），若点A与点B关于原点O对称，则B点的坐标为
____．
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______.
11. 已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 ___________
12. 如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是__________
13. 关于x的一元二次方程ax2+bx+ =0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点
为 ，则关于 的方程 的解为__________．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△CDE可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋
转）得到的，写出一种由△AOB得到△CDE的过程：__________．
16. 如图，AB是⊙O的直径，弦 ，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝ AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
的
所有正确结论 序号是 ___．三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6
分，第27-28题，每题7分）
17. 解下列方程
（1）x2﹣6x﹣16＝0
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10
18. 已知：如图， 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到 ，点A，B，C分别对应点 ，
， ．
（1）根据点 和 的位置确定旋转中心是点 ．
（2）请在图中画出 ．
19. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： ，使得点C在直线l上方，且 ．
作法：
①分别以A，B为圆心， 长为半径画弧，在直线l下方交于点O；
②以点O为圆心， 长为半径画圆；③在劣弧 上任取一点C（不与A，B重合），连接 ， ． 就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在优弧 上任取一点M（不与A，B重合），连接 ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，M在 上，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
∵四边形 内接于 ，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
20. 如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，
BE．
（1）求证：△AEB ≌△ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．
21. 一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为1m，水面宽AB为1.6m.由于天气干燥，水管
水面下降，此时排水管水面宽CD变为1.2m，求水面下降的高度.的
22. 已知关于x 方程 ( )．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
的
（2）求抛物线 顶点C的坐标；
（3）设过B，C两点的直线解析式为 ，直接写出当 时自变量x的取值范围．
24. 某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的
销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．
为
（1）当x＝50时，总利润 元；
（2）若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
（3）若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
25. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形
状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
d（米） 0.50 1.00 1.5 2.00 2.50 3.00
h（米） 3.75 4.00 3.75 3.00 1.75 0
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，
从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人
想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
26. 在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q是x轴上一点，
若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．
①抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间
②的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n
的取值范围．27. 四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接
DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出∠FBE的度数；
（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系 中第一象限内的点 和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的
垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点 满足 且 ，则称四边形 是图
形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知 ， ，则点 为线段 的
一个覆盖的特征点．（1）已知点 ，
①在 ， ， 中，是 的覆盖特征点的为 ；
②若在一次函数 的图象上存在 的覆盖的特征点，求m的取值范围．
（2）以点 为圆心，半径为1作圆，在抛物线 上存在 的覆盖的特征
点，直接写出a的取值范围 ．
