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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市海淀区中关村中学中考数学检测试卷（2 月份）
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效
3考试结束后，本试卷和答题卡一并交回
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共16分在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题
关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，
这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．
【详解】解： ．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选： ．
2. 如图所示是一个由五个同样大小的正方体小块组成的立体图形，则下列不是它的三视图之一的是
（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据简单组合体的三视图进行判断即可．
【详解】解：这个组合体的三视图如图所示：
因此选项B中的图形不是它的三视图，
故选：B．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的意义是正确判断的前提．
3. 实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. |a|<|b| B. ad>0 C. a+c>0 D. d－a>0
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数在数轴上的位置，得出各个数的大小关系，再根据绝对值的大小，判断相关代数式的符
号．
【详解】由实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置可知，a＜b＜0＜c＜d，
∴|a|＞|b|，ad＜0，a+c＜0，d-a＞0，
因此选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴表示数，有理数的四则运算法则，理解符号、绝对值是确定有理数的必要条件．
4. 若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形
【答案】C
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【解析】
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到
外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷45°=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
5. 如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，且 平分 ， 分别与 ， 相交
于点 ， ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由圆周角定理和角平分线得出 ， ，由等腰三角形的性质得出
，得出 ，证出 ，选项 A 成立；由平行线的性质得出
，选项B成立；由垂径定理得出 ，选项D成立； 和 中，没有相等的
边， 与 不全等，选项C不成立，即可得出答案．
【详解】∵ 是 的直径， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，选项A成立；
∴ ，选项B成立；
∴ ，选项D成立；
∵ 和 中，没有相等的边，
∴ 与 不全等，选项C不成立，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本
题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
6. 计算 ＋ 的结果为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同分母分式加减法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：A．
【点睛】本题考查了同分母分式的加减法，掌握同分母分式加减法的运算法则是解题关键．
7. 某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t（分
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钟），如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（ ）
A. 此时段有1桌顾客等位时间 是40分钟
B. 此时段平均等位时间小于20分钟
C. 此时段等位时间的中位数可能是27
D. 此时段有6桌顾客可享受优惠
【答案】D
【解析】
【分析】根据直方图，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由直方图可知：有1桌顾客等位时间在35至40分钟，不能说是40分钟，选项错误，不
符合题意；
B、平均等位时间为：
（分钟），大
于20分钟，选项错误，不符合题意；
是
C、因为样本容量 35，中位数落在 之间，选项错误，不符合题意；
D、30分钟以上的桌数为 ，选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查频数分布直方图，求平均数，中位数．解题的关键是从统计图中有效的获取信息．
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以
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利用如图所示的图象表示的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可
判定．
【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利
用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该
图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，
∴x−5 0，解得x 5．
故答案⩾为：x≥5 ⩾
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【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式 有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了
解一元一次不等式．
10. 因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．
【答案】a（a﹣b）2
【解析】
【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2，
故答案为a（a﹣b）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11. 写出一个函数，满足当x＞0时，y随x的增大而减小且图象过(1，3)，则这个函数的表达式为____．
【答案】如 ，答案不唯一．
【解析】
【分析】没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条
件即可．
【详解】解：符合题意的函数解析式可以是 ，y＝－x＋4，y＝－x2＋4等，(本题答案不唯一)
故答案为：如 ，答案不唯一．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符
合题意即可．
12. 有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为 ，露在墙体外侧的弦长
，其中半径 垂直平分 ，则埋在墙体内的弓形高 ________ ．
【答案】3
【解析】
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【分析】根据垂径定理得出 ，根据勾股定理得到OD，再根据线段的和差关系求CD的长度即
可．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴ =9 cm， ，
在Rt 中，
A△DO
，
∴CD=OC-OD=15-12=3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出 是解题的关键．
13. 已知长为6cm宽为4cm的长方形是一个圆柱的侧面展开图，则柱的体积为_____（结果保留π）
【答案】 或
【解析】
【分析】分底面周长为4和6两种情况讨论，求得底面半径，即可求出它的体积．
【 详 解 】 解 ： ① 底 面 周 长 为 4 时 ， 圆 柱 底 面 圆 的 半 径 为 ， 此 时 体 积 为 ：
，
②底面周长为6，时，圆柱底面圆的半径为 ，此时体积为： ．
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故答案为 或
【点睛】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解．
14. 如图，在矩形 中，点 O 是坐标原点 的图象上，点 B 在反比例函数 ，
，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】过 A、B 作 轴于 E， 轴于 F，利用三角函数、勾股定理解 可得
，结合矩形的性质可得 ，再证 ，推出 ，根据反比例
函数k的几何意义可得 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过A、B作 轴于E， 轴于F，如图：
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵反比例函数 在第二象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
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【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几
何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
15. 某快递公司每天上午 为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快
件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数图象如图所示，那么从 开
始，经过______分钟时，当两仓库快递件数相同．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量 （件）与时间
（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，
根据图象得， ，
解得： ，
∴ ，
设乙仓库的快件数量 （件）与时间 （分）之间的函数关系式为 ，
根据图象得， ，
解得： ，
∴ ，
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联立 ，
解得： ，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
16. 如图，正方形 的边长是 ， 、 分别在 、 的延长线上，且 ，连接 、
交于点 ，分别与边 ， 交于点 ， ，连接 ．现给出以下结论： ；
四边形 ； ； 当 时， ；其中正确的是______
（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】由四边形 是正方形，得到 ， ，根据全等三角形的性质得
到 ，根据余角的性质得到 ；故 正确；根据相似三角形的性质得到
，由 ，得到 ；故 错误；根据全等三角形的性质得到
， ，于是得到 ，即 ；故 正确；根据
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相似三角形的性质得到 ，求得 ， ， ，由三角函数的定义即可得到结论．
【详解】 四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 与 中，
，
∴ （SAS），
，
，
，
，
；
故 正确；
， ，
，
，
，
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，
，
，
，
；故 错误；
在 与 中
，
（AAS），
，
，
在 与 中，
，
（SAS），
，
即 ；故 正确；
， ，
，
，
，
，
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，
，
，
， ，
，
，故 正确，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定
义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共63分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题主要考查了实数 的运算，正确化简各数是解题的关键．
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18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由 ，得： ，
由 ，得：此不等式解集为所有实数，
不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知 是方程 的根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】由 是方程 的根，可得 ，再化简代数式并整体代入即可求解．
【详解】解：∵由 是方程 的根，
∴ ，
∴ ；
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．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，运用了整体思想，关键是正确化简分式．
20. 在 中， ， 为 的角平分线．作线段 的垂直平分线 ，分别交 、
于点 、 ，垂足为 ．连接 、 ．则四边形 是正方形．补全图形（保留作图痕迹，
不写作法）并完成以下证明．
证明：∵ 平分 ，且
∴ 又 垂直平分 ，∴ ，
∴ ，同理 ∴ ∴ ，
∵ 垂直平分 ，∴ ① ， ② ．（③写推理依据 ）
∴ ，∴四边形 是④ ．
又∵ ，∴四边形 是正方形．
【答案】作图见解析；① ；② ；③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④菱形
【解析】
【分析】如图，完成作图后，先利用垂直平分线的性质证明 ，从而证得四边形
是菱形，然后根据 ，证明四边形 是正方形．
【详解】解：作图如图所示，
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证明：∵ 平分 ，且 ，
∴ ，
又∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
同理
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴ ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
故答案为：① ；② ；③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④菱形．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，菱形的判定，正方形的判定，牢记特殊四边形的判定方
法是解题的关键．
21. 如图，将菱形 的边 和 分别延长至点E和点F，且使 ， ，连接
， ， ， ， ．
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（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，再根据菱形的性质得到 ，根据矩形的判定
可证得结论；
（2）过B作 交 延长线于G，证明 和 是等边三角形得到 ，
，分别在 、 、 中，分别利用直角三角形得性质和勾股定理求
得 ， ， ， 即可．
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：过B作 交 延长线于G，则 ，
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∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、含30
度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
22. 已知点P（1，3），Q（3，m）是函数 图象上两点.
（1）求k值和m值.
（2）直线 与 的图象交于A，直线 与直线 平行，与x轴交于点B，且
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与 的图象交于点C.若线段OA，OB， BC及函数 图象在AC之间部分围成的区域内
（不含边界）恰有2个整点，结合函数图象，直接写出b的取值范围.（注：横纵坐标均为整数的点称为整
点）
【答案】（1） ；（2）2<b ≤3或b<-3.
【解析】
【分析】先将P点代入求出函数表达式，然后将Q点代入求出m的值；
b的值未给定时，要从b>0与b<0两种情况下分别讨论，得到b的取值范围即可.
【详解】(1) ∵点P（1，3）在函数 图象上
∴ ∴k=3 ∴函数表达式为
∵Q（3，m）在函数 图象上
∴
（2）观察函数图像可知2<b ≤3或b<-3.
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的应用，解题关键是结合函数图像进行求解.
23. 2021年，我国粮食总产量再创新高．小刘同学登录国家统计局网站，查询到了我国2021年31个省、
直辖市、自治区的粮食产量数据（万吨）．并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．反映2021年我国31个省、直辖市、自治区的粮食产量数据频数分布直方图如图（数据分成8组：
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， ， ， ， ，
， ， ）：
b．2021年我国各省、直辖市、自治区的粮食产量在 这一组的是：
1092.8，1094.9，1231.5，1270.4，1279.9，1386.5，1421.2，1735.8，1930.3
（1）2021年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为 万吨；
（2）小刘同学继续收集数据的过程中，发现北京市与河南省的单位面积粮食产量（千克/公顷）比较接近，
如下图所示，他将自2016年至2021年北京市与河南省的单位面积粮食产量表示出来：
（ ）
自2016－2021年间，设北京市单位面积粮食产量的平均值为 ，方差为 ；河南省单位面积粮食产量的
平均值为 ，方差为 ；则 ______ ， ______ （填写“”或“＜”）；
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（3）国家统计局公布，2021年全国粮食总产量13657亿斤，比上一年增长2.0%．如果继续保持这个增长
率，计算2022年全国粮食总产量约为多少亿斤（保留整数）．
【答案】（1）
（2） ，
（3）2022年全国粮食总产量 亿斤
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义计算即可；
的
（2）分别计算出北京和河南 单位面积粮食产量的平均数即可比较平均数大小，方差大小根据图像判断：
方差越小越稳定，方差越大波动越大；
（3）2022年全国粮食总产量=2021年全国粮食总产量× ，即可得出．
【小问1详解】
解：2021年省份数量共9+9+3+5+2+1+1+1=31（个），
∴将2021年我国各省、直辖市、自治区的粮食产量从小到大排列：
中位数出现在第16个，位于 这一组中，由题意，这组中的数据分别为：
1092.8，1094.9，1231.5，1270.4，1279.9，1386.5，1421.2，1735.8，1930.3，
∴2021年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为：1421.1；
【小问2详解】
，
，
，
由图中可以看出：北京单位面积粮食产量波动小，比较稳定，河南单位面积粮食产量波动大，所以可知
；
【小问3详解】
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由题意得：2022年全国粮食总产量=
故2022年全国粮食总产量 亿斤．
【点睛】本题考查了中位数的定义，平均数和方差的公式，方差的意义以及增长率问题，牢固掌握各项概
念和公式以及正确计算是本题关键．
24. 如图， 是 的直径， 为 上一点， 为 外一点，连接 ， ， ， ，满足
， ．
（1）证明：直线 为 的切线；
（2）射线 与射线 交于点 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据 ， ，可得 ， ，根据三
角形内外角关系可得 ，结合 ，可得 ，再根据 是
的直径可得 ，即可证明；
（2）过B作 交 于点F，根据 得到 ，结合 可得 ，即可得
到 ，从而得到 ，根据勾股定理可得 、 ，即可得到 ，再根据勾股定理即可得到答案；
【小问1详解】
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证明：连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ 为 的切线；
【小问2详解】
解：过B作 交 于点F，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理可得，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长是 ；
【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，三角函数，解题的关键是作辅助线得到直角三角形．
25. 如图，直线 ： 与反比例 相交于 和 ，直线 ： 与反比
例函数 相交于 、 两点，连接 ．
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（1）求反比例函数的解析式和 、 两点的坐标；
（2）根据图像，直按写出当 时 的取值范围；
（3）求 的面积；
（4）点 是反比例函数第二象限上一点，且点 的横坐标大于 ，小于 ，连接 并延长，交反比例
函数图像于点 ．
①试判断四边形 的形状；
②当四边形 的面积为 时，求点 的坐标．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）8 （4）
【解析】
【分析】（1）由点 的坐标利用反比例函数图像上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，再由点
在反比例函数图像上即可得出点 的坐标，依据正、反比例的对称性结合点 的坐标即可得出点 的坐标；
（2）根据两函数图像的上下位置关系即可得出不等式的解集；
（3）令直线 与 轴的交点坐标为 ，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可求
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出 的面积；
（4）①根据正、反比例的对称性即可得出 、 关于原点对称，再结合 即可得出四边形
为平行四边形；
②连接 并延长交 轴于点 ，设点 坐标为 ，利用待定系数法即可求出直线
的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征即可得出点 的坐标，利用分割图形求面积法结合平行四
边形 的面积为18，即可得出关于 的一元二次方程，解方程求出 值，将其代入点 的坐标即可
得出结论．
【小问1详解】
解： 点 在反比例 的图像上，
，解得： ，
反比例函数的解析式为 ．
当 时， ，
点 的坐标为 ．
直线 与反比例函数 相交于 、 两点，且点 ，
点 的坐标为 ．
【小问2详解】
解：观察函数图像发现：当 或 时，直线 在反比例 的上方，
当 时 的取值范围为 或 ．
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【小问3详解】
解：令直线 与 轴的交点坐标为 ，如图1所示．
将 、 代入 中，
得： ，解得： ，
直线 ．
当 时， ，
，
．
．
【小问4详解】
解：① 连接 并延长，交反比例函致图像于点 ，
点 、 关于原点对称，
．
又 ，
四边形 为平行四边形．
②连接 并延长交 轴于点 ，如图2所示．
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设点 坐标为 ，直线 的解析式为 ，
将点 、 代入 中，
得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
．
，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
经检验： 是原方程的解，
∴点P的坐标为 ．
∴当四边形 的面积为10时，点 的坐标为 ．
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【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图像上点的坐标特征、一次函数图像上点的坐
标特征以及平行四边形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图像上点的坐标特征求出反
比例解析式；（2）根据函数图像的位置关系解不等式；（3）求出点D坐标；（4）①根据四边形对角线
互相平分得四边形为平行四边形；②利用面积找出关于 的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，
解决该题型题目时，巧妙的利用点到直线的距离能够降低难度．
26. 直线MN与线段AB相交于点O，点C、点D分别为射线ON，OM上两点，且满足
∠ACN=∠ODB=45°．
（1）如图1，当点C与点O重合时，且AO=OB，请直接写出AC与BD的数量关系；
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转α°（0＜a＜45），如图2所示，若AO=OB，（1）中的AC与BD
的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若AO=kOB．
①请求出 的值；
②若k= ，∠AOC=30°，BD=3 ，请直接写出OC的长．
【答案】（1）AC=BD；（2）成立；（3）①k；② ；
【解析】
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【分析】（1）先根据∠BOD和∠BDO的度数，判断DB与OB的数量关系以及位置关系，再得出AO与BD的
数量关系与位置关系；
（2）先分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，通过判定△AOE≌△BOF，得到AE=BF，由
∠ACN=∠BDN=45°，得∠AEC=∠BFD=90°，求出AC= AE，BD= BF，得出AC与BD的数量关系；
（3）分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，由△AEO∽△BFO，得 ，再求出AC=
AE，BD= BF，得出AC与BD的比值．在Rt△ACE中，∠ACE=45°，AE=CE=2，在Rt△AOE中，
∠AOE=30°，可得OE= AE=2 ，可得到OC.
【详解】解：（1）∵点O和点C重合，
∴AC=OA．∠AON=∠ACN=45°，
∵∠BDO=∠ACN=45°，
∴∠BDO=∠BOD=45°，
∴BD=OB，
∵OA=OB，
∴AC=BD；
（2）成立，理由：如图2，分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°，
在△AOE和△BOF中， ，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF，
∵∠ACN=∠BDN=45°，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
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∴AC= AE，BD= BF，
∴AC=BD；
（3）①如图3，分别过点A，B作AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，
∴∠AEC=∠BFO=∠BFD=90°，
∵∠AOE=∠BOF，
∴△AEO∽△BFO，
∴ =k，
∵∠ACN=∠BDN=45°，
∴∠AEC=∠BFD=90°，
∴AC= AE，BD= BF，
∴ =k；
②如图3，由①知， =k，
∵k= ，BD=3 ，
∴AC=2 ，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=2，
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴OE= AE=2 ，
∴OC=2（ ﹣1）．
【点睛】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．
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27. 如图，在等边 中，点 ， 分别在 ， 的延长线上，且 ， 的延长线交
于点 ．
（1）求 的度数；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 交 于点 ，依题意补全图形，猜想线段 与
的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】 （1）由三角形 为等边三角形， 利用等边三角形的 性质 得到 ，
，利用等角的补角相等得到夹角相等，利用 得到三角形 与三角形
全等，利用全等三角形的对应角相等得到 ，利用外角性质及等量代换即可得证；
（2）在 上取 ，连接 ，证明 ，进而证明 ，根据平行线
分线段成比例即可得出结论．
【小问1详解】
证明： 为等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
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，
，
，
则 ．
【小问2详解】
证明：补全图形，如图所示，在 上取 ，连接 ，
∵ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行线
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分线段成比例，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 （不与点 重合）和线段 ，给出如下定义：连接 ，平移
线段 ，使点 与线段 的中点 重合，得到线段 ，则称点 为线段 的“中移点”．已
知 的半径为1．
（1）如图，点 ，点 ，
点 为 与 轴正半轴的交点， ，求 的值；
点 为 上一点，若在直线 上存在线段 的“中移点” ，求 的取值范围；
（2）点 是 上一点，点 在线段 上，且 ．若 是 外一点，点 为线
段 的“中移点”，连接 ．当点 在 上运动时，直接写出 长的最大值与最小值的差（用
含 的式子表示）．
【答案】（1）① 或 ；② ；
（2）
【解析】
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【分析】（1）①如图，连接 ，根据“中移点”确定点 和 的坐标，然后根据勾股定理即可求出
的值，
②由①得， 的半径为1，圆心 在直线 上，当 与直线 相切时，可求得 的值
即可．
（2）如图，当点 、 在同一象限内，存在 最小，当 、 在相对象限内，存在 最大值，再
根据三角形三边的关系可得当 ， ， ， ， 在同一直线上且 ， 关于原点对称时，
有最小值，设 、 的坐标，分别求出 ， 即可．
【小问1详解】
解：①如图：连接 ，
，
点 ，点 ， 为线段 的中点，
∴ ，
∵点 为 与 轴正半轴的交点，
，
平移线段 ，使点 与线段 的中点 重合，得到线段 ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
解得： 或 ；
②由①得， 的半径为1，圆心 在直线 上，
当 时， ，
解得 ，
∴ ，
直线 与坐标轴的交点坐标为 ， ，
与直线 的切点为 ，如图，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，同理 ，
∴ 的取值范围为： ；
【小问2详解】
解：如图，经分析，当点 、 在同一象限内，存在 最小，当 、 在相对象限内，存在最大值
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，
，
当 ， ， ， ， 在同一直线上且 ， 关于原点对称时， 有最小值，
设 ， ，则 ，
， ，
， ，
．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、圆的基本性质、两点间距离公式、勾股定理等知识点，正确画出图
形、明确线段间的关系是解答本题的关键．
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