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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市海淀区首都师大附中中考模拟数学调研试卷（5 月份）
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将
自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在
其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A正确；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
2. 年 月 日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功
发射．长征二号 （代号： ，简称：长二 ，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标
飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是 千克．将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于 10的数，科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
【详解】解： ．
故选C．
3. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的
方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负
数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴A，B，C不符合题意；D符合题意；
故选：D
4. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握简单几何体的三视图，根据主视图是
从正面看到的视图对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．主视图是正方形，故本选项错误；
B．主视图是三角形，故本选项正确；
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C．主视图是长方形，故本选项错误；
D．主视图是圆，故本选项错误．
故选：B．
5. 如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长方形，以O点为圆心，以长方形的对
角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出 ，据此可得答案．
【详解】解：由勾股定理得 ，
∴点Р表示的数是 ．
故选B．
6. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，根
据二次根式的运算法则逐个判断即可．
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【详解】解：A、 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
是
B、 不 同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、 ，故C不正确，不符合题意；
D、 ，故D正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在 中， ，在边 上截取 ，连接 ，过点A作 于点
E．已知 ， ，如果F是边 的中点，连接 ，那么 的长是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，根据勾股定理求得 ，
进而可得 ，再证得 是 的中位线，从而可求解，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是
解题的关键．
【详解】解： ， ， ， ，
，
， ， ，
，点 是 的中点，
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，
又 F是边 的中点，
是 的中位线，
，
故选A．
8. 如图， ， 是 内部的射线且 ，过点 作 于点
，过点 作 于点 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ．
设 ，给出下面三个结论：
① ；
② ；
③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
.
A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识．证明
，推出 ， ，推出 ，再利用等腰三角形
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的性质，可以判定①正确；连接 ，根据 ，可以判定②错误； 是 内部的射线
且 ，可得 ，推出 ，推出 ，推出 ，故③正确．
【详解】解： ， ，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，故①正确，
连接 ，则 ，
， ，
，
，
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，故②错误，
是 内部的射线且 ，
，
，
，
，故③正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数是解题即可．
【详解】由题意可得 ，
解得 ，
故答案为： ．
10. 分式方程 的解 __________________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【详解】解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
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∴ ，
经检验， 是原方程的解；
故答案为： ．
11. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 _____
（填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌
握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小，
又∵点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 如图， 是 的直径， 是 延长线上一点， 与 相切于点 ．若 ，则
_________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接 ，求解
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，再根据圆周角定理即可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 与 相切于点 ． ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：
13. 小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去
掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张
纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下
第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第________张纸牌；将m张纸牌摞起来，
按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 ________（用含n的代数式表示，其中n为自然
数）．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】题目主要考查规律探索，理解题意，找出相应的规律是解题关键
8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8，按照规
则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果．
【详解】解：8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，
7，8，
前四轮去掉了2，4，6，8，
还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7，
再经过2轮去掉3，7，
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还利2张纸牌、从上至下为1，5，
再经过1轮，去掉5，
最终剩下的是原来的第1张纸牌；
由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌，
将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，
∴ ；
故答案为：1； ．
14. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为 ，点A，B，C在同一直线上， 点 ， 分别为两个
正六边形的中心． 则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义
是正确解答的关键．连接 ，过 点作 ，垂足为E，
根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，连接 ，过 点作 ，垂足为E，
设正六边形的边长为a，则 ，
在 中， ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
15. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位： ）如下表所示：
队员1 队员2 队员3 队员4 队员5
甲
177 176 175 172 175
队
乙
170 175 173 174 183
队
则两队队员身高的平均数 ______ （填 或 ），身高的方差 ______ （填 或 ）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
，
∴ ；
，
，
∴ ，
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为
故答案 ： ， ．
16. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵
味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心
在线段 上， 分米，则拱门所在圆半径的长为______分米．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接 ，根据垂径定理求得
分米，设圆的半径为 分米，则 分米， 米，根据勾股定理即可求得 ，进而
可得答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 过圆心， 为 的中点，
∴ ，
∵ 分米，C为 的中点，
∴ 分米，
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设圆的半径为x分米，则 分米，
∵ 分米，
∴ 分米，
在 中，由勾股定理 ，
∴ ，
∴ ，
即拱门所在圆的半径是15分米．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共12小题，共80分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数及零次幂、负整数指数幂的运算，熟练掌握各
个运算法则是解题关键．
先计算负整数指数幂、零次幂运算，化简二次根式，代入特殊角的三角函数，然后计算即可得出结果．
【详解】解：
．
18. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
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【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项，最后利用整体
代入法求解即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴
．
19. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
20. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ，与过点
且平行于 轴的直线交于点 ．
（1）求该函数的表达式及点 的坐标；
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（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于
，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答
本题的关键．
（1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将 代入解析式即可求出点 坐标；
（2）根据题意将 代入 求出 的最小值，再根据题意将 代入求出 的最大值，即
为本题答案．
【小问1详解】
解：∵函数 的图象经过点 和 ，
∴将点 和 代入 中，
，解得： ，
∴该函数的表达式为： ，
∵与过点 且平行于 轴的直线交于点 ，
∴将 代入 中，得 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于
，
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，
通过图象可知，当 的函数值小于 时，即将 代入 中， ，
当 的函数值大于函数 的值将 代入 中， ，
∴ 的取值范围为： ．
21. 如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ， ， 、 、 分别是
、 、 的中点．
（1）求证 ；
（2）连接 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ，结合体已知条件得出 ，进而根
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据三线合一即可得证；
（2）根据（1）的结论得出 ，根据中位线的性质得出 ，根据菱形的判定
定理即可得证．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵ ， 分别是 ， 的中点
∴ ， ，
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又∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
22. 某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均 之间的关系，收集了 年 个城市的
人均 数据（单位：万元）以及城市 排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息．
．城市的人均 的频数分布直方图（数据分成 组： ， ， ，
， ）：
频数（城市个数）
．城市的人均 （万元）的数值在 这一组的是： ；
．以下是 个城市 年的人均 （万元）和城市 排名情况散点图：
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根据以上信息，回答下列问题
（1）某城市的人均 为 万元，该城市 排名全国第_____；
（2）在 个城市 年的人均 和城市 排名情况散点图中，请用“ ”画出城市 排名的
中位数所表示的点；
（3）观察散点图，请你写出一条正确的结论．
【答案】（1） ；
（2）画图见解析； （3）结论见解析．
【解析】
【分析】( )根据城市的人均 的频数分布直方图和城市的人均 (万元)的数值在 这一
组的数据即可求解；
( )根据收集了 年 个城市的人均 数据，可得城市 排名的中位数是第 个，即可解答；
( )答案不唯一，根据散点图写出一条正确的结论即可；
此题考查了频数分布直方图，中位数，看懂统计图是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据城市的人均 的频数分布直方图得， 和 两组的城市共有 个，
由城市的人均 (万元)的数值在 这一组的数据得，某城市的人均 为 万元，该城
市 排名全国第 ，
故答案为： ；
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【小问2详解】
解：∵收集了 年 个城市的人均 数据，
∴城市 排名的中位数是第 个，画图如下，
【小问3详解】
解：观察散点图可得，人均 (万元)大的和城市 的排名也靠前．
23. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为 ，流速
为 ，开水的温度为 流速为 ，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到
一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：
开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度．
【答案】该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ．
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
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设该学生接温水的时间为 ，则接温水 ，开水 ，由物理常识的公式可得方程，解方
程即可．
【详解】解：设该学生接温水的时间为 ，
根据题意可得： ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答：该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ．
24. 如图，矩形 的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是 ，D为 边上一点，将矩形
沿 折叠，点C落在x轴上的点E处， 的延长线与x轴相交于点
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，若P是 上一动点， 交 于M， 交 于N，设 ，
，求s与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】（1）
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（2）
（3）存在， 或 或
【解析】
【分析】（1）设 ，则 ，再求出 的长，在 中，根据
勾股定理求出a的值，即可求解；
（2）延长 交 于 ，则 ，先证明 ，可得 ，从而得到
，在 中，由勾股定理可得 ，可得 ，从而得到
， 进 而 得 到 ， 可 证 得 ， 可 得 到
，再证明 ，即可求解；
（3）分三种情况： 当 时； 当 时；当 时，即可求解．
【小问1详解】
解：在矩形 中， ，
， ，
设 ，则 ， ，
，
在 中， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
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，
，
，
；
【小问2详解】
如图 ，延长 交 于 ，则 ，
∵ ，
，
，
，
，
由（1）知： ，
，又 ，
，
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，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
∵ ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
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，
，
，即 ，
；
【小问3详解】
分三种情况：
①当 时，如图3，
， ，
∽ ，
，
，即 ，
解得： ，
∴ ，
， ，
；
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②当 时，如图4，过M作 于H， 与 的延长线交于点G，
有 ，
，
，
，
即 ，
，
∽ ，
，即 ，
解得： ，
代入 得： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ， ，
∴ 的纵坐标为： ，
；
③当 时，如图5，
过点N作 于Q，
，
，
∽ ，
，
又 ，
， ，
，
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，
代入 得： ，
同理可得： ；
综上，点P的坐标是 或 或
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，
等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解
本题的关键．
25. 对于平面内的点 和点 ，给出如下定义：
若点 是点 绕点 旋转所得到的点，则称点 是点 关于点 的旋转点；若旋转角小于 ，则称点
是点 关于点 的锐角旋转点．如图1，点 是点 关于点 的锐角旋转点．
（1）已知点 ，在点 中，是点 关于点 的
锐角旋转点的是______．
（2）已知点 ，点 在直线 上，若点 是点 关于点 的锐角旋转点，求实数 的取值
范围；
（3）点 是 轴上的动点， ，点 是以 为圆心，3为半径的圆上一个动点，
且满足 ．若直线 上存在点 关于点 的锐角旋转点，请直接写出 的取值范围．
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【答案】（1） ， ．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点 以及 轴上的点），点 ， 满足条件．
（2）如图中，以 为圆心，3为半径作半圆，交 轴于 ， 当直线 与半圆有交
点（不包括 ， 时，满足条件．
（3）根据题意，点 关于点 的锐角旋转点在半圆 上，设点 在半圆 上，点 在半圆 上（将半圆
绕点 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，
的值，可得结论．
【小问1详解】
解：如图， ， ，
， ，
点 不是点 关于点 的锐角旋转点；
，作 轴于点 ，
，
，
，
点 是点 关于点 的锐角旋转点；
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，作 轴于点 ，
则 ，
，
，
，
不是点 关于点 的锐角旋转点；
，作 轴于点 ，
则 ，
，
，
是点 关于点 的锐角旋转点；
综上所述，在点 ， ， ， 中，是点 关于点 的锐角旋转点的是 ， ，
故答案为： ， ．
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【小问2详解】
解：在 轴上取点 ，当直线 经过点 时，可得 ，
当直线 经过点 时，则 ，
解得： ，
当 时， 绕点 逆时针旋转锐角时，点 一定可以落在某条直线 上，
过点 作 直线 ，垂足 在第四象限时，如图，
则 ， ，
，
当 时， 取得最小值，
，
，
．
【小问3详解】
解：根据题意，点 关于点 的锐角旋转点在半圆 上，设点 在半圆 上，点 在半圆 上（将半圆
绕点 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
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如图3（2）中，阴影部分与直线 相切于点 ， ， ，过点 作
轴于点 ，过点 作 于点 ，
，
，
， ，
，
，
，即 ，
解得 ，
如图3（3）中，阴影部分与 相切于点 ， ， ，则 ，
，
，
解得 ，
观察图象可知， ．
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【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点
是点 关于点 的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决
问题，属于压轴题．
26. 在平面直角坐标系 中，对于线段 ，直线l和图形W给出如下定义：线段 关于直线l的对
称线段为 （ 分别是M，N的对应点）．若 与 均与图形W（包括内部和边界）有公
共点，则称线段 为图形W关于直线l的“对称连接线段”．
（1）如图1，已知圆O的半径是2， 的横、纵坐标都是整数．在线段
中，是 关于直线 的“对称连接线段”的是 ．
（2）如图2，已知点 ，以O为中心的正方形 的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段
是正方形 关于直线 的“对称连接线段”，求k的取值范围．
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（3）已知 的半径为r，点 ，线段 的长度为1．若对于任意过点Q 的直线l，都存在
线段 是 关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接
线段”的定义成为解题的关键．
（1）直接根据“对称连接线段” 的定义以及抽对称的性质进行解答即可；
（2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P的对称点是 和 时
是临界点即可解答；
（3）如图3：连接 ，则 ，然后根据图形及“对称连接线段”的定义即可解答．
【小问1详解】
解：如图1:
因为 关于 的对称点是 在 上，所以 是 关于直线 的“对称连接线
段”，
因为 和 关于 的对称点是 和 在 外，所以 不是 关于直线 的
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“对称连接线段”，
因为 关于 的对称点是 在 内，所以 是 关于直线 的“对称连接线段”．
故答案为： ．
【小问2详解】
解：如图2：
设直线 交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等，
所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动，
当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件，
过点P的对称点是 和 时是临界，此时k的值分别是1和 ．
∴ 或 ．
【小问3详解】
解：如图3：
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连接 ，则 ，
∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心， 为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是
和 的圆上运动，
设半径是 的圆交y轴于点W，
∴ ．
27. 我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，
定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即
表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆 ，向正北方向画一
条射线 ，在 上取点 ，测得 ， ．
（1）判断：这个模型中 与 是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．
（2）利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角 ，夏至正午阳光与日影夹角为 ，请求
出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．
【答案】（1）是； ，由勾股定理的逆定理可知 ．
（2）该市冬至与夏至的日影的长度差为 ．
【解析】
【分析】本题考查的勾股定理的逆定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意是解本题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
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（2）先画图，利用三角函数再计算 ， ，从而可得答案．
【小问1详解】
解：是，
理由：由测量结果可知得 ， ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：是； ，由勾股定理的逆定理可知 ．
【小问2详解】
如图，由题意可得： ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ；
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∴该市冬至与夏至的日影的长度差为 ．
28. 某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水
柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.
d（米） 0 1 2 3 4
h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下
方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱
的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露
出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位
小数）．
【答案】（1）见详解 （2）1.5
（3）2.1米
【解析】
【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键
在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）观察图象即可得出结论；
（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出
二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【小问1详解】
解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
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【小问2详解】
根据题意可知，该抛物线的对称轴为 ，此时最高，
即 ，
故答案为：1.5．
【小问3详解】
根据图象可设二次函数的解析式为： ，
将 代入 ，得 ，
抛物线的解析式为： ，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为： ，
由题意可知，当横坐标为 时，纵坐标的值大于 ，
，
解得 ，
水管高度至少向上调节1.6米，
（米 ，
公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求．
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