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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京市海淀区清华附中九年级（下）
月考数学试卷（4 月份）
一.选择题（本大题共24分，每小题3分）
的
1. 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船 长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发
射，长征二号F（CZ－2F）是捆绑四枚助推器的两级运载火箭，采用N204/UDMH推进剂，起飞重量约为
480000千克，将480000用科学记数法表示应为（ ）
A. 48×105 B. 4.8×105 C. 48×104 D. 4.8×104
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为 的形式，其中 ，n为整数，
正确确定a、n的值是解题的关键．
将 写成 其中 ，n为整数的形式即可．
【详解】解： ．
故选B．
的
2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
【详解】解：A中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
B中图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：A．
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的
3. 如图， ， ，则 大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角的运算，先求 与 的度数差即可得出 的度数，再求
与 的和即可．理解题意，利用数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根据数轴上点的 位置判断式子符号，根据题意可得 ，且
，进而得到 ， ， ，是解决问题的关键．
【详解】解：有数轴可知， ，且 ，
∴ ， ， ，
故选：D．
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5. 若关于 的一元二次方程 有两个实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数 的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两
个相等的实数根时， ；当方程没有实数根时， ．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
6. 正十二边形的一个内角的度数为（ ）
A. 30° B. 150° C. 360° D. 1800°
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【详解】正十二边形的每个外角的度数是： ，
则每一个内角的度数是：180°-30°=150°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形外角的的问题，正确理解内角与外角的关系是关键．
7. 不不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”、“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中
随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的
数字之和为3的概率是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用列表法求概率．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两
次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
1 2
1 2 3
2 3 4
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的情况有2种，
所以两次记录的数字之和为3的概率为 ，
故选：C．
8. 如图 中， ，若记图中阴影部分的面积为 ， 为 ，则下列 关
于 的图象中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由勾股定理得到 ，再由 为 ，得到 ，进而间接表示
出阴影部分的面积，得到 ，最后根据二次函数图象与性质即可得到答案．
【详解】解：在 中， ，则 ，
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， 为 ，
，
，
，
抛物线开口向下，且对称轴为 ，则四个选项中，满足抛物线的是A，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质，涉及勾股定理、不规则图形面积求法、圆的面积公式、二次函数
图象与性质等知识，掌握不规则图形的求解方法是解决问题的关键．
二.填空题（本大题共24分，每小题3分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，即 ．
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故答案为: ．
10. 分解因式： =__________________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）=
考点：分解因式
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式．
11. 写出一个大小在 和 之间的整数________．
【答案】2（答案不唯一，也可以写3）
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算 ， ，可得符合题意的整数k满足，
写出一个即可，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴符合题意的整数有2，3，
故答案为：2（答案不唯一，也可以写3）．
12. 若反比例函数 的图像经过点 和点 ，则 ___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函
数的解析式是解答此题的关键．
【详解】解：把点 代入 得： ，
∴ ，
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把点 代入得： ，
故答案为： ．
13. 下表记录了四名运动员100米短跑几次选拔赛的成绩，现要选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加市
运动会100米短跑项目，应选择________．
甲 乙 丙 丁
平均数
11.2 11.3 11.3 11.2
（秒）
方差 5.5 5.5 5.8 5.9
【答案】甲
【解析】
【分析】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏
离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离
平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵从平均数看，甲、丁成绩更好，
∴从甲和丁中选择一人参加竞赛，
又∵甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故答案为：甲．
14. 如图，在 中， ， 、 、 分别是边 、 、 的中点，连接 、
．若 ， ，则 的长为_____．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形中位线定理，则 ；再根据直角三
角形斜边上的中线的性质，即可．
【详解】∵ 、 分别是边 、 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，点 是 上的中点，
∴ ．
故答案为： ．
15. 如图， 的圆心 的坐标是 ，半径为 ，在直角坐标系中， 为直线 上的动点，
过 作 的切线，切点为 ，则切线长 的最小值是 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ， ，如图所示，由切线性质，通过勾股定理将 的最小值转化为求 最小值，利
用两点的距离公式求出 即可得到答案．
【详解】解：连接 ， ，如图所示：
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是 的切线，
，
在 中， ， ，则由勾股定理可得 ，
当 取得最小值时， 有最小值，
为直线 上的动点，圆心 的坐标是 ，设点 的坐标是
，
当 时， 最小，
此时 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点最值，涉及切线性质、勾股定理、点到直线距离公式等知识，读懂题意，由勾股定
理将求切线长 的最小值转化为求 最小值是解决问题的关键．
16. 在矩形台球桌面 中，点A、B、C、D、E、F处为球袋，其大小不计，如图1，点M处的台球撞
击台球桌边上的点O后经过点N，台球的运行线路满足反射角等于入射角，即 ，如图2，
，在矩形台球桌面 的内部有P、Q两点，点Q到 、 的距离都为1，则该台球
_____（填“能”或“不能”）依次撞击 、 边后经过点Q．若放在点P处的球能够依次撞击 、
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边后经过点Q，则满足条件的所有点P构成的区域面积为 ___________________．
【答案】 ①. 能 ②. ##
【解析】
【分析】由题意可知 处的球依次撞击 、 边后经过点 ，找到零界点：当球从 出发撞击
边的点 后，反射到达点 ，然后讨论当球从 出发撞击 边的点 上方时，当球从 出发撞击
边的点 下方时，是否去撞击 边，由此可知，当球从 出发撞击 、 边，球所到达的区域为四
边形 ，在根据相似三角形的判定及性质求解即可．
【详解】解：若点P处的球能够依次撞击 、 边后经过点Q，
则反过来， 处的球依次撞击 、 边后经过点 ，
过点 作 ， ，则 ， ，
则四边形 是正方形，
∴ ，
当球从 出发撞击 边的点 后，反射到达点 ，
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此时， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ， ，
当球从 出发撞击 边的点 上方时，撞击路线与 的夹角大于 ，则反射时的夹角也会大于
，则显然不会再撞击 ，故不符合题意；
当球从 出发撞击 边的点 下方时，撞击路线与 的夹角小于 ，则反射时的夹角也会小于
，则显然会再撞击 ，且再次反弹，
当球从 出发撞击点 时，显然不符合题意，
连接 并延长交 于 ，
由此可知，当球从 出发撞击 、 边，球所到达的区域为四边形 ，
即点 从四边形 所在区域内任意位置依次撞击 、 边后都能经过点 ，
由正方形的性质可知 ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，则 ，
∴所有点 构成的区域面积为四边形 的面积，
即：所有点 构成的区域面积 ，
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故答案为：能， ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，正方形的判定及性质，能通过Q处的球依次撞
击CD、BC边后经过点P，找到点P构成的区域是解决问题的关键．
三.解答题（本题共72分，第17～19题，每小题5分，第20题6分，第21～23题，每小题5
分，第24题6分，第25～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角形函数值，负整数指数幂，实数的运算．代入特殊角三角形函数值，根据
实数的运算法则计算即可求解．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先解出两个不等式，再取公共部分即可．
【详解】解：
解①得： ，
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解②得： ，
∴原不等式组的解集是： ．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，先计算除法，再计算加法即可化简，然后把 变形为
a2+2a=2，代入化简式计算即可．熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：
=
=
=
=
= ，
∵
∴ ，
∴原式= ．
20. 如图，在四边形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，
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过点 作 交 的延长线于点 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查菱形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理的运用，即可．
（1）根据平行线 性的质，则 ，根据角平分线的性质，则 ，根据等量代
换，等角对等边，则 ，根据平行四边形、菱形的判定，即可；
（2）根据菱形的性质，则 ， ， ， ，根据勾
股定理的运用，则 ， ，即可．
【小问1详解】
证明如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
【小问2详解】
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21. 初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，
售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，
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有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的
人数．
【答案】一班有36名学生
【解析】
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意，设有 名学生，打8折的钱数 打9折的钱数，
列方程即可．
【详解】解：设一班有 名学生，
由题意可知： ，
解得： ，
答：一班有36名学生．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过
点(1，2)．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数 由 平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入
可得b值即可求出解析式；
（2）由题意可得临界值为当 时，两条直线都过点（1，2），即可得出当 时，
都大于 ，根据 ，可得 可取值2，可得出m的取值范围．
【详解】（1）∵一次函数 由 平移得到，
∴ ，
将点（1，2）代入 可得 ，
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∴一次函数的解析式为 ；
（2）当 时，函数 的函数值都大于 ，即图象在 上方，由下图可知：
临界值为当 时，两条直线都过点（1，2），
∴当 时， 都大于 ，
又∵ ，
∴ 可取值2，即 ，
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．
23. 新年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过 亿，总票房超过 亿元．
以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
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b．两部影片分时段累计票房如下
上映影
2月12日—18日累计票房（亿元） 2月19日—21日累计票房（亿元）
片
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日—18日的一周时间内，影片甲单日票房的中位数为 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日—21日三天内影片甲
的累计票房应超过 亿元．
【答案】（1）4.36
（2）②③ （3）8.61
【解析】
【分析】（1）影片乙单日票房从小到大排序，根据中位数定义求解即可；
（2）①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，可判断①；
②先求出甲、乙的平均数，再根据方差公式 求出甲、乙的
方差，可判断②；
的
③根据折线图，分别求出15日，16日，17日，18日甲与乙 差值，可判断③；
（3）利用乙票房的收入减去甲票房前7天的收入即可得到最后三天的累计额即可．
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【小问1详解】
解：影片乙单日票房从小到大排序为 ， ， ， ， ， ， 一共7个数据，
所以影片乙单日票房的中位数为： ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：①甲票房从2月12日到16日单日票房逐日增加，17日18日逐日下降，
甲的单日票房逐日增加说法不正确；
② ，
，
，
，
甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差正确；
③甲超过乙的差值从15日开始分别为，
15日： ，
16日： ，
17日： ，
18日： ，
在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大正确．
综上，说法中所有正确结论的序号是②③，
故答案案为：②③；
【小问3详解】
解：乙票房截止到21日收入为： 亿，
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甲票房前7天达到 亿，
2月19日—21日三天内影片甲的累计票房至少为： 亿．
故答案为： ．
【点睛】本题考查中位数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算，掌握中位
数，观察折线图的变化趋势，平均数，方差，利用票房的收入进行估算是解题关键．
24. 根据材料提供的信息，解决下面问题．
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿
梭过程中人的高度变化忽略不计）．
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水
呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为
，水柱最高点离地面 ．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图． 为喷水管， 为水的落地点，记 长度为喷泉跨度．
如图4，安全通道 在线段 上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入 上方的矩形区域，
则称这个矩形区域 为安全区域．
（1）在图2中，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；
（2）若喷泉跨度 的最小值为 ，求喷水管 高度的最大值；
（3）在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为 ，直接写出此时安全通道
的宽度？
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【答案】（1）抛物线的函数表达式为 ．
（2）喷水管 的高度最大值为 ；
（3）此时安全通道 的宽度为 ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意可知抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为
，代入 即可求解；
（2）设抛物线解析式为： ，代入 时， ，即可求抛物线解析式，从而求
的值；
（3）求出当 时，点 落在 上，点 落在 上时两个点的横
坐标即可求解．
【小问1详解】
解： 点 坐标为 ，点 坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线的最高点为3，
顶点坐标为 ，
设抛物线的函数表达式为 过点 ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
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解： 喷头喷出来的水呈抛物线形或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，
设喷泉跨度 的最小值为 时，抛物线的函数表达式为 ， ，
当 时， ，得 ，解得： 或 （舍去），
则 ，
由 ，得 ，
即：喷水管 的高度最大值为 ；
【小问3详解】
解：由题意得：当点 落在 上，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
当点 落在 上时，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
则， ．
即：此时安全通道 的宽度为 ．
25. 在平面内，给定不在同一条直线上的三点 ， ， ，如图所示，点 到点 ， ， 的距离均等于
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（ 为常数），到点 的距离等于 的所有点组成图形 ，连接点 与 的中点 ，点 在 的延
长线上，连接 ， ， ．
（1）画出图形G，并依题意补全图形；
（2）求直线 与图形 的公共点个数；
（3）连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）详见解析
（2）直线 与图形G公共点个数为1个
（3）
【解析】
【分析】（1）点 到 、 、 的距离均等于 ，则 、 、 三点共圆，可得图形 是圆心为 ，半
径为 的圆；
（2）先求得 ，得到 ，加上 为半径，得出 为 切线，即可得出结论；
（3）过点 作 于点 ，四边形 是正方形，分别求出 、 ，即可求解．
【小问1详解】
解： 点 到 、 、 的距离均等于 ，
，
、 、 三点共圆，
到点 的距离等于 的所有点都在圆心为 ，半径为 的圆上，
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图形 是圆心为 ，半径为 的圆，如图
；
【小问2详解】
解：直线 与图形 的公共点个数为1个，
连接 、 ，如图2，
在四边形 中， ，
，
，点 为 中点，
，
，
，
，
，
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又 为半径，
为 切线，
直线 与图形 公共点个数为1个；
【小问3详解】
解：如图3，过点 作 于点 ，
由（2）知 ，
∵ ，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
在 中， ，
，
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∵ ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定与性质，解直角三角形，掌握相
关性质是解题的关键．
26. 已知抛物线 ，
（1）若抛物线过点 ，求抛物线的对称轴；
（2）已知点 在抛物线上，其中 ，若存在 使 ，
试比较 的大小关系．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与 轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解
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题的关键．
（1）抛物线过点 ，可知 关于对称轴对称，即可求解；
（2）设抛物线 的对称轴为 ，先求出 的取值范围，再根据函数的增减性即可
求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点 ，
∴ 关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是 ．
【小问2详解】
解：设抛物线 的对称轴为 ，
由题知， 在 的右侧， 在 的左侧，
∵ ，存在 ，
∴点 到 大于 点 到 的距离，
∴ 到 的距离为： ，点 到 的距离为： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ 都在函数的左侧，
∴ ，
∴抛物线 开口向上，在对称轴左侧函数随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
27. 如图，在正方形 中，E、F分别为 和 上的点，作 于M．
（1）求证： ；
（2）在 上截取 ，连接 ，G为 中点，连接 ， ．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 和 的数量关系，并证明．
【答案】（1）详见解析
（2）①图见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ，根据平行线的性质得出
，结合 ，通过导角可证 ；
（2）①依题意画图即可；②连接 并延长使得 ，连接 ， ，构造
，推出 ，进而证明 ，推出
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，可证 ， 是等腰直角三角形，可得 ．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①根据题意补全图形如图所示：
② ，
证明：连接 并延长使得 ，连接 ， ．
∵点G为 的中点，
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∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由正方形的性质可知， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，则 也是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，
有一定难度，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
28. 在平面直角坐标系 中，关于点P和图形G给出如下的定义：若在图形G上存在两点M，N使得
，作 于 ，则称Q为P关于图形G的射影点．
（1）当 的半径为2时，
①在点 ， ， 中，关于 的射影点存在的有 ；
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②点P在直线 上，若P关于 的射影点Q存在且唯一，求点P的坐标；
（2） 的圆心在x轴上，半径为 ，直线 ，若线段 上存在点 ，使得点 关于 的
射影点 满足 ，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②点P的坐标为 或
（2）圆心T的横坐标t的取值范围为 或
【解析】
【分析】（1）①作出图形，过点 作两条相互垂直的直线判断即可；
②由①可知，当点 在圆内或圆上时，必存在 的射影点，但由于过点 作两条相互垂直的直线，有无
数种情况，故此时射影点 不唯一，则点 必定在圆外时，过点 作与 相切的两条切线 ， ，
分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别进行讨论即可求解；
（2）结合（1）可知点 在以点 为圆心， 为半径的圆内，再证 ，进而由三角形三边关系可
知， ，即 ，在根据零界点位置当点 在线段端点 处，当点 在线段端
点 处，找到符合题意的点 的位置即可求解．
【小问1详解】
解：①如图1，点 在圆内，则过点 作两条相互垂直的直线，与 都有交点，则存在 的射
影点，
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点 在圆上，当 是直径时， ，则存在 的射影点，
点 在圆外，作 轴，则 ，
的半径为2，
与 相切，则 ，
，
作 与 相切于点 ，则 ，
△ △ ，
，则 ，
则在 上，不存在 、 使得 ，则不存在 的射影点，
故答案为： ， ；
②由①可知，当点 在圆内或圆上时，如图2，
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必存在 的射影点，但由于过点 作两条相互垂直的直线，有无数种情况，故此时射影点 不唯一，
则点 必定在圆外时，过点 作与 相切的两条切线 ， ，
当 时，在 上不存在 、 使得 ，不符合题意；
当 时，此时恰好存在 、 使得 ，且只有一种情况 、 分别与两个切点
重合），
由切线性质可知， ， ，则四边形 为矩形，
又 ，
则四边形 为正方形，
，则 ，
又 点 在 上，设 ，
则 ，解得： ，
则当 时， ，当 时， ，
点 的坐标为 或 ；
当 时，此时 ，即在钝角内部画一个直角有无数种情况，不符合题意；
综上，点 的坐标为 或 ；
【小问2详解】
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解：由（1）可知，当点 在 外，如图 3，当 时，此时恰好存在 、 使得
，且只有一种情况 、 分别与两个切点重合），
由切线性质可知， ， ，则四边形 为矩形，
又 ，
则四边形 为正方形，
，则 ，
即：点 在以点 为圆心， 为半径的圆内，
连接 ，并延长交 于 ， 两点，如图4，
，
， ，
由圆周角定理可知， ， ，
，
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，即： ，
又 ， ，
， ，
，
，
，即： ，
，
连接 ，由三角形三边关系可知， ，即 ，
对于 ，当 时， ，当 时， ，即： ， ，
当点 在线段端点 处，如图5， ， ，由勾股定理可得 ， ，
同理， ， ，
当 在线段 、 之间时， ，
则 或 ；
当点 在线段端点 处，如图6， ， ，
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则 ， ， ， ，
当 在线段 、 之间时， ，
则 或 ；
综上，圆心 的横坐标 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查图形与坐标，切线的性质定理，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定及性质，
判断出点 在以点 为圆心， 为半径的圆内，求出 ，再由三边关系得到 是解决问题
的关键．
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