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2022 北京北师大实验中学初一（上）期中
数学
一、选择题
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 2023 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正数和零 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知绝对值的意义是解题的关键．
2. 北京地铁19号线，又称北京地铁R3线，是一条穿越中心城的大运量南北向地铁线路．位于北京市西部
地区，于2015年开工建设，标识色为暗粉色，该线路呈南北走向，南起丰台区新宫站，途经西城区，北至
海淀区牡丹园站，采用A型车8节编组，全线长 ．其有利于承接北京功能向外疏解．将22400用
科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，当原数绝对值大于等于10
时，要确定n的值，看把原数变成a，小数点向左移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，由此进
行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选：B．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 下列各对数中，互为相反数的是（ ）．
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】分别化简各数，根据相反数的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、-（-3）=3，-|-3|=-3，两者互为相反数，故本选项正确；
B、|+3|=3，|-3|=3，两者不是相反数，故本选项错误；
C、-（-3）=3，|-3|=3，两者不是相反数，故本选项错误；
D、-（+3）=-3，+（-3）=-3，两者不是相反数，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，化简绝对值，掌握相反数的定义，化简各数是解题的关键．相反数的
定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
4. 下列是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据只含一个未知数，未知数的次数是1的整式方程判断即可．
【详解】解：A. ，含有两个未知数，不符合题意；
B. ，不是方程，不符合题意；
C. ，未知数的最高次数为2，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题关键是熟记一元一次方程的定义．
5. 下列计算错误的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的减法、乘除法和乘方的运算法则计算即可求解．
【详解】解：A．原式 ，原计算错误，故该选项符合题意；
B．原式 ，正确，故该选项不符合题意；
C．原式 ，正确，故该选项不符合题意；
D．原式 ，正确，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级
运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注
意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
6. 高度每增加1千米，气温就下降2℃，现在地面气温是10℃那么高度增加7千米后高空的气温是 （
）
A. －4℃ B. －14℃ C. －24℃ D. 14℃
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先根据该地区高度每增加1千米，气温就下降大约2℃，求得7千米高空气温下降了
多少摄氏度，由此进行求解即可．
【详解】解：根据题意得： ℃．
故选A．
【点睛】本题主要考查了是有理数减法在生活实际中的问题，解题关键是弄懂题意，列出算式求解．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “ 与3的差的2倍”表示为 B. 单项式 的次数为5
C. 多项式 是一次二项式 D. 单项式 的系数为【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式系数与次数的定义即可判定选项B不符合题意、选项D符合题意；根据代数式的意义
即可判断选项A不符合题意；根据多项式的定义即可判断选项C不符合题意．
【详解】解：A．“a与3的差的2倍”表示为 ，说法错误，不符合题意；
B．单项式 的次数为3，说法错误，不符合题意；
C．多项式 是二次二项式，说法错误，不符合题意；
D．单项式 的系数为 ，说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了单项式的系数与次数，多项式，列代数式，熟知相关知识是解题的关键．
8. 下列变形中不正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】等式两边同时加减一个数，同时乘以一个数或除一个不为0的数，等式依然成立，根据此性质判
断即可．
【详解】解：A． 两边同时加3，可得到 ，故此选项正确，不符合题意；
B． 两边同时除以 ，可得到 ，故此选项正确，不符合题意；
C． 当 时， 两边同除以c无意义，则 不成立，故此选项错误，符合题意；
D． 等式 中， ，两边同时乘以m得 ，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的基本性质是解题的关键．9. 若关于 ， 的多项式 不含二次项，则 的值为（ ）
A. 0 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先去括号、合并同类项，再根据不含二此项求解即可．
【详解】解：
=
=
∵关于x，y的多项式 不含二次项，
∴ ， ，
解得， ， ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题关键是明确不含二次项，即二次项系数为0．
10. 如图所示：把两个正方形放置在周长为 的长方形 内，两个正方形的周长和为 ，则这两
个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长可用代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，然后根据长
方形周长公式分别得到 ， ，由此即可得到答案．
【详解】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b∵两个正方形的周长和为4n，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵长方形 的周长为2m，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的周长为 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意求出 是解题的关键．
二、填空题
11. 的倒数等于_______．
【答案】 ##-0.6
【解析】
【分析】先把待分数化为假分数，然后根据倒数的定义求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为 ，把带分数化为假分数是解答此题的关键．12. 用四舍五入法将 精确到 ，所得到的近似数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据精确到 即精确到百分位，把千分位上的数按照四舍五入的要求取舍即可．
【详解】解：四舍五入法将 精确到 ，可得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是按照四舍五入的方法取近似数，掌握精确度的要求是解本题的关键．
13. 比较大小： ______ ， ______1．
【答案】 ①. < ②. <
【解析】
【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可：正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大
值越小．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
故答案为：<；<．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键．
14. 多项式 按y降幂排列为___________．
【答案】
【解析】
【分析】把多项式按照y的次数由大到小排列即可．
【详解】解：多项式 按y降幂排列为 ；故答案为： ．
【点睛】本题考查了对多项式的降幂排列，解题关键是明确按某个字母降幂排列的方法．
15. 若 是关于x的方程 的解，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次方程解得定义把 代入到方程 中得到关于k的方程，解方程即可得
到答案．
【详解】解∵ 是关于x的方程 的解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟知一元一次方程的解是使方程两边相等
的未知数的值是解题的关键．
16. 已知 ，那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】将 变形为2(5m+3n)-5，然后把已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 2(5m+3n)-5
=2×2-5
=-1．
故答案为：-1．【点睛】本题考查代数式求值，将 变形为2(5m+3n)-5是解题的关键．
17. 如图是一个运算程序示意图，不论输入x的值为多大，输出的y值总是一个定值（不变的值），则
______．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据程序图得出x与y的关系式，再根据y的值与x的值无关即可得．
【详解】由程序图得： ，
因为不论输入x的值为多大，y值都是定值，
所以 ，即 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了程序流程图与代数式求值，根据程序图正确列出x与y的关系等式是解题关键．
18. 十九世纪的时候，MorizStern（1858）与AchilleBrocot（1860）发明了“一棵树”，称之为有理数树，
它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来： 是第一层，
第二层是 和 ，第三层是 ， ， ， ，……，按照这个规律， 在第__________层第__________
个数（从左往右数）．
【答案】 ①. 10 ②. 253【解析】
【分析】由图可知，向右发散的都是真分数，规律为 ，向左发散的都是假分数，规律是
，据此逆推可得 所在的层数，再根据每一层数的位置确定 所在的具体位置
【详解】 设 在第 层，则第 层的与 连线的数为： ， 层与之连线的数为： ;…
，则 在第 层
由图可知，
从第3层至第8层数字都是向左边发散，第9，10层的数字是向右发散，即：
的左边有1 个数，
的左边有3 个数，
的左边有7 个数，
的左边有15 个数，
的左边有31 个数，
的左边有63 个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多1个数， 的左边有 个数，
是上一层数字向右发散的，故左侧多2个数， 的左边有 个数，和 是在同一层，且在 的左侧，
从左往右数， 是第 个数，
故答案为：
【点睛】本题考查了数字类型规律，找到左右发散的数字的规律是解题的关键．
三、计算题
19.
【答案】
【解析】
【分析】按照有理数混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
20.
【答案】
【解析】
【分析】先计算乘法，再计算加法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．21.
【答案】7
【解析】
【分析】先把除法变为乘法，然后根据有理数乘法分配律求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数除法和有理数乘法运算律，熟知有理数乘法分配律是解题的关键．
22.
【答案】
【解析】
【分析】先乘方，利用乘法分配律进行乘法计算，除法计算，最后算加减．
【详解】
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，按照运算顺序计算是解题的关键．注意能
用运算律简算的要进行简算．
四、解答题23. 先化简，再求值：已知 ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
24. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
（1）判断正负，用“>”或“<”填空： ___________0， ___________0．
（2）化简： ．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数轴得出 ，再求出答案即可；
（2）根据数轴得出 ，再化简求值即可．
【小问1详解】根据数轴得出 ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
∵ ，
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，数轴和实数的大小比较，能根据数轴得出 是
解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
25. 某天上午，出租车司机小张以西单为出发点，在南北走向的公路上运营．如果规定向北为正，向南为
负，那么他这天上午行程（单位：千米）如下：+5、 、+3、+13、 、 、+11、 、+2、 、
+15、 ．回答下列问题：
（1）将最后一批乘客送到目的地时，小张与西单的距离为___________千米，在西单的___________方．
（2）若出租车平均每千米耗油的费用为0.6元，则这天上午出租车耗油费用共多少元？
【答案】（1）6，正北
（2）
【解析】
【分析】（1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置；
（2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以0.5即可．
【小问1详解】
解： （千米），
∴小张与西单的距离为6千米，在西单的正北方．
故答案为：6，正北【
小问2详解】
（千米），
（元），
∴这天上午出租车耗油费用为 元．
【点睛】此题考查了正数和负数，以及有理数运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
26. 在下面的表格中给出了当x取不同数值时，代数式 与 分别所得的值，例如当 时，
．
x … 0 1 2 …
… a 5 3 b …
… 1 2 3 …
（1）根据表中信息，请写出：a，b，m，n的值． ___________， ___________， ___________，
___________．
（2）当 时， ；当 时， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）7；1；0.5；2
（2）4036
【解析】
【分析】（1）根据题目所给式子和数据进行求解即可；
（2）根据 可得 ，再根据（1）所求得到 ，
由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得 ， ；∵当 时，代数式 的值为2，
∴ ，
∵当 时，代数式 的值为3，
∴ ，
∴
故答案为：7；1；0.5；2；
【小问2详解】
解：∵当 时， ；当 时， ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
27. 我们规定一种运算 ，如 ，再如 ．按照这
种运算规定，解答下列各题：
（1）计算 ___________；
（2）若 ，求x的值；
（3）若 与 的值始终相等，求m，n的值．【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据题意列出算式 ，计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的方程，解方程即可得；
（3）根据新定义列出关于m，n的方程，解之可得．
【小问1详解】
解：根据题意 ，
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意 ，
转化为 ，
解方程，得 ．
【小问3详解】
解： ；
；
根据题意 恒成立，
即 ，， ，
解得， ， ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出关于 x的方程
和关于m，n的方程．
28. 已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b.且a，b满足 ，点C表示的数c是最
小的正整数，点D表示的数为2，点E表示的数为 ．请回答下面的问题：
（1）请直接写出a，b，c的值： ___________， ___________， ___________．
（2）点A，B同时沿数轴相向匀速运动，A点的速度为每秒3个单位长度，B点的速度为每秒2个单位长
度，运动的时间为t秒．
①当点A到点C的距离与点B到点C的距离相等时，求t的值：
②当A点运动到点D时，迅速以原来的速度返回，B点运动至E点后停止运动，这时点A也停止运动．求
在此过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数．
【答案】（1） ， ，
（2）① 或 ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质和最小的正整数为1即可求解；
（2）①利用运动速度表示出运动后点A与点B表示的数，再根据距离相等列出方程即可求解；②类似①
表示出各数，再求出两点相遇时表示的数即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ， ，
解得， ， ，
c是最小的正整数，故 ，故答案为： ， ， ．
【小问2详解】
的
解：A点 速度为每秒3个单位长度，B点的速度为每秒2个单位长度，运动的时间为t秒，故运动后
点A与点B表示的数分别为 和 ．
①点A到点C的距离为 ，
点B到点C的距离为 ，
根据题意得， ，
解得， 或 ．
②当A点运动到点D之前时， ，
解得， ；
此时两点表示的数为
当A点运动到点D时， ，此时B点运动到 ，
此后点A与点B表示的数分别为 和 ，
，
解得， ；
的
此时两点表示 数为 ；
A，B两点同时到达的点在数轴上对应的数是 或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培
养数形结合的数学思想．．
五、解答题
29. 在某多媒体电子杂志的一期上刊登了正方形雪花图案的形成的演示案．
例：作一个正方形、设每边长为 ，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形，如此连续作
几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））下列步骤：
（1）作一个正方形，设边长为 （如图（1））．此正方形的面积为______；
（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形得到图（2），此
图形的周长为______；
（3）重复上述的作法，图（1）经过第______次分形后得到图（3）的图形．
（4）观察探究上述分形过程中，经过 次分形得到的图形周长是______，面积是______．
【答案】（1）
（2）
（3）2 （4） ，
【解析】
【分析】（1）根据正方形面积回答即可；
（2）根据每条边的位置长度变为原来的2倍可知周长变为原来的2倍回答即可；
（3）根据题意，图（3）是在图（2）的基础上每条边四等分，作一凸一凹的两个边长为原来 的小正方
形得到，从而得解；
（4）通过上面的规律可知周长每经过1次分形周长变为原来的2倍，面积保持不变即可得解．
【小问1详解】解：正方形的面积等于边长的平方，即 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
∵将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 的小正方形得到图（2），
∴每条边的位置长度变为： ，即变为原来的2倍，
∴周长变为原来的2倍．
∵原来正方形的周长是 ，
∴图（2）的周长为： ，
故答案为： ；
【小问3详解】
根据题意可知，图（3）是在图（2）的基础上每条边四等分，作一凸一凹的两个边长为原来 的小正方形
得到，
∴图（1）经过第2次分形后得到图（3）的图形，
故答案为：2；
【
小问4详解】
根据图（1），图（2），图（3）的规律可知每经过1次分形，都是在原来的基础上每条边四等分，作一凸
一凹的两个边长为原来 的小正方形得到，
∴周长每经过1次分形周长变为原来的2倍，面积保持不变，
∴观察探究上述分形过程中，经过 次分形得到的图形周长是 ，面积是 ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查图形类规律问题，掌握相邻两图之间的周长与面积关系是解题的关键．30. 如果两个方程的解相差k，k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．例如：
方程 是方程 的“2—后移方程”．
（1）若方程 是方程 的“a—后移方程”，则 ___________；
（2）若关于x的方程 是关于x的方程 的“2—后移方程”，求代数式
的值：
（3）当 时，如果方程 是方程 的“3—后移方程”，求代数式
的值．
【答案】（1）1 （2）71
（3）
【解析】
【分析】（1）分别求出两个方程的解即可得到答案；
（2）分别求出两个方程的解，再根据“2—后移方程”的定义求出m的值即可得到答案；
（3）分别求出两个方程的解，再根据“2—后移方程”的定义求出 ，然后把
整体代入所求代数式求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴方程 是方程 的“1—后移方程”，
∴ ，故答案为：1；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵关于x的方程 是关于x的方程 的“2—后移方程”，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵方程 是方程 的“3—后移方程”，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意所给的“后移方程”的定义是解题
的关键．
31. 若一个两位数的十位和个位上的数字分别为x和y，我们可将这个两位数记为 ．同理，一个三位数
的百位、十位和个位上的数字分别为a，b和c．则这个三位数可记为 ．
（1）若 ，则 ___________；若 ，则 ___________．
（2） 一定能被___________整除， 一定能被___________整除．（请从大于3的整数中选
择合适的数填空）
（3）任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同且不为零，把这个三位数的三个数字按大小重
新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新
数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡
普雷卡尔黑洞数”．
①“卡普雷卡尔黑洞数”是___________．
②若设三位数为 （不妨设 ），试说明其可产生“卡普雷卡尔黑洞数”．
【答案】（1）56；
（2）11；9； （3）①495；②说明见解析
【解析】
【分析】（1）按照所给定义进行求解即可
（2）按定义可得 ， 据此求解即可；
（3）①选取一个数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可；②按定义式子化简，注意条件
的应用，化简到出现循环数495即可．
【小问1详解】
解：由题意得 ， ，故答案为：56； ；
【小问2详解】
解：∵ ，且 为整数，
∴ 也是整数，
∴ 一定能被11整除，即 一定能被11整除；
∵ ，且 为整数，
∴ 也是整数，
∴ 一定能被9整除，即 一定能被9整除；
故答案为：11；9；
【小问3详解】
解：①若选的数为325，
则 ，以下按照上述规则的性质计算：
，
，
，
…，
∴“卡普雷卡尔黑洞数”是495．
故答案为：495；
②当任选的三位数为 时，第一次运算后得：
，
结果为99的倍数，
∵ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，496，594，693，792，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
，
，
，
，
，
，
…
∴可以得到“卡普雷卡尔黑洞数”是495．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，有理数加减计算，正确理解题意是解题的关键．
