文档内容
北京师大附中 2021—2022 学年（上）初一期中考试数学试卷
第Ⅰ卷（主卷部分，共100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义可得结果．
【详解】因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键．
2. 北京大兴国际机场于2019年9月25日正式投入使用，新机场的运行将进一步满足北京地区的航空运输
需求，增强国家民航竞争力，促进南北城区的均衡发展和京津冀协同发展.根据规划，2022年大兴国际机
场客流量将达到4500万人次．4500用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】 ．
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
3. 若 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
【答案】D【解析】
【分析】根据方程的解的定义，将 代入方程得到关于 的一元一次方程，解方程求解即可．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的解，
∴
解得
故选D
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握方程的解的定义是解题的关键．使方程左
右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一进行计算即可．
【详解】A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故正确；
D. ，故错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查去括号，合并同类项，掌握去括号，合并同类项的法则是关键．
5. 点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动5个单位长度到点B，此时
点B表示的数是（ ）
A. 2 B. -2 C. 8 D. -8
【答案】A
【解析】
【分析】 点用数表示为 ，则 点用数表示为 ，计算求解即可．【详解】解：由题意知 点位置用数表示为 ，则 点位置用数表示为
故选A．
【点睛】本题考查了数轴上点的表示与有理数的加法．解题的关键在于正确的用数表示点的位置．
6. 下列等式变形正确的是
A. 如果a＝b，那么a＋3＝b－3 B. 如果3a－7＝5a，那么3a＋5a＝7
C. 如果3x＝－3，那么6x＝－6 D. 如果2x＝3，那么x＝
【答案】C
【解析】
【分析】根据等式的性质对选项逐一进行判断即可得出答案.
【详解】解：A. 等式的左右两边一个加了3一个减去3，等式不成立，A错误；
B. 等式左右两边同时加7，等式成立，但是左边加5a右边减5a，等式不成立，B错误；
C. 等式两边同时乘2，等式成立，C正确；
D. 等式左边除2，右边乘 ，等式不成立，D错误；
故答案选C.
【点睛】本题考查等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键，注意等式两边同时加减同一个数或式子，
等式仍然成立，等式两边同乘或同除一定是不为0的数或式子，等式才成立，注意区分.
7. 下列比较两个有理数的大小正确的是（ ）
A. ﹣3＞﹣1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据负数的绝对值越大，这个数反而越小，可以对A、C、D进行判断；根据同分子分数大小比较
的方法进行比较即可作出判断．
【详解】A．﹣3＜﹣1，所以A选项错误；
B． ＜ ，所以B选项错误；
C．﹣ ＞﹣ ，所以C选项错误；D．﹣ ＞﹣ ，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．
8. 下列各式中，去括号正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据去括号法则依次对各项后化简后即可解答．
【详解】解：由x＋2(y－1)＝x＋2y－2可得选项A错误；
由x－2(y－1)＝x－2y＋2可得选项B、C错误；D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了去括号法则和乘法的分配律等知识点，注意：①括号前是“+”号，把括号去掉，括
号内的各项都不变，括号前是“-”号，把括号去掉，括号内的各项都变号；②m（a+b）=ma+mb，不等
于ma+b．
9. 把方程 去分母正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得将方程两边同时乘以6即可去掉分母，据此进一步计算判断即可．
【详解】原方程两边同时乘以6可得： ．
故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握相关方法是解题关键．
10. 已知 为非负整数，且关于 的方程 的解为正整数，则 的所有可能取值为（ ）
A. 2，0 B. 4，6 C. 4，6，12 D. 2，0，6
【答案】A
【解析】
【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k的值即可．
【详解】解：方程去括号得：3x−9＝kx，
移项合并得：（3−k）x＝9，
解得：x＝ ，
由x为正整数，k 为非负整数，
得到k＝2，0，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
二、填空题（每空2分，共20分）
11. 绝对值等于2的数是_____．
【答案】±2
【解析】
【分析】根据绝对值的意义求解．
【详解】解：∵|2|＝2，|﹣2|＝2，
∴绝对值等于2的数为±2．
故答案为±2．
【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．
12. 在一次立定跳远测试中，合格的标准是2.00m，小明跳出了2.12m，记为+0.12m；小敏跳出了1.96m，
记为________m．
【答案】
【解析】
【分析】根据正负数的意义，有理数的减法即可求解，用1.96m减去标准值即可．
【详解】解：∵合格的标准是2.00m，小敏跳出了1.96m，
∴故答案为：
【点睛】本题考查了正负数的意义，有理数的减法，理解正负数的意义是解题的关键．
13. 如果单项式 与 是同类项，那么 的值是_________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出
的值，代入计算即可．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了同类项，以及有理数加减法，绝对值，根据同类项的定义求出 的值的值是关键．
14. 用四舍五入法将3.886精确到0.01，所得到的近似数为_______．
【答案】3.89
【解析】
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】解：3.886≈3.89（精确到0.01）．
故答案为3.89．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确
到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字
都是这个数的有效数字．
15. 已知多项式 是三次三项式，则（m＋1）n＝___．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多项式的项、次数的定义可得这个多项式中不含 ，且 的次数为3，由此可得出的值，再代入计算即可得．
【详解】解：由题意得： ，即 ，
则 ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了多项式的项和次数，掌握理解定义是解题关键．
16. 若(x＋3)2与|y－2|互为相反数．求xy的值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据非负数的性质进行计算即可．
【详解】∵(x+3)2与|y−2|互为相反数，
∴(x+3)2+|y−2|=0，
∴x+3=0，或y−2=0，
∴x=−3，y=2，
∴xy=(−3)2=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是
解题的关键．
17. 用“ ”定义新运算：对于任意有理数a，b，当 时，都有 ；当 时，都有
．那么， ______， _______．
【答案】 ①. 24 ②.
【解析】
【分析】先判断两个数的大小，再根据题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵2＜6，
∴ 22×6
=4×6
=24；∵ ＞ ，
∴ ×
= ×9
= ，
故答案为：24； ．
【点睛】此题主要考查了求代数式的值，解题的关键是正确理解题目规定的运算法则，然后把数据代入其
中计算即可．
18. 我们知道， ， ， ，……因此关于 的方程
的解是_________；关于 的方程 的解是
_________（用含 的式子表示）．
【答案】 ①. ②. （或 ）
【解析】
【分析】（1）根据题意将方程的左边变形，进而即可求解；
（2）同（1）的方法解一元一次方程即可
【详解】（1）
可化为：
即解得
（2）
即
解得 （或 ）
【点睛】本题考查了解一元一次方程，仿照例题解决问题是解题的关键．
三、计算题（每小题4分，共16分）
19.
【答案】
【解析】
【分析】根据有理数的加法进行计算即可
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
20. 计算：
【答案】2
【解析】
【分析】先将带分数化为假分数，小数化为分数形式，除法运算变为乘法运算，再进行分子分母约分计算
即可.
【详解】原式
【点睛】本题考查的知识点是有理数的混合运算，分数混合运算顺序同整数混合运算顺序相同;整数的运算律同样适用于分数.
21. 计算： ．
【答案】-6
【解析】
【分析】由于18是2，6，3的公倍数，可利用乘法分配律进行计算，使计算简便．
【详解】解：原式=
=
= ．
【点睛】此题考查了有理数的乘法法则，适时运用乘法分配律是解题的关键．
22. 计算:
【答案】4.5
【解析】
【详解】试题分析：先根据绝对值的规律化简，再根据有理数的加法法则计算即可.
原式=
考点：有理数的混合运算
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
四、化简求值（每小题4分，共12分）
23. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据合并同类项进行化简即可．
【详解】解：原式【点睛】本题考查了整式 的计算，正确的计算是解题的关键．
24. 先化简，再求值：已知 ，求 的值．
【答案】 ；
【解析】
【分析】先根据去括号法则去括号，再合并同类项，最后将 整体代入即可求解．
【详解】解：
原式
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，掌握去括号法则是解题的关键．
25. 已知x2﹣2y﹣5＝0，求3（x2﹣2xy）﹣（x2﹣6xy）﹣4y的值．
【答案】10
【解析】
【分析】首先去括号，合并同类项，化简后，再根据条件可得x2-2y=5，再代入求值即可．
【详解】解：
.
因为 ，
所以 .
所以原式=2( x2-2y)=10.
的
【点睛】此题考查了整式 加减-化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．五、解方程（每小题4分，共12分）
26. ．
【答案】
【解析】
【分析】根据“移项，合并同类项，化系数为1”的步骤解一元一次方程即可．
【详解】
解得
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
27. ．
【答案】x=27
【解析】
【分析】按照一元一次方程的解题步骤，仔细求解即可．
【详解】∵ ，
去括号，得
4x-4-60+3x=5x-10，
移项，得
4x+3x-5x=60+4-10，
合并同类项，得
2x=54，
系数化为1，得
x=27．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
.
28 ．
【答案】x= -9
【解析】【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1五个步骤仔细求解即可．
【详解】∵ ,
去分母，得
5（x-3）-2（4x+1）=10，
去括号，得
5x-15-8x-2=10，
移项，得
5x-8x=10+15+2，
合并同类项，得
-3x=27，
系数化为1，得
x= -9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的五步骤解法是解题的关键．
六、探究题（每小题5分，共10分）
29. 对于任意有理数 ， ，定义运算： ，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，
例如， ； ．
（1）计算 _______；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“ ”，使得 ，写出你定义的运算：
_______（用含m，n的式子表示）．
一般情况下，对于数 和 ， ，但是对于某些特殊的数 和 ， ．我们把这
些特殊的数 和 ，称为“理想数对”，记作 ．例如当 ， 时，有 ，那么
就是“理想数对”．① 是不是“理想数对”?_______；（填“是”或“不是”）
②如果 是“理想数对”，那么 ________；
（3）若 是“理想数对”，求 的值．
【答案】（1）-4； （2）m（n+1）；①是；②-8；
（3）-16
【解析】
【分析】（1）根据新定义，计算-2×（-2+ ）-1即可；
（2）根据 ，定义 m（n+1）；
①验证等式是否成立；
②构造方程 ，解方程即可；
（3） 是“理想数对”，确定m，n之间的关系，化简已知代数式，代入求值即可．
【小问1详解】
∵ ，
∴ -2×（-2+ ）-1= -4，
故答案为：-4；
【小问2详解】
∵ ，
∴ m（n+1）；
①∵ ， 时，有 ，
∴ 是“理想数对”，
故答案为：是；②∵ 是“理想数对”，
∴ ，
解得x=-8；
【小问3详解】
∵ 是“理想数对”，
∴ ，
解得n= -4m，
∵
=
=
= ，
当n= -4m时，
原式=
= -16．
【点睛】本题考查了实数的新定义，一元一次方程的解法，代数式的化简求值，正确理解新定义，熟练掌
握一元一次方程的解法，熟练进行化简求值是解题的关键．
第Ⅱ卷（附加卷部分，共20分）
七、解答题：（本大题共3道小题，第1小题6分，第2小题7分，第3小题7分，共20
分）
30. 如图，在数轴上有A，B两点，且AB＝8，点A表示的数为6；动点P从点O出发，以每秒2个单位长
度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时
间为t秒．（1）写出数轴上点B表示的数是 ；
（2）当t＝2时，线段PQ的长是 ；
（3）当0＜t＜3时，则线段AP＝ ；（用含t的式子表示）
（4）当PQ＝ AB时，求t的值．
【答案】（1）14；（2）4；（3）6﹣2t；（4）t的值是4或8
【解析】
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出数轴上点B表示的数；
（2）先求出当t=2时，P点对应的有理数为2×2=4，Q点对应的有理数为6+1×2=8，再根据两点间的距
离公式即可求出PQ的长；
（3）先求出当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，再根据两点间的距离公式即可求出AP的长；
（4）由于t秒时，P点对应的有理数为2t，Q点对应的有理数为6+t，根据两点间的距离公式得出PQ=|2t
﹣(6+t)|=|t﹣6|，根据PQ AB列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）6+8=14．
故数轴上点B表示的数是14；
（2）当t=2时，P点对应的有理数为2×2=4，Q点对应的有理数为6+1×2=8，
8﹣4=4．
故线段PQ的长是4；
（3）当0＜t＜3时，P点对应的有理数为2t＜6，
故AP=6﹣2t；
（4）根据题意可得：
|t﹣6| 8，
解得：t=4或t=8．
故t的值是4或8．
【点睛】本题考查了一元一次方程 的应用和数轴，解答本题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之
间的关系，（4）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
31. 数学家欧拉最先把关于 的多项式用记号 来表示，例如 ，并把 常数 时
多项式的值用 来表示，例如 时多项式 的值记为 ．（1）若规定 ，
① 的值是_________；
②若 ， 的值是_________；
（2）若规定 ， ．
①有没有能使 成立的 的值，若有，求出此时 的值，若没有，请说明理由，
②直接写出 的最小值和此时 满足的条件．
【答案】（1）①-5；②5，
（2）①有，x= ，见解析；② 的最小值是5，-3≤x≤2
【解析】
【分析】（1）①当x=-1时，计算 ；
②计算 ，求得x即可；
（2）① 或 ，解方程即可；
② 表示动点x到2和-3的距离和，按照x＞2，x＜-3，-3≤x≤2分别计算比较结果即可．
【小问1详解】
（1）①∵ ，
∴当x=-1时， =-5，
∴ 的值是-5，
故答案为：-5；
②∵ ，
∴ =7，
∴x=5，故答案为：5；
【小问2详解】
①有，x= ，理由如下：
∵ ， ，且 ，
∴ ，无解；
或 ，
解得x= ，
故当x= 时， ；
②设动点P表示的数为x，点A表示的数是-3，点B表示的数2，
则 表示数轴上动点P到点A和点B的距离和即PA+PB，
当x＞2时，如图所示，
PA+PB＞AB=2-（-3）=5；
当x＜-3时，如图所示，
PA+PB＞AB=2-（-3）=5；
当-3≤x≤2时，如图所示，
，
PA+PB=x+3+2-x=5=AB=2-（-3）=5；
故当-3≤x≤2时， 有最小值，且为5．
【点睛】本题考查了求函数值，自变量的值，解方程，绝对值的化简，数轴上的动点问题，熟练掌握绝对值的化简，数轴上的动点问题是解题的关键．
32. 小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若 是关于 的一元一次方程
的解， 是关于 的方程的所有解的其中一个解，且 满足 ，则称关
于 的方程为关于 的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程 的解是
，方程 的所有解是 或 ，当 时， ，所以 为一
元一次方程 的“友好方程”
（1）已知关于的方程：① ，② ，哪个方程是一元一次方程 的“友好
方程”？请直接写出正确的序号是_________．
（2）若关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“友好方程”，请求
出 的值．
（3）如关于 的方程 是关于 的一元一次方程 的“友好
方程”，请直接写出 的值．
【答案】（1）②；（2）95或97；（3）16
【解析】
【分析】（1）先求出一元一次方程 的解，再解方程 和 ，根据“友好
方程”的定义去判断；
（2）解出方程 的解，一元一次方程 的解是 ，分类讨论，令
，求出a的值；（3）一元一次方程 解得 ，由 得
，把它代入关于y的方程即可求出结果．
【详解】解：（1）一元一次方程 的解是 ，
方程 的解是 ， ，故不是“友好方程”，
方程 的解是 或 ，当 时， ，故是“友好方程”，
故答案是：②；
（2）方程 的解是 或 ，
一元一次方程 的解是 ，
若 ， ，则 ，解得 ，
若 ， ，则 ，解得 ，
综上，a的值是95或97；
（3） ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∵分母m不能为0，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程
的方法求解．
