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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三第一学期 9 月学科适应性练习
数 学
（清华附中上地学校初21级）
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 下列方程中，一定为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可：含有一个未知数，且未知数的最高次为 2的整式方程叫
做一元二次方程
【详解】解：A、 ，含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题
意；
B、当 时，方程 不是一元二次方程，不符合题意；
C、 ，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、 ，是一元二次方程，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 把抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【详解】把抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的平移及抛物线解析式的变化规律：左加右减、上加下减．
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的
3. 下列图形绕某点旋转90°后，不能与原来图形重合 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转对称图形的概念进行解答即可得.
【详解】A、绕它 的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
B、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不符合题意；
D、绕它的中心旋转120°才能与原图形重合，故本选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能
与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．熟知一些常见图形的旋转特性是解题的关键.
4. 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据CE=2，DE=8，得出直径CD=10，从而得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得
BE．
【详解】解：∵CE=2，DE=8，
∴CD=10，
∴OB=OC=5，
∴OE=OC-CE=5-2=3，
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∵AB⊥CD，
∴在△OBE中，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及圆的基本性质，熟练掌握同圆半径相等是解答此题的关键．
5. 用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次项系数为1的一元二次方程的配方步骤：①将常数项移到等于号的右边，②两边同时加
上一次项系数的一半的平方，转化成完全平方式即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方的步骤是解答本题的关键．
6. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
…
x 0 1 2 3 ……
…
…
y 5 0 m ……
…
那么m的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象的性质．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次
函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
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【详解】解：由上表可知函数图象经过点 和点 ，
∴对称轴为 ，
∴当 时的函数值等于当 时的函数值，
∵当 时， ，
∴当 时， ．
故选：C．
7. 有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固
定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为
（ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
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∴∠BAD＝30°
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
8. 抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点 和 之间，其
部分图象如图，则以下结论：① ；②图象上有两点 和 ，若 ，且
，则一定有 ；③ ；④若方程 没有实数根，则 ；正
确的是()
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据抛物线的性质判断 、 、 的正负性，据此解答即可；②由抛物线开口向下，对称轴为
， ， ，得 在 的右侧，分 与 两种情况讨论求解即
可；③由抛物线 与 轴的另一个交点在点 和 之间，得 ，根
据抛物线的对称轴 ，可得 ，然后根据 ，判断出 ，据此判断即
可；④根据 的最大值是 ，可得方程 没有实数根，则 ，据此判
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断即可．
【详解】解∶ 抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点 和
∵
之间，抛物线开口向下，
，抛物线 与 轴的另一个交点在点 和 之间，抛物
∴
线开口向下，
抛物线 与 轴的交点在 轴的正半轴，
∴
，
∴
，故①错误；
∴
抛物线开口向下，对称轴为 ， ， ，
∵
在 的右侧，
∴
当 时，
在抛物线 的右侧， 随 的增大而减小，
∴
，
∵
，
∴
当 时，
，
∵
关于对称轴 的对称点为 ，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
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综上所述，故②正确；
抛物线的对称轴 ，
∵
，
∴
抛物线 与 轴的另一个交点在点 和 之间，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
故③正确；
的最大值是 ，
∵
方程 没有实数根，则 ，
∴
结论④正确．
综上，可得正确结论的序号是∶②③④．
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握二次函
数的图像及性质以及二次函数与一元二次方程的关系．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 写出有一个根为0的一个一元二次方程_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据一元二次方程解的定义即可求解．
【详解】解：有一个根为0的一个一元二次方程 ．
故答案为：
10. 如图，A，B，C三点在⊙O上， ，则 _______°．
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【答案】120
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．先作出弧 所对的圆周角 ，根据圆周角定
理得到 ，然后根据圆内接四边形的性质求 的度数．
【详解】解：如图，先作出弧 所对的圆周角 ，
为弧 所对的圆周角，
，
，
．
故答案为：120．
11. 已知二次函数 （ ）的图象如图所示，那么 _______0．（用 填
空）
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程 关的系，熟记“如果二次函数与x轴有两个交点那么一元二
次方程有两个根”是解题关键．由此即可求解．
【详解】解：由抛物线与x轴有两个交点，
一元二次方程 有两个根，
，
故答案为： ．
12. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△ABC 的位置，使得点C、
1 1
A、B 在同一条直线上，那么旋转角的度数是______．
1
【答案】125°
【解析】
【分析】先利用互余计算出∠BAC=90°﹣∠B=55°，再根据旋转的性质得到∠BAB 等于旋转角，根据平角
1
的定义得到∠BAB=125°，所以旋转角的度数为125°．
1
【详解】∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=55°．
∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△ABC 的位置，使得点C、A、B 在同一条直线上，∴∠BAB 等于
1 1 1 1
旋转角，且∠BAB=180°﹣55°=125°，∴旋转角的度数为125°．
1
故答案为125°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等．
13. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实根，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有
两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．根据根的判别
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式的意义得到 ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解： 有两个相等的实数根，
，
解得 ．
故答案为： ．
14. 基市2021年8月山区森林覆盖率为 ，在响应“清洁地球从我做起”号召，鼓励市民积极参与植
树造林活动之后，在2023年8月山区森林覆盖率达到 ，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，
则可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据
题意可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为： ．
15. 点 ， 都在二次函数 的图象上．若 ，则m的取值范围为
_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．根据
列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解∶ 点 都在二次函数 的图象上，
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即
．
故答案为： ．
16. 四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中 ， ，c为整
数， ．
（1）若 ，则A，B，C中与M距离最小的点为______；
（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有______个．
【答案】 ①. A ②. 3
【解析】
【分析】（1）若 ， ， ，求出m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出
与M距离最小的点为A；
（2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此 也随之变化．点C
与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个．
【详解】解：（1）当 ， ， 时， ，
， ， ，
所以A，B，C中与M距离最小的点为A．
故答案为：点A．
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（2） ．
①当 时， ． ， ， ，此时 最小；
②当 时， ． ， ， ，此时 最小；
③当 时， ． ， ， ，此时 最小；
所以符合条件的点C有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当
数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19～24题每题5分，第25～26题每6分，
第27～28题每题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“直接开方法和十字相乘法”是解题的关键．
（1）利用直角开方法求解即可；
（2）利用十字相乘因式分解，进而即可求解．
【小问1详解】
解：方程左右两边同时除以4得：
，
方程左右两边同时开方得：
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，
或 ；
【小问2详解】
方程因式分解得：
或
解得∶ 或 ．
18. 如图， 三个顶点分别为 ， ， ．
\
（1）请画出 绕点B逆时针旋转 后的 ；
（2）请画出 关于原点对称的图形 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换．
（1）分别作出A，C的对应点 即可；
的
（2）分别作出A，B，C 对应点 即可．
【小问1详解】
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解： 如图所示；
【小问2详解】
解： 如图所示．
．
19. 已知m是方程 的根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值．由题意易得 ，然后把代
数式进行化简，最后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
20. 如图， 是等边三角形，点 E在 边上，连接 ，将 绕点 B逆时针旋转60°得到 ，
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连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的周长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质和判定和旋转的性质，证明 ，即可得解；
（2）由 ，结合（1）的结论，等线段转化，得到 的周长．
【小问1详解】
证明：∵ 是等边三角形，
∴ ．
∵ 是由 绕点 B逆时针旋转 60°得到，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ 和 都是等边三角形，
∴
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∴ 的周长为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质及等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握并应用旋转的性质求
解．
21. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的图象经过点 ， ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）结合函数图象，直接写出 时，x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不
等式的关系.
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）令 求出x的值，即可求解.
【小问1详解】
解：将点 代入 得：
，
解得：
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.
【小问2详解】
令 即 ，
解得： ，
抛物线开口向上，
时， 。
22. 如图， 为 的直径， 为弦，点D为 的中点，过点D作 于点F，交 于点
G．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求圆的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利
用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接 ， ，由 是半圆 的直径，可得 ，从而可得 ，
再由 ，可得 ，进一步可得 ，再由 是 的中点，得出
，从而得出 ，最后由等腰三角形的判定可得结论；
（2）连接 ．首先证明 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程
即可解决问题．
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【小问1详解】
证明：如图，连接 ， ，
是半圆 的直径，
，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
；
【小问2详解】
如图，连接 ．
，
， ，
点 是 的中点，
，
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，
，
，
设 ，
在 中，则有 ，
解得 ，
圆的半径长为 ．
23. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2） 的值为 或3．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论
的思想解题，是解此题的关键．
（1）先计算出根的判别式的值得到 ，然后根据根的判别式的意义即可得
到结论；
（2）先解方程得出 ， ，再分两种情况：当 时，当 时，分别列出方程，
解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：
，
．
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∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解： ，
∴ ，
解得： ， ，
∴当 时， ，
解得： ；
当 时， ，
解得： ，
综上所述， 的值为 或3．
24. 在 中， ，D是 的中点，E是 的中点，过点A作 交 的延
长线于点F．
（1）证明四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）菱形 的面积为4．
【解析】
【分析】（1）证明 ，可得 ，再由D是 的中点，即 ，根据
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可证四边形 是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得 ，即可得
出结论；
（2）连接 ，证明四边形 是平行四边形，可得 ，再利用菱形的面积公式即可计算
出结果．
【小问1详解】
证明：∵ ，
，
∵E是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
，
，
，
∵D是 的中点，
，
，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，D是 的中点，
∴在 中， ，
∴平行四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：连接 ，
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∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
，
又∵四边形 是菱形， ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判
定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
25. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度 为 ．灌溉车喷出水的上、下边缘可以分
别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看作为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度
．记喷出的水与喷水口的水平距离为 ，上边缘距地面的高度为 ，下边缘距地面的高
度为 ．测量得到如下数据：
0 1 2 3 4 5 6
2 0
1.
0
5
（1）在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出上边缘函数的图像；
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（2）结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程 为______m，并求上边缘抛物线的函数
解析式；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离 的
取值范围为______．
【答案】（1）见解析 （2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）描点，连线即可；
（2）直接由函数图像以及表格可得 最大值，根据待定系数法求上边缘抛物线解析式即可；
（3）根据 ，求出点 的坐标，利用增减性可得最大值和最小值．
【小问1详解】
解：如图即为所作；
【小问2详解】
解：根据题意可得最大射程 ，
由表格可知，当 和 时，函数值均为 ，
∴上边缘抛物线的顶点坐标为 ，
设上边缘抛物线的函数解析式为 ，
将点 代入 中，
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得： ，
解得 ，
∴上边缘抛物线的函数解析式为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
∵ ，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
当 时， 随 增大而减小，
当 时， 随 增大而增大，且 时， ，
∴当 时，要使 ，则 ，
∵ ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴ 的最大值为 ，
再下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是 ，
∴ 的最小值为 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次
函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
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26. 已知地物线 （ ）．
（1）若抛物线顶点为 ，并且经过点 ，求该抛物线的函数解析式；
（2）点 ， 都在抛物线上，且 ，若对于 ，都有 ，求h的取值
范围．
【答案】26.
27.
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式；
（1）把 和 代入计算即可；
（2）解不等式 可得 ，对于 都成立，即
可求解．
【小问1详解】
∵抛物线顶点为 ，
∴抛物线解析式可以化成 ，
把 代入 可得 ，
解得 ，
∴该抛物线的函数解析式 ；
【小问2详解】
∵点 ， 都在抛物线 上，
∴ ， ，
∴
∵ ， ，若对于 ，都有 ，
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∴对于 ，都有 ，
即对于 ，都有 ，
∴ ，
解得 ．
27. 如图，等边三角形 ， 与 关于射线 对称，点E为边 上一点．点F在
的延长线上， ．作点F关于直线 的对称点G，连接 ．
（1）依题意补全图形，并证明 ；
（2）用等式表示 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得到 ，则
， ，根据等边对等角得到 ，由
此即可证明 ；
（2）连接 ，由等边三角形的性质得到 ， ，则 ，由轴对称
的性质得到 ，则 ，由此推出点F关于 的对称点G在
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线段 上，再证明 为等边三角形，根据 证明 得出 ，从而得
出结果；
【小问1详解】
证明：补全的图形如图所示；
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ．证明如下：
如图所示，连接 ．
∵ 是等边三角形，
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∴ ， ，
∴ ，
∵ 与 关于射线 对称，
∴ ， ，
∴ ，
又∵点F和点G关于 对称，
∴ ，
∴点F关于 的对称点G在线段 上，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全
等三角形的性质与判定等等，数轴轴对称的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键．
28. 平面直角坐标系xOy中，点P，Q是图形G上任意两个点，其纵坐标分别是 ， ，则称 的
最大值为图形G的“纵测宽”
（1）直接写出下列图形的“纵测宽”
① ，其中 ， ， ；
②如图，以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段EF围成的图形，其中 ， ；
（2）如果抛物线 与经过点 、 的直线围成的图形“纵测宽”是3，求实
数m的值．
【答案】（1）① ；②
（2） 或
【解析】
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【分析】本题考查二次函数的图象与性质；
（1）①根据“纵测宽”的定义求解即可；
②根据“纵测宽”的定义求解即可；
（2）根据“纵测宽”的定义求解，注意分类讨论．
【小问1详解】
① ，其中 ， ，
∴纵坐标最大为 ，最小为 ，
∴ 的“纵测宽”为
②以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分与线段EF围成的图形，其中 ， ；
∴纵坐标最大时在 点，为 ，最小在 点，为 ，
∴这个图形的“纵测宽”为 ；
【小问2详解】
设经过点 、 的直线解析式为 ，
∴ ，解得
∴直线 解析式为 ，
联立 ，整理得
∵抛物线 与直线 能围成的图形，
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∴ ，
解得 或
∴ ，
∴ ，
设直线 与抛物线 交点坐标为 ， ，其中
∵抛物线
∴抛物线 对称轴为 ，顶点坐标为 ，
当 时，抛物线与直线 能围成的图形中，纵坐标最大时在 点，为 ，最小在顶点，为
，
∵抛物线与直线 能围成的图形“纵测宽”是3，
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∴ ，
∴ ，
把 代入 得
解得 ，
把 代入 得
整理得
，
当 时，抛物线与直线 能围成的图形中，纵坐标最大时在 点，为 ，最小在 点，为
，
∵抛物线与直线 能围成的图形“纵测宽”是3，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴ ，
解得 ，
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综上所述，实数m的值为 或 ．
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