文档内容
西北师大附中 2024—2025 学年第一学期期中考试试题
高三数学
命题人：江景审题人：但立平
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
4. 某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量 与时
间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已
知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）
A. 在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B. 在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；C. 在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D. 甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强
5. 在数列 中， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
的
6. 若 ， ，则“ ”是“ ” （ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知平面向量 ， 满足： ，且 在 上 的投影向量为 ，则向量 与向量 的夹
角为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知x、x 分别是函数f（x）=ex+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则 的值为（ ）
1 2
A. B. C. 3 D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在 处的切线方程为C. 在 上单调递增 D. 方程 有两个不同的解
11. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 点 为 图象的一个对称中心
C. 若 在 上有两个实数根，则
D. 若 的导函数为 ，则函数 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列 的前n项和 ，则 ______．
13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函
数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ，
若函数 ，则函数 的值域为___________.
14. 已 知 函 数 ， ， 若 ， ， 则
的
最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 的部分图象如图所示．该图象与 轴交于点，与 轴交于 两点， 为图象的最高点，且 的面积为 ．
（1）求 的解析式及其单调递增区间．
（2）若将 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵
坐标不变），得到函数 的图象．若 ，求 的值．
16. 设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点
P．
（1）求 ；
（2）若 ，BE＝2， ，求 的面积．
17. 已知函数 ．
（1）若 在 上存在极小值，求实数 的取值范围（2）讨论 在 上的零点个数．
18. 已知函数 ，
的
（1）当 时， 恒成立，求a 取值范围；
（2）设 ， 为 上不同的两点 ，设AB两点所在直线的斜率为K，证明：
19. 解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件 的二元一次方程组
.
（1）用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；
（2）通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中 的系数 所唯一确定的一个
数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表 ，由此可以看出 是这个数表
中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称 为该数
表的二阶行列式，记为 .当 ≠0时，二元一次方程组 有唯一一组解.同
样的，行列式 称为三阶行列式，且 = .
（i）用二阶行列式表示方程组 的两个解；（ii）对于三元一次方程组 ，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一
次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.
（3）若存在 ，使得 ，求 的取值范围.西北师大附中 2024—2025 学年第一学期期中考试试题
高三数学
命题人：江景审题人：但立平
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1） ，单调递增区间为 ，
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）答案见解析
【18题答案】
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【19题答案】【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）推导见解析，答案见解析
（3）
