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专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理
以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷
（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型
条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论： 。
例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若
， ，则 的长是 ．
例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点
A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证 ；(2)当 时，求CE
的长．
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例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里
突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相
等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ．
证明：如图1，连接 ．
∵ ， ．∴ ，（根据）
∴ @，∴ ，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是 的弦，P是 上一点， ， ， ，
求 的半径．
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模型2.双割线模型
条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图， 、 是⊙ 的割线， ， ，
.则 = .
例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图， 为 的割线，且 ， 交 于点
C，若 ，则 的半径的长为 ．
例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆
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有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线
定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定
理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过 外一点 作 的两条割线，一条交 于 、 点，另一条交 于 、 点．
求证： ．
证明一：连接 、 ，∵ 和 为 所对的圆周角，∴______．
又∵ ，∴______，∴______．即 ．
研究后发现，如图②，如果连接 、 ，即可得到学习过的圆内接四边形 ．那么或许割线定理
也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接 、 ，
模型3.切割线模型
条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知 是 的切线， 为切点， 与 相交于 ． 两点，
， ，则 的长等于（ )
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A． B．16cm C． D．
例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们
把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线．
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平
面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂
定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充
完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是⊙O外一点， ．求证： ．
例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，
特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，
这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，
被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）
内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例
中项．（比例中项的定义：如果 、 、 三个量成连比例即 ，则 叫做 和 的比例中项）
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(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补
充完整，并写出证明过程．已知：如图， 是圆 外一点， 是圆 的切线，直线 为圆 的割线．
求证： 证明： ．
(2)已知 ， ，则 的长度是 ．
模型4.弦切角模型
条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。
结论：1） ；
2） ；3）
。
例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个
课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的
角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线 与⊙O相切于 点， ， 为⊙O上不同于 的两点，连接 ， ， ．请你写
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出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测 和 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的
方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线 与⊙O相切于 点， ， 为圆上不同于 的两点，连接 ， ， ．
求证： ．（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______．
例2．（2023·河南洛阳·统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给
出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希
腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们
把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹
弧所对的圆周角度数．
(1)如图1， 是 的切线．点C，D在 上．求证： ；(2)如图2， 是 的切线．
连接 交 于点D， 为 的直径．若 ， ， 的半径为5，求 的长．
例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦
切角．如图1， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦， 即为弦切角．
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5
个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定
理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度
数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
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已知：如图2， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦，点 在 上，连接 ， ，
， ．求证： ．证明：
(2)如图3， 为 的切线， 为切点，点 是 上一动点，过点 作 于点 ， 交 于
，连接 ， ， ．若 ， ，求弦 的长．
模型5.托勒密定理模型
条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：
例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptolemy）（公元90
年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒
密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形 内接于 ．求证：
下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作 ，交 于点E．
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∵ ∴ （依据1） ∴ （依据2） ∴ ∴
∵ ∴
∵ ∴ 即 ∴
∴ ∴
∴
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________________________．依据2：________________________________．
（2）如图3，四边形 内接于 ， 为 的直径， ， ，点D为 的中点，
求 的长．
例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 .
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作 ，交 于点 .
∵ ，∴ ，
∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边 外接圆 ，点 为 上一点，且 ， ，求 的长.
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课后专项训练
1．（2023山东九年级课时练习）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC
＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为 ．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线，交小圆于
B、C两点，且图中圆环的面积为 ，则 ．
4．（2023·重庆九年级期末）如图，从圆外一点 引圆的切线 ，点 为切点，割线 交 于点 、
．已知 ， ，则 ．
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4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，过点 引圆的两条割线 和 ，分别交圆于点 和 ，
连结 ，则在下列各比例式中，① ；② ；③ ，成立的有
（把你认为成立的比例式的序号都填上）．
5．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形 内接于圆，对角线交点为E， ，若 、
都是整数，则 的值为 ．
6．（2023·广东珠海·统考一模）如图， 为正 的外接圆， 为劣弧 上任一点， 的延长线和
的延长线交于点 ．(1)求 ；(2)求证： ．
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7．（2023·广东汕头·校考一模）如图， 是 的直径，点C，D在 上， 平分 ，过点D作
的垂线交 的延长线于点E，交 的延长线于点F，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)求证： (3)若 ，求 的长．
8．（2023·云南昆明·统考一模）如图，P是以O为圆心的两个同心圆外一点，过P点的两条直线分别与大
圆O交于A、B、C、D四个点，其中一条直线交小圆O于F点，F为线段 的中点， ，
，垂足为E．(1)求证： 为小圆O的切线；(2)若 ， ，求大圆 的半径．
9．（2023·广东揭阳·统考一模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作
《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他
在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
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如图1，设点 是已知点，圆 是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接 ，作线段 的中点 ；②以 为圆心，以 为半径作圆 ，与圆 交于两点 和 ；
③连接 、 ，则 、 是圆 的切线．(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“ 、 是圆 的切线”的过程；
(3)如图2，连接 并延长交圆 于点 ，连接 ，已知 ， ，求圆 的半径．
10．（2023·山东聊城·九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角
等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题．
（1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝
∠C．（2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D．
（3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的
延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长．
11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 为⊙O的直径，且 ， 与 为圆内的一组
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平行弦，弦 交 于点H．点A在 上，点B在 上， ．
(1)求证： ．(2)求证： ．(3)在⊙O中，沿弦 所在的直线作劣弧 的轴对
称图形，使其交直径 于点G．若 ，求 的长．
12．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，对角线 ， 相交于点E，点
F在边 上，连接 ．(1)求证： ；
(2)当 时，则 ___________； ___________；
___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形 ， 的面积依次为 ，若满足 ，试判断，
的形状，并说明理由．②当 ， 时，试用含m，n，p的式
子表示 ．
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13．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三
种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．
为 上的点，直线 相交于点 ．
证明
情况一点P在⊙O内时，连接 （如图
1）：
情况二点P在⊙O外时 情况三当点A和点B重合时
， ∴
（如图2）： （如图3）
∴ ，即
14．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1， 内接于 ，点D为圆外 上方一点，连接 ，若
．
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(1)求证： 是 的切线；(2)如图2，连接 ．若 ， ， ，求 的半径．
（注：本题不允许使用弦切角定理）
15．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理
米勒（ ）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三
角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1， 与 相切于点A， 与 相交于点B，C．
求证： ．
证明：如图2，连接 ．
∵ 为 的切线，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，……
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任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3， 是 的切线， 经过 的圆心O，且
，割线 交 于点D，E， ，求 的长．
16．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，
带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和
割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P是 外一点， 是 的切线， 是 的一条割线，与 的另一个交点为B，则
．
证明：如图2，连接 、 ，过点C作 的直径 ，连接 ．
∵ 是 的切线，∴ ，∴ ，即 ．……
任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
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(2)如图3， 与 相切于点A，连接 并延长与 交于点B、C， ， ，
，连接 ．① 与 的位置关系是 ．②求 的长．
17．（2022·山西·三模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的
小明尝试给出了该定理的如下证明：
已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C．
求证： ． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO．
∵PA切⊙O于点A，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．……
任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．(2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且 ，
，连接BE，过点C向下作 交PE的延长线于点F，求EF的长．
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18．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
割线定理
如图，A是 外一点，过点A作直线 分别交 于点B，C，D，E，则有 ．
证明：如图，连接 ．
∵ （依据：①________________）， ，
∴ ．∴ ②_________________．
∴ ．
任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充
完整，并给出证明．
已知：如图，A是 外一点，过点A的直线交 于点B，C，__________．求证： ___________．
19．（2023·广东九年级期中）探究问题：
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(1)阅读理解：①如图A，在 所在平面上存在一点P，若它到 三个顶点的距离之和最小，则称
点P为 的费马点，此时 的值为 的费马距离．
②如图B，若四边形 的四个顶点在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定理．
知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边 外接圆的 上任意一点．
求证： ；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻 （其中 均小于
）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在 的外部以 为一边作等边 及其外接圆；
第二步：在 上任取一点 ，连接 ．易知
________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出 的费马点P，则线段______的长度即为 的费
马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的
饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的 （其中
，均小于 ），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总
长度最小，求输水管总长度的最小值．
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20．（2023·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一
个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形 是 的内接四边形；求证：
证明：以C顶点， 为一边作 交 于点E，使得
又∵ ∴ ∴ ∴ ，
又 ，
∴ ∴
∴ ，∴ ∴
∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形 是矩形时，托勒密定理就是
我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若 ，试探究线段 之
间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．
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21．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题：
克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还
论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
如图，正五边形ABCDE内接于 ， ，则对角线BD的长为 ．
22
