文档内容
燕山地区 2022-2023 学年第一学期九年级期末质量监测
数学试卷
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中既是轴对称图形又是中心对称图形
的
是（ ）
A. 心形线 B. 蝴蝶曲线
C. 四叶玫瑰线 D. 等角螺旋线
2. 已知 的半径为 ，点P在 内，则线段 的长度可以是（ ）
A. B. C. D.
的
3. 如图， ， 是 两条切线，A，B是切点，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，将线段 绕点O顺时针旋转 得到线段 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，计划在未来两个月内，将厨余
垃圾的月加工处理量从现在的1000吨提高到1200吨，若加工处理量的月平均增长率相同，设月平均增长
率为x，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写着数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，小乐随
机从中抽取一张卡片，放回摇匀，再随机抽取一张，则小乐抽到的两张卡片上的数字都是奇数的概率是（
）
A. B. C. D.
7. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船
的轮子被水面截得的弦 长 ，轮子的吃水深度 为 ，则该浆轮船的轮子半径为（ ）
A. B. C. D.
8. 下面的三个问题中都有两个变量y与x：
①王阿姨去坡峰岭观赏红叶，她登顶所用的时间y与平均速度x；②用一根长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与矩形的一边长x；
③某篮球联赛采用单循环制（每两队之间都赛一场），比赛的场次y与参赛球队数x，
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条抛物线表示的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 平面直角坐标系中，已知点 与点 关于原点对称，则 ___________．
10. 一元二次方程 的根是___________．
11. 已知某函数当 时，y随x的增大而增大，则这个函数解析式可以是___________．
12. 若关于x的方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数b，c的值：
___________， ___________．
13. 为了认真学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞
赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：
得分（x
分）
人数（人） 10 m n 48
据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于90分的概率为___________
14. 如图， 为 的直径，弦 ，E为 上一点，若 ，则
___________ ．
15. 如图，已知 的半径为3，点A，B，C都在 上， ，则 的长是___________．16. 平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 如图所示，
有下面四个推断：
①二次函数 有最大值；
②抛物线C关于直线 对称；
③关于x的方程 的两个实数根为 ， ；
④若过动点 垂直于x轴的直线与抛物线C和直线l分别交于点 和 ，则当
时，m的取值范围是 ．
其中所有正确推断的序号是___________．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
18. 已知m是方程 的一个根，求代数式 的值．19. 已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将该抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为___________
20. 如图， 中， ， ，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接
，若 ，求线段 的长．
21. 下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线 ，使得 ．
作法：如图，
①在直线l上任取两点A，B，连接 ， ；
的
②分别作线段 ， 垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
③以点O为圆心， 长为半径作圆；
④以点A为圆心， 长为半径作弧，与 在l上方交于点Q；
⑤作直线 ，所以直线 就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．证明：连接 ，
∵点A，B，P，Q都在 上， ，
∴ ___________，
∴ ，（___________）（填推理的依据）
∴ ．
22. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
23. 2022年3月23日“天宫课堂”第二课正式开讲，神舟十三号乘组航天员在中国空间站再次进行太空授
的
课，生动地演示了微重力环境下 四个实验现象（A．太空冰雪实验；B．液桥演示实验；C．水油分
离实验；D．太空抛物实验），神奇的太空实验堪称宇宙级精彩！为加深同学们的印象，某校团委组织了
太空实验原理讲述的活动．
（1）小宇从四个实验中任意抽取一个进行实验原理讲述，他恰好抽到“A．太空冰雪实验”的概率是
___________；
（2）若小南要从四个实验中随机抽取两个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他恰好
抽到“B．液桥演示实验”和“C．水油分离实验”的概率．
24. 如图， 中， ， 为斜边中线，以 为直径作 交 于点E，过点E作
，垂足为点F．
（1）求证： 为 的切线．
（2）若 ， ，求 的长．25. 如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主
索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物
线．建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔 水平距离为x（单位：m）的地点，主索距桥面的
竖直高度为y（单位：m），则y与x之间近似满足函数关系
小石通过测量获得y与x的几组数据如下：
x（m） 0 4 8 24 32 40 48 64
y（m） 18 14.25 11 3 2 3 6 18
根据上述数据，解决以下问题
（1）主索最低点P与桥面的距离 为___________m
（2）求出主索抛物线的解析式 ；
（3）若与点P水平距离为 处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
26. 在平面直角坐标系 ，已知点 为抛物线 上任意两点，
其中
（1）求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）；
（2）当M，N的坐标分别为 时，求m的值；
（3）若对于 ，都有 ，求m的取值范围，
27. 如图，在 中， ，将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，作 的角平
分线 交 的延长线于点E，连接 ， ．（1）依题意补全图形，并直接写出 的度数；
的
（2）用等式表示线段 ， ， 之间 数量关系，并证明．
28. 对于平面直角坐标系 中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得
，且 ，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”
（1）已知点 ， ，
①在点 中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；
②若点 是点O关于线段 的“旋垂点”，求m的取值范围；
（2）直线 与x轴，y轴分别交于C，D两点， 的半径为 ，圆心为 ，若在 上
存在点P，线段 上存在点Q，使得点Q是点P关于 的一个“旋垂点”，且 ，直接写出t
的取值范围．
