2023届高考数学三轮冲刺保温练卷：椭圆的几何性质
一、选择题（共20小题；）
1. 过点 (3,−2) 且与椭圆 4x2+9 y2=36 有相同焦点的椭圆的标准方程是 ()
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
15 10 152 102 10 15 102 152
x2 y2
2. 已知椭圆的方程为 + =1（m>0）．如果此椭圆的焦点在 x 轴上，那么它的焦距为 ()
16 m2
A. 2√16−m2 B. 2√4−m C. 2√m2−8 D. 2√m−4
3. 椭圆以 x 轴和 y 轴为对称轴，经过点 (2,0)，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的方程为 ()
x2 y2 x2
A. + y2=1 B. + =1
4 16 4
x2 y2 x2 x2 y2
C. + y2=1 或 + =1 D. + y2=1 或 +x2=1
4 16 4 4 4
x2 y2
4. 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的中心为 O，一个焦点为 F，若以 O 为圆心，∣OF∣ 为半
a2 b2
径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是 ()
[√2 ) ( √3] [√3 ) ( √2]
A. ,1 B. 0, C. ,1 D. 0,
2 2 2 2
x2 y2
5. 椭圆 + =1 的焦距为 4，则 m 等于 ()
10−m m−2
A. 4 B. 8 C. 4 或 8 D. 12
1
6. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的
4
离心率为 ()
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
x2 y2 (1 )
7. 设 e 是椭圆 + =1 的离心率，且 e∈ ,1 ，则实数 k 的取值范围是 ()
k 4 2
( 16)
A. (0,3) B. 3,
3
(16 )
C. (0,2) D. (0,3)∪ ,+∞
3
x2 y2
8. 已知椭圆 + =1(a>b>0) 的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF 与 x
a2 b2
∣AP∣
轴垂直，直线 AB 交 y 轴于点 P．若 =3，则椭圆的离心率是 ()
∣PB∣√3 √2 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 3
9. 如图，已知 F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，现以 F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心
1 2 2
并且交椭圆于点 M，N．若过点 F 的直线 M F 是圆 F 的切线，则椭圆的离心率为 ()
1 1 2
√2 √3
A. √3−1 B. 2−√3 C. D.
2 2
10. 已知 F ，F 是椭圆的两个焦点，满足 ⃗M F ⋅⃗M F =0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心
1 2 1 2
率的取值范围是 ()
( 1) ( √2) (√2 )
A. (0,1) B. 0, C. 0, D. ,1
2 2 2
x2 y2
11. 已知直线 l:y=kx 与椭圆 C: + =1(a>b>0) 交于 A，B 两点，其中右焦点 F 的坐标
a2 b2
为 (c,0)，且 AF 与 BF 垂直，则椭圆 C 的离心率的取值范围为 ()
[√2 ) ( √2] (√2 ) ( √2)
A. ,1 B. 0, C. ,1 D. 0,
2 2 2 2
x2 y2
12. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右顶点分别为 A ，A ，且以线段 A A 为直径的
a2 b2 1 2 1 2
圆与直线 bx−ay+2ab=0 相切，则椭圆 C 的离心率为 ()
√6 √3 √2 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
x2 y2
13. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线
a2 b2
l:3x−4 y=0 交椭圆 C 于 A，B 两点．若 ∣AF∣+∣BF∣=4，点 M 到直线 l 的距
4
离不小于 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围为 ()
5
( √3] [√3 ) ( 3] [3 )
A. 0, B. ,1 C. 0, D. ,1
2 2 4 4x2 y2 √2
14. 焦点在 x 轴上的椭圆 + =1(a>0) 的离心率为 ，则 a 等于 ()
a2 3 2
3
A. 6 B. 6+3√2 C. √6 D.
2
x2 y2
15. 椭圆 + =1(a>b>0) 的两顶点为 A(a,0)，B(0,b)，且左焦点为 F，△ABF 是以角
a2 b2
B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为 ()
√3−1 √5−1 √5+1 √3+1
A. B. C. D.
2 2 4 4
16. 与椭圆 9x2+4 y2=36 有相同焦点，且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为 ()
x2 y2 y2 x2 x2 y2
A. + =1 B. +x2=1 C. + y2=1 D. + =1
4 3 6 6 8 5
17. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 F ，F 是
1 2
一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 ∠F PF =60∘ 时，这一对
1 2
相关曲线中椭圆的离心率为 ()
√3 √3 √2 1
A. B. C. D.
3 2 2 2
x2 y2 x2 y2
18. 已知 a>b>0，曲线 C 的方程为 + =1，曲线 C 的方程为 − =1，C 与 C 的
1 a2 b2 2 a2 b2 1 2
2√2
离心率之积为 ，则 C 的渐近线方程为 ()
3 2
A. √3x± y=0 B. x±√3 y=0 C. 3x± y=0 D. x±3 y=0
x2 y2
19. 若双曲线 − =1(a>0,b>0) 与直线 y=√3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是 ()
a2 b2
A. (1,2) B. (1,2] C. (1,√5) D. (1,√5]
20. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ()
1 4 2 3
A. B. C. D.
3 5 5 5
二、填空题（共5小题；）
x2 y2
21. 直线 x−2y+2=0 过椭圆 + =1 的左焦点 F 和一个顶点 B，则椭圆的方程为
a2 b2 1
．
4
22. 焦距是 8，离心率等于 的椭圆的标准方程为 ．
5x2 y2
23. 已知椭圆 G： + =1(0<b<√6) 的两个焦点分别为 F 和 F ，短轴的两个端点分别为
6 b2 1 2
B 和 B ，点 P 在椭圆 G 上，且满足 ∣PB ∣+∣PB ∣=∣PF ∣+∣PF ∣．当
1 2 1 2 1 2
b 变化时，给出下列三个命题：
① 点 P 的轨迹关于 y 轴对称；
② 存在 b 使得椭圆 G 上满足条件的点 P 仅有两个；
③ ∣OP∣ 的最小值为 2．
其中，所有正确命题的序号是 ．
x2 y2
24. 已知椭圆 + =1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，当 m 取最大值时，点 P 的
9 25
坐标是 ．
y2 x2 y2
25. 以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线 − =1 与椭圆 x2+ =1 有相同的焦点；②设
25 9 35
A，B 是两个定点，k 为非零常数，若 ∣⃗PA∣−∣⃗PB∣=k，则动点 P 的轨迹为双曲线
的一支；③设点 A，P 分别是定圆 C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若
1
⃗OQ= (⃗OA+⃗OP)，则动点 Q 的轨迹为圆；其中真命题是 ．（写出所有真
2
命题的序号）
三、解答题（共5小题；）
26. 在下面的坐标系中画出长轴长和短轴长分别为 2 厘米、 1.5 厘米的椭圆的草图．若要把一个
边长分别为 2 米和 1.5 米的矩形木板锯成椭圆形，使它的长轴长和短轴长分别为 2 米、 1.5
米，请用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图．
x2 y2
27. 已知椭圆方程 C: + =1．
m−2 7−m
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）当 m=6 时，若椭圆的左右焦点分别为 F ，F ，直线 l 过椭圆的左焦点 F 并且与椭
1 2 1
圆 C 交于 A，B 两点，求 △ABF 的周长．
2
28. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准
方程．
29. 已知椭圆的中心在原点，两焦点 F ，F 在 x 轴上，且过点 A(−4,3)．若 F A⊥F A，求
1 2 1 2
椭圆的标准方程．x2 y2
30. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 + =1（a>b>0）的左焦点为 F，右顶点为 A，
a2 b2
上顶点为 B．
1 √2
（1）已知椭圆的离心率为 ，线段 AF 中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程．
2 2
（2）已知 △ABF 外接圆的圆心在直线 y=−x 上，求椭圆的离心率 e 的值．答案
1. A
2. A
3. C 【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即有 a=2b，又椭圆经过点 (2,0)，若焦点在 x
x2
轴上，则 a=2，b=1，椭圆方程为 + y2=1；若焦点在 y 轴上，则 a=4，b=2，椭圆方程为
4
y2 x2
+ =1．
16 4
4. A 【解析】由于以 O 为圆心，以 b 为半径的圆内切于椭圆，所以要使以 O 为圆心，以 c 为
√2
半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足 c≥b，则 c2≥b2=a2−c2，所以 2c2≥a2，所以 ≤e<1．
2
5. C
【解析】当焦点在 x 轴上时，10−m>m−2>0，
10−m−(m−2)=4，所以 m=4．
当焦点在 y 轴上时，m−2>10−m>0，m−2−(10−m)=4，所以 m=8．
所以 m=4或8．
6. B 【解析】如图，
b
∣OB∣ 为椭圆中心到 l 的距离，则 ∣OA∣⋅∣OF∣=∣AF∣⋅∣OB∣，即 bc=a⋅ ，
2
c 1
所以 e= = ．
a 2
7. D 【解析】当椭圆焦点在 x 轴上，即 k>4 时，a2=k，b2=4，
√k−4 (1 )
所以 e= ∈ ,1 ，
√k 2
1 k−4 16
所以 < <1，解得 k> ；
4 k 3
当椭圆焦点在 y 轴上，即 0<k<4 时，a2=4，b2=k，
√4−k (1 )
所以 e= ∈ ,1 ，解得 k∈(0,3)．
2 2
(16 )
故实数 k 的取值范围是 (0,3)∪ ,+∞ ．
3故选D．
8. D 【解析】不妨设点 B 在第二象限，如图所示，
∣AP∣ ∣AO∣ c
由 =3，得 =3，即 =3，
∣PB∣ ∣OF∣ a
c 1
所以椭圆的离心率 e= = ，
a 3
故选D．
9. A 【解析】因为过点 F 的直线 M F 是圆 F 的切线，∣M F ∣=c，∣F F ∣=2c，
1 1 2 2 1 2
所以 ∣M F ∣=√3c．
1
由椭圆定义可得 ∣M F ∣+∣M F ∣=√3c+c=2a，
1 2
c 2
可得椭圆离心率 e= = =√3−1．
a 1+√3
10. C
【解析】因为 ⃗M F ⋅⃗M F =0，
1 2
所以 ⃗M F ⊥⃗M F ，
1 2
所以点 M 在以 F F 为直径的圆上，
1 2
又点 M 在椭圆的内部，
所以 c<b，
所以 c2<b2=a2−c2，即 2c2<a2，
c2 1 c √2
所以 < ，即 < ，
a2 2 a 2
又椭圆离心率 e∈(0,1)，
√2
所以 0<e< ．
2
11. C 【解析】由 AF 与 BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，
可得 ∣OA∣=∣OF∣=c，由 ∣OA∣>b，即 c>b，
1
可得 c2>b2=a2−c2，即 c2> a2 ．
2
c
又椭圆离心率 e= 且 e∈(0,1)，
a
√2
所以得 <e<1．
212. A
13. A 【解析】如图所示，设 Fʹ 为椭圆 C 的左焦点，连接 AFʹ，BFʹ，
则四边形 AFBFʹ 是平行四边形，
所以 4=∣AF∣+∣BF∣=∣AFʹ∣+∣AF∣=2a，
所以 a=2，不妨取 M(0,b)，
4
因为点 M 到直线 l 的距离不小于 ，
5
∣−4b∣ 4
所以 ≥ ，解得 b≥1，
√32+(−4) 2 5
c √ b2 √ 1 √3
所以 e= = 1− ≤ 1− = ，
a a2 22 2
( √3]
又 0<e<1，所以椭圆 C 的离心率的取值范围是 0, ．
2
14. C
15. B
【解析】由题可知 △ABF 为直角三角形，其中 ∣AB∣=√a2+b2，∣BF∣=a，
∣AF∣=a+c，由勾股定理，得 ∣AF∣ 2=∣AB∣ 2+∣BF∣ 2，即
(a+c) 2=a2+b2+a2=2a2+a2−c2，整理得 c2+ac−a2=0，两边同除以 a2 得 e2+e−1=0，
−1±√5
所以 e= ．
2
因为 e∈(0,1)，
√5−1
所以 e= ．
2
x2 y2
16. B 【解析】椭圆 9x2+4 y2=36 可化为标准方程 + =1，
4 9
可知焦点在 y 轴上，焦点坐标为 (0,±√5)，
y2 x2
故可设所求椭圆方程为 + =1(a>b>0)，
a2 b2
则 c=√5．又 2b=2，即 b=1，
所以 a2=b2+c2=6，
y2
故所求椭圆的标准方程为 +x2=1．
6x2 y2
17. A 【解析】不妨设椭圆： + =1(a >b >0)，
a2 b2 1 1
1 1
x2 y2
双曲线： − =1(a >b >0)．
a2 b2 2 2
2 2
c
∣F F ∣=2c，∣PF ∣+∣PF ∣=2a ，∣∣PF ∣−∣PF ∣∣=2a ，e = ，
1 2 1 2 1 1 2 2 1 a
1
1 c
e = = ．
2 e a
1 2
在 △PF F 中，由余弦定理得
1 2
4c2=∣PF ∣ 2+∣PF ∣ 2−2∣PF ∣⋅∣PF ∣cos60∘=(∣PF ∣+∣PF ∣) 2−3∣PF ∣∣PF ∣=(∣PF ∣−∣PF ∣) 2+∣PF ∣∣PF ∣
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
所以 16c2=(∣PF ∣+∣PF ∣) 2+3(∣PF ∣−∣PF ∣) 2=4a2+12a2 ，即 4= +3e2 ，
1 2 1 2 1 2 e2 1
1
1
解得
e2=
或
e2=1（舍去），
1 3 1
√3
所以 e = ，
1 3
故选A．
x2 y2 √a2−b2
18. B 【解析】a>b>0，椭圆 C 的方程为 + =1，C 的离心率为： ，
1 a2 b2 1 a
x2 y2 √a2+b2
双曲线 C 的方程为 − =1，C 的离心率为： ，
2 a2 b2 2 a
2√2
因为 C 与 C 的离心率之积为 ，
1 2 3
√a2−b2 √a2+b2 2√2
所以 ⋅ = ，
a a 3
(b) 2 1 b √3
所以 = ，即有 = ，
a 3 a 3
b
C 的渐近线方程为：y=± x，即 x±√3 y=0．
2 a
b
19. B 【解析】双曲线的渐近线方程为 y=± x，
a
因为直线 y=√3x 与双曲线无交点，
b
所以有 ≤√3，即 b≤√3a，
a
所以 b2≤3a2，即 c2−a2≤3a2，即 c2≤4a2，
所以 e2≤4，
所以 1<e≤2．
20. D
【解析】椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，由题，三者成等差数列，则 2×(2b)=2a+2c，即 2b=a+c，
平方得：4b2=a2+c2+2ac，
椭圆内 b2=a2−c2，代入化简得：5c2+2ac−3a2=0，同除 a2 得，
c2 c c
5 +2 −3=0，e= ，则 5e2+2e−3=(5e−3)(e+1)=0，
a2 a a
3 3
e = ，e =−1，椭圆 0<e<1，故 e= ．
1 5 2 5
x2
21. + y2=1
5
【解析】直线 x−2y+2=0 与 x 轴的交点为 (−2,0)，即为椭圆的左焦点，故 c=2．
直线 x−2y+2=0 与 y 轴的交点为 (0,1)，即为椭圆的上顶点，故 b=1．
所以 a2=b2+c2=5，
x2
所以椭圆的方程为 + y2=1．
5
x2 y2 y2 x2
22. + =1 或 + =1
25 9 25 9
{2c=8,
{a=5,
【解析】由题意知 c 4 解得
= , c=4,
a 5
又 b2=a2−c2，
所以 b2=9，
x2 y2
当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为 + =1，
25 9
y2 x2
当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为 + =1．
25 9
23. ①③
24. (−3,0) 或 (3,0)
【解析】记椭圆的两个焦点分别为 F ，F ，
1 2
由题意知 a=5，b=3，∣PF ∣+∣PF ∣=2a=10．
1 2
(∣PF ∣+∣PF ∣) 2
则 m=∣PF ∣⋅∣PF ∣≤ 1 2 =25，
1 2 2
当且仅当 ∣PF ∣=∣PF ∣=5，等号成立，
1 2
即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25．
所以点 P 的坐标为 (−3,0) 或 (3,0)．
25. ①③
【解析】①在双曲线中，c2=a2+b2=25+9=34，在椭圆中，c2=a2−b2=35−1=34，且焦点均在 y
轴上，所以①正确；②由双曲线的定义知，只有当 k<∣AB∣ 时，动点 P 的轨迹才为双曲线的一支，即②错误；
1
③若 ⃗OQ= (⃗OA+⃗OP)，则点 Q 为弦 AP 的中点，由垂径定理可知，OQ⊥AQ，所以动点 Q
2
的轨迹是圆，即③正确；
所以真命题为①③．
26. 略．
{
m−2>0,
9
27. （1） 7−m>0, 得 2<m<7 且 m≠ ．
2
m−2≠7−m,
x2
（2） 当 m=6 时椭圆方程为 + y2=1，所以 a2=4，即 a=2，则 △ABF 周长
4 2
L=AB+AF +BF =AF +BF +AF +BF =4a=8.
2 2 1 1 2 2
28. （方法 1）
x2 y2
若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为 + =1(a>b>0)．
a2 b2
{2a=3×2b,
由题意得 9 0
+ =1,
a2 b2
{a=3,
解得
b=1,
x2
所以椭圆的标准方程为 + y2=1．
9
y2 x2
若焦点在 y 轴上，设方程为 + =1(a>b>0)．
a2 b2
{2a=3×2b,
由题意得 0 9
+ =1,
a2 b2
{a=9,
解得
b=3,
y2 x2
所以椭圆的标准方程为 + =1．
81 9
x2 y2 x2
综上所述，椭圆的标准方程为 + y2=1 或 + =1．
9 81 9
（方法 2）
x2 y2
设椭圆的方程为 + =1(m>0,n>0,m≠n)，
m n{ 9 { 9
=1, =1,
则由题意知 m 或 m
2√m=3×2√n 2√n=3×2√m,
{m=9, {m=9,
解得 或
n=1 n=81,
x2 y2 x2
所以椭圆的标准方程为 + y2=1 或 + =1．
9 81 9
x2 y2
29. 设所求椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)．
a2 b2
设焦点 F (−c,0)，F (c,0)(c>0)．
1 2
因为 F A⊥F A，
1 2
所以 ⃗F A⋅⃗F A=0，
2 2
而 ⃗F A=(−4+c,3)，⃗F A=(−4−c,3)，
1 2
所以 (−4+c)⋅(−4−c)+32=0，
所以 c2=25，即 c=5．
所以 F (−5,0)，F (5,0)，
1 2
所以 2a=∣AF ∣+∣AF ∣=√(−4+5) 2+32+√(−4−5) 2+32=√10+√90=4√10．
1 2
所以 a=2√10，
所以 b2=a2−c2=(2√10) 2 −52=15．
x2 y2
所以所求椭圆的标准方程为 + =1．
40 15
x2 y2 1
30. （1） 因为椭圆 + =1（a>b>0）的离心率为 ，
a2 b2 2
c 1
所以 = ，则 a=2c．
a 2
√2
因为线段 AF 中点的横坐标为 ，
2
a−c √2
所以 = ．
2 2
所以 c=√2，则 a2=8，b2=a2−c2=6．
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1．
8 6
（2） 因为 A(a,0)，F(−c,0)，
a−c
所以线段 AF 的中垂线方程为：x= ．
2
又因为 △ABF 外接圆的圆心 C 在直线 y=−x 上，
(a−c a−c)
所以 C ,− ．
2 2因为 A(a,0)，B(0,b)，
b a( a)
所以线段 AB 的中垂线方程为：y− = x− ．
2 b 2
a−c b a(a−c a)
由 C 在线段 AB 的中垂线上，得 − − = − ，
2 2 b 2 2
整理得，b(a−c)+b2=ac，
即 (b−c)(a+b)=0．
因为 a+b>0，
所以 b=c．
c c √2
所以椭圆的离心率
e= = =
．
a √b2+c2 2
