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2023-2024 学年北京七中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的.
1. 下列ApBp图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
3. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（ ）
A. 20° B. 40° C. 80° D. 70°
4. 已知函数 的图象上有 ， ， 三点，则 的大小关
系（ ）
A. B. C. D.
的
5. 已知二次函数 （m为常数） 图象与x轴的一个交点为 ，则关于x的一元二次方
程 的两个实数根是（ ）
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A. B. C. D.
6. 已知一次函数 和二次函数 部分自变量和对应的函数值如表：
x … -1 0 2 4 5 …
y … 0 1 3 5 6 …
1
y … 0 -1 0 5 9 …
2
当y＞y 时，自变量x的取值范围是
2 1
A. -1＜x＜2 B. 4＜x＜5 C. x＜-1或x＞5 D. x＜-1或x＞4
7. ⊙O的半径为5，弦AB＝8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点个数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
的
8. 下面 三个问题中都有两个变量：
①将一根长为 的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积y与矩形一条边长x；
②赵老师匀速从家走到学校所走的路程y和行走时间x；
③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼成本价为10元/kg，原价为30元/kg，此时日销量为
10kg，当月饼单价每降价1元，每天可以多卖出10kg，月饼利润y与降价x；其中，变量y与变量x之间的
函数关系可以用如图所示的图像表示的（ ）
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 把抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为
_____．
10. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是
____________．
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11. 如图， 分别与 相切于点A，B，连接 ，若 ， ，则 的半径
等于________．
12. 如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，则关于 的不等式
的解集为 __________．
13. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．
14. 如图，将 绕点A顺时针旋转得到 ，若 ， ，则∠C的度数为
_______．
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15. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田
地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：
有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好36平方步，从水池边到
圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设
正方形的边长是x步，则列出的方程是 _____．
16. 在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ．P是第一象限内任意一点，连接 ， ．若
， ，则我们把 叫做点P的“双角坐标”．
（1）点 的“双角坐标”为 _____；
（2）若点P到x轴的距离为1，则 的最小值为 _____．
三、解答题（共68分，第17题6分，第18题4分，第19题4分，第20题5分，第21-24题
6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤
或证明过程.
17. 解方程：
（1） ；
（2） ．
18. 已知二次函数的图像经过 ， ， 三点，求这个函数的表达式．
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19. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， ．
求作：直线BD，使得 ．
作法：如图，
①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
为
②以点O 圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
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∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ______．
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
20. 如图，在 中， 是直径， 是弦，且 于点E， ，求 的半径．
21. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 ，且此方程的两个实数根的差为3，求 的值．
22. 已知二次函数的解析式是 ．
（1）与y轴的交点坐标是_______，顶点坐标是_______．
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线：
x … …
y … …
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（3）结合图象回答：当 时，函数值y的取值范围是_______．
23. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标为 ， ， ，将 绕
原点逆时针旋转 ，得到 ，将 右平移6个单位，再向上平移2个单位得到 ．
（1）画出 和 ；
（2） 经旋转后点A的对应点分别为 ，经平移后点A的对应点为 ， 是 的边
上一点， 经旋转、平移后点P的对应点为 ， 请写出点 ， ， ， 的坐标；
（3）若 直接旋转得到 ，则旋转点M的坐标是______．
24. 如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交 于点D，交 于点E，过点D作
交 的延长线于点F．
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（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
25. 一个滑雪者从山坡滑下，如果不计其他因素，经测量得到滑行距离y（单位：米）与滑行时间x（单位：
秒） 的数据（如下表）：
滑行时间x（秒） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … 58
滑行距离y（米） 0 1.2 2.6 4.4 6.4 8.8 11.4 14.4 17.6 … 2134.4
请解决以下问题：
（1）如下图，在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值描点 ，请你用平滑曲线连接描出的这些点；
（2）当滑雪者滑行3秒时，滑行距离是________米；
（3）下面三个推断：
①曲线上每一个点都代表x的值与y的值的一种对应
②自变量x的取值范围是
③滑行最远距离是2134.4米
所有推断正确的序号是___________
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26. 已知关于x的二次函数 ．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点 ， 在抛物线上，则m_________n；（填“＞”，“＜”或“=”）
（3） ， 是抛物线上的任意两个点，若对于 且 ，都有 ，求t
的取值范围．
的
27. 如图，在等边 中，D，E分别是边 上 点，且 ，点C与点
F关于 对称，连接 交 于G．
（1）连接 ，则 之间的数量关系是_______；
（2）若 ，求 的大小；（用α的式子表示）
（3）用等式表示线段 和 之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，已知圆 和图形 ，将图形 关于直线 对称得到图形 ， 为 上
任意一点， 为圆 上任意一点，将 的最大值称为图形 关于 的“对称长度”．
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（1）若圆 半径为 ；
①在 ， ， 这三个点中，______关于直线 的“对称长度”为 ；
②已知直线 ： ，点 ， ， ， ， ， ，则在
线段 ， ， 中，关于 的“对称长度”为 的是______；
（2）圆 半径为 ，已知点 ， ， ， ， ，
，点 在点 的左侧，直线 从 开始，绕点 顺时针旋转到 ，在 旋转
过程中，求正方形 关于 的“对称长度” 的取值范围．
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