2015年高考数学试卷（理）（湖北）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位， i607的共轭复数为（ ）. A．i B．i C．1 D．1 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）. A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 3．已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）. [来源:学|科|网Z|X|X| K] A．212 B．211 C．210 D．29 4．设X N(, 2)，Y N(, 2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ 1 1 2 2 ）. A．P(Y )P(Y ) 2 1 B．P(X )P(X ) 2 1 C．对任意正数t，P(X t)P(Y t) D．对任意正数t，P(X t)P(Y t) 5．设a ,a ,,a R，n3. 若p：a ,a ,,a 成等比数列； 1 2 n 1 2 n q：(a2 a2 a2 )(a2 a2 a2)(aa a a a a )2，则（ ）. 1 2 n1 2 3 n 1 2 2 3 n1 n A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 1, x0,  6．已知符号函数sgnx0, x0, f(x)是R上的增函数，g(x) f(x) f(ax) (a1)，则  1, x0. A．sgn[g(x)]sgnx B．sgn[g(x)]sgnx C．sgn[g(x)]sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]sgn[f(x)] 第1页 | 共6页1 1 7．在区间[0, 1] 上随机取两个数x,y，记 p 为事件“x y ”的概率， p 为事件“|x y| ”的概 1 2 2 2 1 率， p 为事件“xy ”的概率，则 （ ）. 3 2 [来源:学科网ZXXK] A． p  p  p B． p  p  p 1 2 3 2 3 1 C． p  p  p D． p  p  p 3 1 2 3 2 1 8. 将离心率为e 的双曲线C 的实半轴长a和虚半轴长b (ab)同时增加m (m0)个单位 长度，得到离 1 1 心率为e 的双曲线C ，则（ ）. 2 2 A．对任意的a, b，e e B．当ab时，e e ；当ab时，e e 1 2 1 2 1 2 C．对任意的a, b，e e D．当ab时，e e ；当ab时，e e 1 2 1 2 1 2 9．已知集合A{(x,y) x2  y2 1, x,yZ}，B{(x,y) |x|2,| y|2, x,yZ}，定义集合 AB{(x x ,y  y )(x,y )A, (x ,y )B}，则AB中元素的个数为（ ）. 1 2 1 2 1 1 2 2 A．77 B．49 C．45 D．30 10. 设xR，[x]表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t，使得[t]1，[t2]2，…，[tn]n 同时成 立，则正整数n的最大值是（ ）. A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答 题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题） (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) 11．已知向量OA AB，|OA|3，则OAOB ． x π 12．函数 f(x)4cos2 cos( x)2sinx|ln(x1)|的零点个数为 ． 2 2 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方 向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m. 14．如图，圆C与x轴相切于点T(1, 0)，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），且 AB 2． 第2页 | 共6页（Ⅰ）圆C的标准方程为 ； （Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O:x2  y2 1相交于M,N 两点，下列三个结论： NA MA NB MA NB MA ①  ； ②  2； ③  2 2． NB MB NA MB NA MB 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号） （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的 方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲） 如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线， AB 且BC 3PB，则  . AC 16．（选修4-4：坐标系与参数方程） [来源:学科网ZXXK] 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为  1 xt ,  (sin3cos)0，曲线C的参数方程为   t ( t为参数) ，l与C相交于A , B两点，则 1 yt  t |AB| . 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第3页 | 共6页17．（本小题满分11分） π 某同学用“五点法”画函数 f(x) Asin(x) (0, || )在某一个周期内的图象 2 时，列表并填入了部分数据，如下表： π 3π x 0 π 2π 2 2 π 5π x [来源:学科网] 3 6 Asin(x) 0 5 5 0 [来源:Z§xx§k.Com] （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式； （Ⅱ）将y f(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到 yg(x)的图象. 若yg(x) 5π 图象的一个对称中心为( , 0)，求的最小值. 12 18．（本小题满分12分） 设等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ，等比数列{b }的公比为q．已知b a ，b 2，qd， n n n 1 1 2 S 100． 10 （Ⅰ）求数列{a }，{b }的通项公式； n n a （Ⅱ）当d 1时，记c  n ，求数列{c }的前n项和T ． n b n n n 19．（本小题满分12分） 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角 三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EF PB交 PB 于点F ，连接DE, DF, BD, BE. （Ⅰ）证明：PB平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由； π DC （Ⅱ）若面DEF 与面ABCD所成二面角的大小为 ，求 的值． 3 BC 第4页 | 共6页20．（本小题满分12分） 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨 A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时， 获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品 的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产 A,B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可 获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z （单位：元）是一 个随机变量． （Ⅰ）求Z 的分布列和均值； （Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（本小题满分14分） 一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连 接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN ON 1，MN 3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时， 带动N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在 的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设动直线l与两定直线l :x2y0和l :x2y0分别交于P, Q两点．若直线l 1 2 总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 第5页 | 共6页y 图1 图2 22．（本小题满分14分） N 1 已知数列{a }的各项均为正数，b n(1 )na (nN )，e为自然对数的底数． n D On n n x 1 （Ⅰ）求函数 f(x)1xex的单调区间，并比较(1 )n与e的大小； n M b bb bbb bb b （Ⅱ）计算 1 ， 1 2 ， 1 2 3 ，由此推测计算 1 2 n 的公式，并给出证明； a aa aa a aa a 1 1 2 1 2 3 1 2 n 1 （Ⅲ）令 ，数列{a }，{c }的前n项和分别记为S ,T , 证明：T eS . c (aa a )n n n n n n n n 1 2 n 第6页 | 共6页