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黔南州 2025 届高三年级第一次模拟考试
数学
注意事项：
1、本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2、答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上.
3、选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上
对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， .若 ，则 （ ）
A． B． C． D．12
3．样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．22
4．曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
5．若 为圆 上的动点，则点 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．三次函数 的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
8．通常用24小时内降水在平地上的积水厚度（单位：mm）来判断降雨量的大小，如下表：
降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨
积水厚度（mm）
某同学用如图所示的圆台形容器接了24小时雨水，则这24小时内降雨的等级是（ ）
A．中雨 B．大雨 C．暴雨 D．大暴雨
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 .下列说法正确的是（ ）
A．数列 为等差数列 B．若 ， ，则
C．数列 为等比数列 D．若 ，则数列 的公比为2
10．函数 的部分图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．函数 在区间 上单调
B．函数 在区间 上有两个极值点
C．函数 的图象关于点 中心对称
D．函数 的图象与直线 在区间 上有两个公共点
11．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点.若抛物线 在点 ，
处的切线的斜率分别为 ， ，且抛物线 的准线与 轴交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为4
B．若 ，则
C．若 ，则直线 的方程为
D．直线 的倾斜角 的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 ___________.
13．二项式 的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）
学科网（北京）股份有限公司14．已知集合 为不超过 的正整数 ， .若 ， ，则 的最大值与最小
值之和为___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）
已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， .
（1）求 和 ；
（2）已知点 在线段 上，且 平分 ，求 的长.
16．（本小题15分）
已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若当 时，函数 有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
17．（本小题15分）
如图，四棱锥 的底面 为平行四边形， 底面 ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18．（本小题17分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且椭圆 经过点
.过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 ， 两点，过点 和 的直线
学科网（北京）股份有限公司与椭圆 的另一个交点为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 的倾斜角为90°，求 的值.
19．（本小题17分）
若无穷正项数列 同时满足下列两个性质：① 为单调数列；②存在实数 ，对任意 都
有 成立，则称数列 具有性质 .
（1）若 ， ，判断数列 ， 是否具有性质 ，并说明理由.
（2）已知离散型随机变量 服从二项分布 ， ， ，记 为奇数的概率为 .
（ⅰ）当 时，求 ， ；
（ⅱ）求 ，并证明数列 具有性质 .
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