文档内容
北京二中教育集团 2022−2023 学年度第二学期
初二数学期末考试试卷
考查目标
1．知识：人教版八年级下册《二次根式》、《勾股定理》、《平行四边形》、《一次函数》、
《数据的分析》的全部内容．
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分
类讨论能力．
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷3页，第Ⅱ卷5页，答题卡8页．
全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 6，8，10
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，所以3，4，5能作为直角三角形的三边，故不符合题意；
B、 ，所以4，5，6不能作为直角三角形三边，故符合题意；
C、 ，所以5，12，13可以作为直角三角形的三边，故不符合题意；
D、 ，所以6，8，10可以作为直角三角形的三边长，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长为a、b、c，满足 ，则该
三角形是直角三角形是解题的关键．2. 要得到 的图象，只需将 （ ）
A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位
C. 向左平移2个单位 D. 向右平移2个单位
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移法则上加下减可得出解析式．
【详解】解：将 向上平移2个单位，得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
3. 下列各式计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据算术平
方根对D进行判断．
【详解】A、 ，所以A选项的计算正确；
B、原式 ，所以B选项的计算正确；
C、原式 ，所以C选项的计算错误；
D、原式 ，所以D选项的计算正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键．
4. 如图，在 中， 平分 交 于点 ，若 ， ，则 的周长是
（ ）A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
【答案】C
【解析】
【分析】先求出平行四边形的一组邻边长，再求周长．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
∵ 平分 ，
，
，
∴ ，
平行四边形 的周长为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边和角平分线的定义是解题的关键．
5. 如图，下列条件之一能使 是菱形的为（ ）
① ；② 平分 ；③ ；④ ；
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解．【详解】解：① ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是矩形；
② 平分 ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形；
③ ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形；
④ ，四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
综上所述，由②③④可证得四边形 是菱形．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6. 党的二十大报告提出“深化全民阅读活动”．某校开展了“书香浸润心灵 阅读点亮人生”读书系列活
动．为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进
行统计，数据如下：
甲组
乙组
两组数据的众数分别为 ， ，方差分别为 ， ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据众数的定义以及方差的计算方法解答即可．
【详解】解：由题意得，甲组的平均数为 ，
∴ ；
乙组的平均数为 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平均数与方差的计算，关键是掌握方差与平均数的计算公式．
7. 如图所示，一个实心铁球静止在长方体水槽的底部，现向水槽匀速注水，下列图像中能大致反映水槽中
水的深度 与注水时间 关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时，分别分析出水
槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【详解】解：根据题意得：
当水的深度未超过球顶时，水槽中能装水的部分的宽度由下到上，由宽逐渐变窄，再变宽，所以在匀速注
水过程中，水的深度变化从上升较慢变为较快，再变为较慢，
当水的深度超过球顶时，水槽中能装水的部分宽度不再变化，所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速
度不会发生变化，
综上所述，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的图像，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分
析水的深度变化情况是解题的关键．
8. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如
图，在 中， ，以 各边为边向外作正方形 、正方形 、正
方形 ．连接 、 、 ，若 ， ，则这个六边形 的面积为（
）
A. 28 B. 26 C. 32 D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ， ，则 ，连接 、 交于点M，连接 、 ，
证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，连接 ，交于点N，同理可得： ，得出 ，求出 ， ，从而得
出 ， ，延长 作 于点P，作 于点Q，证明 ，
得出 ，证明 ， ， ，求出
，最后求出
即可．
【详解】解：设 ， ， ，则 ，
连接 、 交于点M，连接 、 ，如图所示：
∵四边形 和 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，根据勾股定理得： ， ， ，
，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
连接 ， 交于点N，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ，
得： ，
解得： ，
得： ，
即 ，解方程组： ，
解得： ，
∴ ，
∵a、b、c为正数，
∴ ， ，
延长 作 于点P，作 于点Q，如图所示：
则 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，， ，
∴ ，
同理： ， ，
，
∴ ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题
的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握勾股定理．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式 在实数范围内有意义可得：
，解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 若点 在一次函数 （b是常数）的图象上，则 的大小关系是
___________ ．（填“ ”、“ ”或“ ”）【答案】
【解析】
【分析】由 ，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合 ，即可得出
．
【详解】解：∵ ，
∴一次函数 中，y随x的增大而减小，
又∵点 在一次函数 （b是常数）的图象上，且 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ，y随x的增大而增大； ，y随x的增大而减小”
是解题的关键．
11. 如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，过点O作 ，垂足为E，若 ，
则 的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】首先根据矩形的性质得到 ，然后利用等腰三角形三线合一性质得到 ，然后证明出 是 的中位线，进而求解即可．
【详解】∵四边形 是矩形
∴
∵
∴
∵
∴ 是 的中位线
∴ ．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了矩形 的性质，等腰三角形三线合一性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关
键是熟练掌握以上知识点．
12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，
则ED的长是____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AD，在Rt△ADE中，由勾股定理计算即可得出ED的长．
【详解】解：如图，连接AD，则AD=AB=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：ED=
=
= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象如图所示，则关于x的一元一次不等
式 的解集是___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】写出直线 在直线 上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为 ，
关于x的一元一次不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变
量，图像上方函数值大于下方的函数值．
14. 如图，四边形 是菱形， 、 交于点O， 于H，连接 ，若 ，，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 ， ，根据
勾股定理求出 ，根据等积法求出 ．
【详解】解：∵四边形 是菱形,
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，求出菱形的边长．
15. 俗话说：“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才．”小明前x天的背单词总量y与x之间的关系如图所示，
从目前记录的结果看，若小明在前n天的日平均背单词量最高，则n的值为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】前n天的日平均背单词量越高，则背单词总量增加越快，据此观察所给图象可得答案．
【详解】解：根据图象可得，第6天背单词总量增加最快，之后增幅变缓，
因此小明在前6天的日平均背单词量最高，
故答案为：6．
【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是分析出日平均背单词量的几何意义．
16. 在正方形 中，点E、F分别为边 、 上一点，且满足 ，连接 、 ，设
．
（1）当E为 中点时， ___________．
（2） 的最大值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）设正方形 的边长为 ，利用勾股定理表示出 和 ，即可求出 值；（2）设正方形 的边长为1， ，分别表示出 和 ，可得 ，令
，结合根的判别式求出 的最大值为 ，即可得到 的最大值．
【详解】解：（1）设正方形 的边长为 ，
∴ ，
∵E为 中点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）设正方形 的边长为1， ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
，
解得： ，即 的最大值为 ，
，即 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根的判别式，解题的关键是能够用未知数表示出相应线段
的长度．
三、解答题（共68分，其中第17−22、24题每题5分，第23、25题每题6分，第26−28题每
题7分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先将除法转为乘法，再根据二次根式的乘法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法．注意乘法运算律的运用．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先利用乘法公式计算，然后再算加减．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．19. 已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】18
【解析】
【分析】化简 ，将x和y值代入计算即可．
【详解】解：∵
，
∴ 当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查完全平方公式以及二次根式 的混合运算，解题的关键是灵活运用所学知识将待求代
数式进行变形，属于中考常考题型．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点在对角线BD上，且 ，连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】求出OE＝OF，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四
边形．
【详解】证明：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形 的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键．
21. 如图 ，同学们想测量旗杆的高度 （米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，
但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余 米，如图 ；
②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部 米，如图 ．
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图 点 处（ ）．
（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）；
（2）已知小亮举起绳结离旗杆 米远，此时绳结离地面多高？
【答案】（1）故旗杆的高度为 米；
（2）绳结离地面 米高．
【解析】
【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；
（2）由题可知， 米， 米．在 中根据勾股定理列出方程
，求出 ，进而求解即可．
【小问1详解】
解∶如图，由旗杆的高度为 米，则绳子的长度为 米，
在 中，由勾股定理得∶ ，
解得∶ ，故旗杆的高度为 米；
【小问2详解】
解：由题可知， 米， 米．
在 中，由勾股定理得∶ ，
解得∶ ，
∴ 米 ，
∴ 米．
故绳结离地面 米高．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
22. 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的，研究表明：课桌的高度
与椅子的高度符合一次函数关系，小明测量了一套课桌、椅对应的四档高度，得到数据如下表：
档次/高度 第一档 第二档 第三档 第四档
椅高x/cm
桌高y/cm
（1）设课桌的高度为 （ ），椅子的高度为 （ ），求 与 的函数关系式；
（2）在表格中，有一个数据被污染了，则被污染的数据为___________；
（3）小明放学回到家，又测量了家里的写字台的高度为 ，凳子的高度为 ，请你判断小明家
里的写字台与凳子是否符合科学设计，并说明理由．
【答案】（1） ；
（2） ；（3）小明家里的写字台与凳子不符合科学设计，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）将 代入（1）中一次函数，即可求解；
（3）把 代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解∶由课桌的高度与椅子的高度符合一次函数关系，设 ，
∵ 过点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 与 的函数关系式 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
故答案为 ；
【小问3详解】
解：小明家里的写字台与凳子不符合科学设计，理由如下∶
当 时， ，
∴小明家里的写字台与凳子不符合科学设计．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
23. 如图，在 中，点E是 的中点，连接 ， 、 的延长线相交于点F，连接 、
．（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明 可得 ，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形判定四边形 是平行四边形；
（2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得 ，然后求得 ，从而可得平行四
边形 是矩形．
【小问1详解】
证明：在 中， ，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
证明：∵四边形 是平行四边形；
∴ ，
又由（1）可得，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，即四边形 是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
24. 甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中
随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组： ， ， ，
， ）
b．甲小区用气量的数据在 这一组的是：
15 15 16 16 16 16 18 18 18 18 18 19
c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：
小区 平均数 中位数 众数
甲 17.2 18
乙 17.7 19 15
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 的值；
（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为 ．在乙小区抽取的用户
中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为 ．比较 ， 的大小，并说明理由；（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．
【答案】（1）16； （2） ；
（3）180户．
【解析】
【分析】（1）利用求中位数的方法求解即可；
（2）利用中位数和平均数的意义求解即可；
（3）根据抽取的30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例估算出整体户数．
【小问1详解】
解：由题意可知：
；
【小问2详解】
解：由表可知：
甲，乙两小区用气量的中位数分别是16、19，平均数分别为：17.2、17.7，
∴ ， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：抽取的甲小区30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例为：
甲小区中用气量超过15立方米的户数为： 户．
【点睛】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握
求中位数及其意义，由样本估计总体的方法是解题关键．
25. 已知一次函数 （ ， 为常数且 ）的图象经过点 和 轴上一点 ，且与
平行．的
（1）求一次函数 表达式，并在平面直角坐标系内画出该函数的图象；
（2）当 时，请结合图象，直接写出 的取值范围___________；
（3）若点 在直线 上，且 的面积等于 ，求点 的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为 ，作图见解析；
（2） ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（1）一次函数 与 平行可求得 的值，进而把 代入一次函数，得出 ，
从而求得一次函数的表达式，再画出图象即可；
（2）当 时， 代入一次函数的表达式可得出对应 的值，结合图像即可得解；
（3）根据铅锤法求面积即可得解．
【小问1详解】
解：∵一次函数 （ ， 为常数且 ）的图象经过点 和 轴上一点 ，且与
平行，∴ ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ，
在平面直角坐标系内画 如下图，
【小问2详解】
解：当 时， ，
当 时， ，
即可图像可得 时， ，
故答案为 ；
【小问3详解】
解：设 ， 与直线 相交于点 ，当 时， ，
∴ ，
∵ 的面积等于 ，点 ， 与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，以及一次函数的图象和图象上点的坐标特征，掌
握用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
26. 有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）化简函数表达式：当 时， ___________；当 时， ___________；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，通过列表描点画出了 时的部分图象，请在同一平面直角坐标
系中，补全当 时的部分图象，并写出函数 的两条性质；
（3）进一步研究：若点 都在函数 的图象上，且 ， ，
若存在 满足 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2）见解析； （3） ．
【解析】
【分析】（1）根据解析式即可确定自变量取值分类讨论化简即可；
（2）在坐标系中画出当 时，一次函数 的图像即可，根据图形即可写出函数
的两条性质；
（3）由点 都在函数 的图象上， ，得 ，
进而有 ，解不等式组即可．
【小问1详解】
解∶当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，故答案为 ， ；
【小问2详解】
解：作图如下：
由图像可得， 函数 关于直线 成轴对称图形， 当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 随 的增大而减小；
【小问3详解】
∵点 都在函数 的图象上， ，
∴ 在直线 的两侧，且关于 对称，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质以及解不等式组，熟练掌握一次函数图象及性质是解题的关键．
27. 已知正方形 ，P是对角线 的延长线上一点．（1）连接 ，过点P作 的垂线交 的延长线于点E．
①依据题意，补全图形；
②判断线段 与 的数量关系，并证明；
（2）在（1）的条件下，过点P分别作线段 、射线 的垂线，垂足分别为点F、点H，线段 与
线段 于点G，连接 ．请你判断线段 、 和 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①作图见解析；②结论： ，证明过程见解析
（2）结论： ，证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意作图即可；②作 于点F，作 延长线于点H，延长 交
于点M，如图所示，根据垂线的性质可得 ， ， ，从而可证
，再根据正方形的性质可得 ， ，从而可证
，即可得出结论；
（2）连接 ，由（1）可知，四边形 是正方形， 四边形 是正方形，四边形 是矩
形，从而得 ，在 中， 中， 中， 中，利用勾股定
理即可得到结论.
【小问1详解】
解：①如图所示， 即为 的垂线；
②结论： ，证明如下：
作 于点F，作 延长线于点H，延长 交 于点M，如图所示，
∵ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
又∵P是对角线 的延长线上一点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是正方形，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：结论： ，证明过程如下：
连接 ，
是
由（1）可知，四边形 正方形， 四边形 是正方形，四边形 是矩形，∵ ，
∴ ，
在 中，
在 中， ，
在 中， ，
∵在 中， ，
∴ ，即： ，
∴
∴
【点睛】本题考查尺规作图−垂线、正方形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的
判定与性质、垂线的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和菱形 ，给出如下定义：若菱形 上存在一点 ，
使点 绕点 逆时针旋转120°的对应点 在菱形 的较短的一条对角线上，则称点 为菱形
的环绕点．如图为菱形 的环绕点 的示意图．
如图，设菱形 的中心为 ， ，点 和点 都在 轴上，且 ．（1）在点 ， ， 中，菱形 的环绕点是______；
（2）若 为菱形 的环绕点，求 的取值范围；
（3）设正方形 以点 为中心，各边均与坐标轴平行，边长为 ．若正方形 上任意一点
都是菱形 的环绕点，请你直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，画出菱形 的环绕点所在区域，进而即可判断；
（2）根据题意，点 点是直线 于阴影部分的交点部分，设交点分别为 ，结合图形，
根据一次函数的性质，即可求解；
（3）根据正方形的性质，正方形的中心也为 ，则对角线所在直线为 或 ，进而求得点 的横坐标的范围，即可求解．
【小问1详解】
解：∵菱形 的中心为 ， ，点 和点 都在 轴上，且
∴ ，则 是等边三角形，同理可得 是等边三角形，
∴ ，
又 ，
∴ ，则 ，
如图所示，依题意，当 点与 点重合时，将点 绕 点旋转 ，则点 在 的延长线上，
，则 是等边三角形，
∴ ，
∴
同理可得 ， ，
根据中心对称的性质可得 ， ， ，根据定义可得菱形 的环绕点在线段 关于 顺时针旋转 得到的线段上，如图所示，阴影部
分即为点 的范围，其中不包括点 两点
∵点 ， ， 中，
∴ 不在阴影部分范围，菱形 的环绕点是 ， ，故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：∵ 为菱形 的环绕点，
∴ 点是直线 于阴影部分的交点部分，设交点分别为
对于 ，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
连接 交于点 ，
∵ ，
设直线 的解析式为
将点 代入得， ，解得 ，
∴直线 的解析式为
联立解得： ，即
根据中心对称的性质可得
综上所述，若 为菱形 的环绕点，求 的取值范围为 或
【小问3详解】
∵正方形 边长为 ．正方形 上任意一点 都是菱形 的环绕点，
依题意，正方形的中心也为 ，则对角线所在直线为 或 ，如图所示，
当 与 交于点 时，此时正方形的边长最大，
依题意，
设 的解析式为 ，将点 代入得，解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： ，即
∴ ，
∵ 点的横坐标为 ，
∴ 横坐标的最小值为 ，即 ,
综上所述， ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正方形的性质，一次函数与几何图形，中心对称的性质，
理解新定义是解题的关键．
