2015年高考数学试卷（理）（湖南）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 1i2 （ 为虚数单位），则复数 =（ ） 1i i z z A.1i B.1i C.1i D.1i 2.设A，B是两个集合，则“AB  A”是“A B”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图，如果输入n3，则输出的S ( ) 6 3 8 4 A. B. C. D. 7 7 9 9 x y1  4.若变量x，y满足约束条件 2x y1，则z 3x y的最小值为（ ）  y1  A.-7 B.-1 C.1 D.2 第1页 | 共7页5.设函数 ，则 是（ ） f(x)ln(1x)ln(1x) f(x) A.奇函数，且在 上是增函数 B. 奇函数，且在 上是减函数 (0,1) (0,1) C. 偶函数，且在 上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数 (0,1) (0,1) 5 6.已知 x  a  的展开式中含 3的项的系数为30，则a（ ）   x2  x  A. B. C.6 D-6 3  3 7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线） 的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若 ，则 ， X N(,2) P( X )0.6826 P(2 X 2)0.9544 (cid:4) (cid:4) (cid:4) 8.已知点 A ， B ， C 在圆 x2  y2 1 上运动，且 AB BC ，若点 P 的坐标为(2,0)，则 PAPBPC 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9  9.将函数 f(x)sin2x的图像向右平移(0 )个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足 2  f(x )g(x ) 2的x ，x ，有 x x  ，则（ ） 1 2 1 2 1 2 min 3 第2页 | 共7页5    A. B. C. D. 12 3 4 6 10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新 工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积） 原工件的体积 （ ） A. 8 B.16 C.4( 21)3 D.12( 21)3 9 9   二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. [来源:学,科,网] 11. . 2(x1)dx 0 12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好 到差编为 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间 上的运动员人数是 135 [139,151] . 第3页 | 共7页13.设 是双曲线 ： x2 y2 的一个焦点，若 上存在点 ，使线段 的中点恰为其虚轴的一 F C  1 C P PF [来源:Zxxk.Com] a2 b2 个端点，则C的离心率为 . 14.设 S 为等比数列a 的前 n 项和，若 a 1 ，且 3S ， 2S ， S 成等差数列，则 a  . n n 1 1 2 3 n x3,xa 15.已知 f(x) ，若存在实数 b ，使函数 g(x) f(x)b 有两个零点，则a的取值范围 x2,xa 是 . [来源:学科网] 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（1）如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M ，N ，直线MO与直线CD相 交于点F ，证明： （1） ； MEN NOM 180 （2） FEFN  FM FO  3 x5 t （Ⅱ）已知直线  2 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， l: t x 1  y  3 t  2 曲线 的极坐标方程为 . C 2cos （1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 第4页 | 共7页（2） 设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线C 的交点为 ， ，求 的值. M (5, 3) l A B |MA||MB| [来源:学科网] 1 1 （Ⅲ）设a 0,b0，且ab  . a b （1）ab2； （2） 与 不可能同时成立. a2 a2 b2 b2 17.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtanA，且B为钝角.  （1）证明：BA ； 2 （2）求sinAsinC的取值范围. 18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球 的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一 等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. .19.如图，已知四棱台 上、下底面分别是边长为3和6的正方形， ，且 ABCDABC D AA 6 1 1 1 1 1 底面 ，点 ， 分别在棱 ，BC上. AA  ABCD P Q DD 1 1 （1）若P是 的中点，证明： ； DD AB  PQ 1 1 3 （2）若PQ//平面ABB A ，二面角PQDA的余弦值为 ，求四面体ADPQ的体积. 1 1 7 第5页 | 共7页20.已知抛物线 的焦点 也是椭圆 y2 x2 的一个焦点， 与 的公共弦 C :x2 4y F C :  1(ab0) C C 1 2 a2 b2 1 2 的长为 . 2 6 （1）求 的方程； C 2 （2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，且(cid:4) 与(cid:4) 同向 F l C A B C C D AC BD 1 2 （ⅰ）若 ，求直线 的斜率 | AC||BD| l （ⅱ）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，证明：直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形 C A x M l F MFD 1 [来源:学#科#网] 21.已知 ，函数 ，记 为 的从小到大的第 个极值点， a0 f(x)eaxsinx(x[0,)) x f(x) n (nN*) n 第6页 | 共7页证明： （1）数列 是等比数列 {f(x )} n 1 （2）若 ，则对一切 ， 恒成立. a nN* x | f(x )| e2 1 n n 第7页 | 共7页