文档内容
北京二中教育集团 2023-2024 学年度第一学期初二数学期末考试试卷
考查目标
1．知识：人教版八年级上册《三角形》、《全等三角形》、《轴对称》、《整式的乘法与因
式分解》、《分式》的全部内容．
2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分
类讨论能力．
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷8页，答题卡6
页。全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 共16分）
一、选择题（共16分，每题2分，以下每题只有一个正确的选项）
1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产
生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小
篆体字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，
这个图形成为轴对称图形”，即可求解．
【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选B．
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学科网（北京）股份有限公司2. 分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≠2 B. x≠﹣2 C. x＝2 D. x＝﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】分式有意义，分母不等于零，据此来求x的取值范围．
【详解】当分母x-2≠0．即x≠2时，分式 有意义；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是记住分式无意义时分母为零．
3. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发
射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与
应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅 米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正
整数；当原数的绝对值 时， 是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
【详解】解： ．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算性质与非零数的0次幂的意义，即可作出正确判断．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A、 ，故错误；
B、 ，故错误；
C、 ，故正确；
D、 ，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的运算性质、非零数的0次幂的意义．要注意几点：单独一个字母的指数为1，而
不是0；幂的乘方是指数相乘，不是相加；进行积的乘方时，积中每个因式都要分别乘方；零指数幂、负
整数指数幂的底数非0．
5. 如果把分式 中 、 同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
的
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍，
则有 ，
∴该分式的值是原分式值的 ，故C正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本
题的关键．
6. 如图， 的外角的平分线 与 相交于点 ，若点 到 的距离为 ，则点 到 的距离
为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点 作 于 ， 于 ， 于 ，然后根据角平分线上的点到角
的两边的距离相等可得 ，从而得解．
【详解】解：如图，过点 作 于 ， 于 ， 于 ，
，
∵ 的外角平分线 与 的外角平分线 相交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．
7. 若关于x的方程 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先解关于x的方程 得到用m的代数式表达的x的值，再根据原方程的解为正数，
列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围．
【详解】解：由题意可知
解关于x的方程 得： ，
∵关于x的方程 的解为正数，
∴ ，解得： 且 ．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的根，解不等式组，解题的关键是理解m的取值需同时满足以下两个条件：
（1）解关于x的方程 所得的 不能是增根，即 ；（2）
．
8. 如图，正方形 的边长为 ，其中 ， ，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则
重叠部分 的面积为（ ）
A. 28 B. 29 C. 30 D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出 ， ，再根据
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学科网（北京）股份有限公司完全平方公式的变形得出 ，从而得出 ，即可
得出答案．
【详解】解： 正方形 的边长为 ， ， ，
，
两个阴影部分都 是正方形且面积和为60，
的
重叠部分 面积为
故选A．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式 的值为0，则x的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分式的值为0，即分母不为0，分子为0得到x-2=0，且x+3≠0，求出x即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴x-2=0，且x+3≠0，
∴x=2．
故答案为:2.
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件：分式的值为0，要满足分母不为0，分子为0．也考查了解方程
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学科网（北京）股份有限公司和不等式．
10. 一个多边形的每个外角都等于 ，则这个多边形的边数是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，根据外角和求出边数即可．
【详解】解：∵多边形外角和为 ，每个外角都等于 ，
∴边数 ．
故答案为：6．
11. 分解因式： _______．
【答案】b（a+2）（a-2）
【解析】
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】 .
故答案为：b（a+2）（a-2）.
【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式.
12. 已知 则 的值为________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据已知，可得x=3y，根据代数式求值，可得答案．
【详解】由 ，得：x=3y．
当x=3y时，原式= =12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了分式的值，利用了代数式求值．
13. 如图，在 中， ， ， 和 的平分线交于O点，过点O作 的平
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学科网（北京）股份有限公司行线交 于M点，交 于N点，则 的周长为________________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的
定义证明 ，从而得到 ，同理得到 是解题的关键．遇到平行线和角
平分线时，注意会构成等腰三角形．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ 的周长
，
故答案为：10．
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学科网（北京）股份有限公司14. 若 ，则 等于______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
．
故答案为16
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法运算，正确的计算是解
决本题的关键．
15. 已知 可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵ 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16. 如图， 中， ， ， ，D是线段AB上一个动点，以BD为边
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学科网（北京）股份有限公司在 外作等边 ．若F是DE的中点，当CF取最小值时， 的周长为____________．
【答案】18
【解析】
【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF= ∠DBE=30°，再由
∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当
CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可．
【详解】解：解：如图，连接BF，
∵△ BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF= ∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
的
∴即射线BF 位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF= BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC= ，
∴BF= ，
设BD=2x，则DF=x，
∴ ，即 ，解得x=3
∴BD=6
∴ 的周长为18．
故填：18．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位
置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解
答本题的关键．
三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7
分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，依次计算去绝对值、求一个数的算术平方根、负整数指数幂以及零
次幂，再计算加减即可．
【详解】解：
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，
然后合并同类项即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司．
19. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】方程两边都乘（x+1）（x-1），去分母后化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边同乘 ，得：
，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20. 先化简，再求值：已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，最后代入求
值即可．掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
【详解】解：
，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，
原式 ．
21. 小刚同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是 ，那么这个锐角所对的
直角边等于斜边的一半，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹）：已知一条线段 ，作出等边 （点 在线段 上方），再作
的角平分线交 于 ；
（2）补全证明过程（写出结论依据）：
由作图可知：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ 垂直平分 （________）， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
即在 中， ， ，则 ．
【答案】（1）画图见解析
（2）等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合
【解析】
【分析】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形
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学科网（北京）股份有限公司的判定与性质，线段垂直平分线的判定．
（1）先作等边三角形 ，再作 的角平分线即可；
（2）由等腰三角形的三线合一可得 垂直平分 ，进一步可得结论．
【小问1详解】
解：如图所示： ，线段 即为所求；
【小问2详解】
由作图可知：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ 垂直平分 （等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合）， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
即在 中， ， ，则 ．
22. 已知：如图，点 ， ， ， 在一条直线上， ， ， ．求证：
．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，先根据线段的和得出 ，再利用 证明
，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：
即
在 和 中
23. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， 均在正方形网格的格点上．
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学科网（北京）股份有限公司（1）画出 关于 轴对称的图形 ，并写出顶点 的坐标；
（2）在 边上画出点 ，使 的面积恰好是 的面积的一半；
（3）已知 为 轴上一点，若 与 的面积相等，写出点 的坐标．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析 （3） 或 ．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，三角形的中线的含义，割补法求图形面积，熟知轴对称的性
质是解答此题的关键．
（1）在直角坐标系中找出A、B、C关于x轴的对称点 ，B， ，然后顺次连接即可得到 ，最后
写出点 坐标即可；
（2）利用三角形的中线等分三角形的面积，结合D的横坐标为2，画图即可；
（3）根据 与 的面积相等求出 ，然后写出P的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求，
∴ ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司如图，D即为所求；
．
【小问3详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 或 ．
24. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，
BE=AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．
【答案】（1）详见解析，（2）35°.
【解析】
【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE=AE=AC，根据等腰三角形三线合一即可知
AD⊥BC
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学科网（北京）股份有限公司（2）设∠B=x°，由（1）可知∠BAE=∠B=x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x
的值．
【详解】
(1)连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC；
(2)设∠B=x°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴由三角形的外角的性质,∠AEC=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在三角形ABC中,3x°+75°=180°，
x°=35°，
∴∠B=35°.
【点睛】本题考查了等腰三角形与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形与线段垂
直平分线的性质.
25. 列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中
学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买 ， 两种型号“文房四宝”共40套，
共花费4300元，其中 型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套 型号的“文房四宝”的价格比 型
号的“文房四宝”的价格高 ，求每套 型号的“文房四宝”的价格．
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学科网（北京）股份有限公司（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
单价
型号 总价（元） 购买套数
（元/套）
型
型 3000
（2）请你完整解答本题．
【答案】（1）1300； ；
（2）每套B型号的“文房四宝”的价格为100元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程 的实际应用：
（1）先求出 型号的“文房四宝”花费 元，再根据每套 型号的“文房四宝”的价
格比 型号的“文房四宝”的价格高 得到每套 型号的“文房四宝”的价格为 元，据此可求出
购买 型号的“文房四宝” 套；
（2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得， 型号的“文房四宝”花费 元，
∵每套 型号的“文房四宝”的价格比 型号的“文房四宝”的价格高 ，，
∴每套 型号的“文房四宝”的价格为 元，
∴购买 型号的“文房四宝” 套，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：1300； ； ；
【小问2详解】
解：由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
26. 已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像 ，
这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
例如化简 ，方法一：需把原式写成 后化简，化简的结果为 ；方法二：繁
分式的分子分母同乘 进行化简，化简的结果为 ．
请根据以上方法，回答下面的问题：
（1）繁分式 化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式 有意义， 的取值范围是
_______；
（2）若实数 ， 满足 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司① _______（用含 的式子表示）；
②求证：不论 取何值，分式 化简后都为一个定值，并求出该定值．
【答案】（1） ； 且 ；
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即
可；
（2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可；
②先化简分式，代入 ，约分后可得答案．
【小问1详解】
解： ；
∵繁分式 有意义，
∴ 且 ，
∴ 的取值范围是 且 ；
【小问2详解】
①∵ ， ．
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学科网（北京）股份有限公司∴
；
②∵ ，
∴ ，
；
27. 已知等边 ，点 为 边上一点，连接 ，在 的右侧作射线 ，使
，延长 交射线 于点 ，连接 ，作 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，当点 为 中点时， _______ ， 的值为_______；
（2）如图2，当点 在 上运动时．
①直接写出 的度数；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1） ， ；
（2）① ；② ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含
的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）利用等边三角形的性质证明 ， ，从而可得结论；
（2）①利用三角形的内角和定理可得答案；②如图，在 上截取 ，连接 ，证明
，可得 ，再证明 即可．
【小问1详解】
解：如图，当点 为 中点时，等边 ，
∴ ， ， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：60， ；
【小问2详解】
①∵ ， ，
∴由八字形可得： ，
② ，理由如下：
如图，在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ， ，
第24页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
28. 对于平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下定义：
若图形 上存在点 ，满足 ，则称图形 是点 的“ 关联图形”．
（1）已知原点 是点 的“ 关联图形”，则点 的坐标是_______；
（2）如图1，已知点 ， ，当线段 是点 的“ 关联图形”时，在图1中画出所有
满足条件的点 所形成的图形，并指出线段 可以通过怎样的几何变换得到该图形；
（3）如图2，已知 是点 的“ 关联图形"，其中点 ， ， ．
①当点 在第一、三象限角平分线上时， 的取值范围是_______；
②当 时，请在图3中画出所有满足条件的点 所形成的区域，并直接写出该区域的面积．
【答案】（1）
（2）图见解析，线段 可以通过沿直线 进行翻折得到该图形
（3）① ；②图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，坐标与图形：
第25页/共30页
学科网（北京）股份有限公司（1）根据等腰进行求解即可；
（2）先根据A、B坐标得到点B平移到点A的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，
设点 是线段 上一点，则点B平移到点Q的平移方式为向右平移 个单位长度，向上平移
个单位长度，由线段 是点 的“ 关联图形”，推出 ，进而得到所有满足
条件的点P所形成的图形即为线段 ，其中 ；则线段 可以通过沿直线 进行
翻折得到线段 ；
（3）①由 在第一、三象限角平分线上，得到 ，设 为 上一点，可得 ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，则 ，可得
；当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，则
，可得 ；当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为
，则 ， 可得 ；综上所述， ；
②设 为 上一点，则 ，当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标
为 ，则 ，当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标
为 ，则 ； 当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标
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学科网（北京）股份有限公司为 ，则 ；同（2）可得，当点Q在线段 上时围成的区域为
四边形 ，当点Q在线段 上时，围成的区域为四边形 ，当点Q在线段 上时，围成的
区域为四边形 ；再利用割补法求出对应区域的面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴点B平移到点A的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，
设点 是线段 上一点，则点B平移到点Q的平移方式为向右平移 个单位长度，向上平移
个单位长度，
∴ ，
∵线段 是点 的“ 关联图形”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，当 时， ，
第27页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴所有满足条件的点P所形成的图形即为线段 ，其中 ；
∴线段 可以通过沿直线 进行翻折得到线段 ；
【小问3详解】
解：①∵ 在第一、三象限角平分线上，
∴ ，
设 为 上一点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， ；
②设 为 上一点，
∴ ，
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
当点 在线段 上时，同理可得点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司∴同（2）可知，当点Q在线段 上时围成的区域为四边形 ，当点Q在线段 上时，围成的区
域为四边形 ，当点Q在线段 上时，围成的区域为四边形 ；
∴所有满足条件的点P所形成的区域的面积为 ．
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