文档内容
北京市第二中学朝阳学校 2022—2023 学年度第一学期
初二数学期中考试试卷
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1. 第 届冬季奥林匹克运动会，将于 年 月 日 年 月 日在中华人民共和国北京市和张
家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案
上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念．
2. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A. B. C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出．
【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意，
B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意，
C选项是作AB边上的高，不符合题意，
的
D选项是作AC边上 高，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键．
3. 如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（ ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知m∥n，根据平行线的性质可得∠3＝∠1＝70°.又因∠3是△ABD的一个外角，可
得∠3＝∠2＋∠A.即∠A＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°.故答案选C.
考点：平行线的性质.
4. 小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能是（ ）．
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系，经计算即可得到答案．
【详解】根据三角形三边关系，得：
∴
∴四个选项中，选项B符合要求
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求
解．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A.根据同类项的的定义解题；
B.根据积的乘方法则解题；
C.根据同底数幂乘法法则解题；
D.根据幂的乘方法则解题．
【详解】A. 不是同类项，不能合并，故A错误；
B. ，故B正确；
C. ，故C错误；
D. ，故D错误，
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，是重要考点，难度较易，
掌握相关知识是解题关键．
6. 如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，
∠E=30°，则∠BFD的度数是【 】A. 15° B. 25° C. 30° D. 10°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据外角的性质求出∠BDF，再根据三角形的内角和求解即可．
【详解】∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，解决此题的关键是要计算细致．
的
7. 如果正多边形 每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【详解】360°÷40°=9．
故选B．
8. 如图， ACB ≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是 （ ）
△
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A′CB′，所以∠ACA′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入
数据计算即可．【详解】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB′，
∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，
∴∠ACA′= （110°-30°）=40°．
故选D．
【点睛】考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键．
9. 等腰三角形一个内角为100°，则它的顶角为（ ）
A. 40° B. 80° C. 100° D. 100°或40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：有两种情况：①底角是： ，根据内角和定理，不存在；
②顶角是 ，存在，
为
∴顶角 ；
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
10. 如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直
线相交于点D，则∠D的大小为（ ）
A. 50° B. 60°
C. 80° D. 随点B，C的移动而变化
【答案】A
【解析】【分析】根据角平分线定义得出∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，根据三角形外角性质得出
2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，求出∠A=2∠D，即可求出答案．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，
∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB，∠CBE=∠D+∠DCB，
∴2∠CBE=2∠D+2∠DCB，
∴∠MBC=2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，
∴∠A=2∠D，
∵∠A=100°，
∴∠D=50°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，关键是求出∠A=2∠D．
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（每小题2分，共16分）
11. 如图，∠1＝∠2，BC＝EF，若要使 ，还需要添加条件：_____（只写一个即可）．
【答案】
【解析】
【分析】由已知： 所以：补充： ，即可得到结论．
【详解】解：
补充：
故答案为：
【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定，掌握三角形的全等的判定的方法是解题的关键．
12. 点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标是______．【答案】
【解析】
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案．
【详解】解：∵点 与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标为 ，
故答案为： ）．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不
变，纵坐标互为相反数．
13. 一个等腰三角形的两边长分别是 和 ，则它的周长是__________ ．
【答案】10
【解析】
【详解】2 cm为腰时，不构成三角形；4 cm为腰时，周长=4+4+2=10 cm.
14. 如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于点B，且PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面积是
__________cm2．
【答案】30
【解析】
【分析】如图，过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的性质可得PD=PB，利用三角形面积公式即可得答
案．
【详解】如图，过点P作PD⊥AC于D，
∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于点B，PB=5cm，
∴PD=PB=5cm，
∵AC=12cm，∴S = = =30cm2．
APC
△
故答案为：30
【点睛】本题考查角平分线性质和三角形的面积的应用，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的
性质是解题关键．
15. 如图，AD是 ABC的角平分线，BE是 ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为____．
△ △
【答案】70°
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质得出 的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论.
【详解】 平分 ， ，
，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解答此题的关键.
16. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则
△ABE的面积________．【答案】6
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答．
【详解】解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是24，
∴S =S = S =12，
ABD ACD ABC
△ △ △
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S =S = S =6，
ABE BED ABD
△ △ △
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答
本题的关键．
的
17. 如图， 中， ， 垂直平分线分别交 于点 和 ，则
的周长是_______________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．从 DE是AC的垂直平分线，得
AD=DC，所以△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=AB+BC=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质． 解题的关键是通过线段垂直平分线性质，将三角形的一些边转移到同一直线上．
18. 我们把满足下面条件的 ABC称为“黄金三角形”：
① ABC是等腰三角形；②△在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点
连△线把 ABC分成两个不全等的等腰三角形.
（1） △ABC中，AB=AC，∠A:∠C=1:2,可证 ABC是“黄金三角形”,此时∠A的度数为_________.
（2）△ABC中，AB=AC, ∠A为钝角.若 AB△C为“黄金三角形”，则∠A的度数为________.
△ △
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求解即可；
（2）画出图形，根据等腰三角形性质、外角定理及三角形内角和即可求出答案.
【详解】解：（1）∵∠A：∠C=1：2,
∴设∠A=x，则∠C=2x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=2x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°，
∴x=36°，即∠A=36°；
（2）△ABC如图所示，
∵△ABC为“黄金三角形”，
∴AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°，
故答案为：36°； 108°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角定理，三角形内角和等知识，正确理解题意画出图形是解题
关键.
三、解答题（19题和20题，每题8分，21题4分，22题3分，23题和24题4分，25题5分，
26题4分，27题和28题7分，共54分）
19. 计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式的加减运算、同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算即可求出答案；
（2）根据单项式的乘除法则进行计算即可．
【小问1详解】
=
=
【小问2详解】
=
=
【点睛】本题考查同底数幂的乘法以及积的乘方运算，单项式的乘除，解决本题的关键是熟练掌握整式的
运算法则．
20. 因式分解：
（1） ；（2） ．
【答案】（1）3（a+2）（a－2）
（2）m（m－1）2
【解析】
【分析】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解；
（2）先提公因式，再用公式法进行因式分解．
【小问1详解】
原式＝3（a2－4）＝3（a+2）（a－2）；
【小问2详解】
原式＝m（m2－2m+1）＝m（m－1）2．
【点睛】本题考查了因式分解，如果有公因式要先提公因式，再用公式法进行因式分解．
21. 化简求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再把 代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
当 时，原式
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用完全平方公式和平方差公式计算是解题的关键．
22. 如图，已知 ，求作一点 ，使 到 的两边的距离相等，且 ．
要求：尺规作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）
【答案】见解析【解析】
【分析】分别作出 的平分线，线段 的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】如图：画出 的平分线 ，画出线段 的垂直平分线 ，交于点 ，则点 即为所求
【点睛】本题考查了尺规作图—复杂作图，熟练掌握角平分线，线段垂直平分线的画法是解题关键．
23. 如图，已知点 ， 在 上， ， ， ．求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据线段之间的数量关系，得出 ，再根据“边角边”，得出 ，再根
据全等三角形的性质，即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解本题的关键在证明 ．
24. 点D为 ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A=35°，∠D=40°，求
∠ACD的度△数．
【答案】85°
【解析】
【分析】根据三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；及三角形内
角和定理：三角形的三个内角和为180°解答．
【详解】解：∵DF⊥AB于点F，
∴∠DFB=90°
在Rt△DFB中，∠DFB=90°，
∴∠B+∠D=90°
∵∠D=40°，
∴∠B=50°
∵∠ACD是△DFB的外角，∠A=35°，
∴∠ACD=∠B+∠A=50°+35°=85°
【点睛】此题考查三角形外角与内角的关系、三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形外角与内角的
关系及三角形内角和定理．
25. 根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：
的
如图， 中， 平分 ， 所在直线是 垂直平分线，点E为垂足，过点D作
于M， 交 的延长线于N，求证： ．证明：连接 ， ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ （①________________）．
∵ 是 的垂直平分线
∴ ②______（③________________）．
在 和 中，
∴ （④_____________________）．
∴ （⑤_______________________）．
【答案】①角平分线的性质定理；② ；③线段垂直平分线的性质；④ ；⑤全等三角形对应边相等．
【解析】
【分析】结合题意，根据全等三角形的判定方法与性质，进行证明即可．
【详解】证明：连接 ， ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ （角平分线的性质定理）．
∵ 是 的垂直平分线
∴ （线段垂直平分线的性质）．
在 和 中，∴ （ ）．
∴ （全等三角形对应边相等）．
故答案为：①角平分线的性质定理；② ；③线段垂直平分线的性质；④ ；⑤全等三角形对应边相
等．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，涉及了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键
是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中， 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
（1）在图中作出 关于y轴对称的 ．
（2）如果要使以B，C，D为顶点的三角形与 全等，写出所有符合条件的点D坐标．
【答案】（1）见解析；
（2） 、 、 ．
【解析】
【分析】（1）由关于y轴对称的点的坐标的特征先确定A，B，C 三点的坐标，再描点，连线即可；
1 1 1
（2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出符合条件的点D坐标．【小问1详解】
解：如图1， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图2所示，点D的坐标为 或 或 ；
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐
标的特征并能灵活运用．
27. 在 中， ，直线l垂直平分 ．（1）如图1，作 的平分线交直线l于点D，连接 ， ．
①补全图形；
②判断 和 的数量关系，并证明．
（2）如图2，直线l与 的外角 的平分线交于点D，连接 ， ．求证：
．
【答案】（1）①见解析；② ，证明见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）①根据题意画图即可补全图形；②作 于点 ，作 交 延长线于点
，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质得到 ，即可求证；
（2）作 ， ，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质得到 ，
即可求证．
【小问1详解】
解：①补全图形，如下：
② ，证明如下：
作 于点 ，作 交 延长线于点 ，如下图：则 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
又∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：作 ， ，如下图：
则 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
又∵ 垂直平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了依题意作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和直角三角形全等的判定方法，
属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点 且垂直于x轴
的直线的对称图形为 ，若点P恰好在图形 上，则称点P是图形W关于点 的“关联点”﹒
（1）若点P是点 关于原点的“关联点”，则点P的坐标为______；
（2）如图，在 中， ， ， ．
①点C关于x轴的对称点为 ，将线段 沿x轴向左平移 个单位长度得到线段 （E，F分
别是点B， 的对应点），若线段 上存在两个 关于点 的“关联点”，则d的取值范围是
______；
②已知点 和点 ，若线段 上存在 关于点 的“关联点”，则m的
取值范围是______．【答案】（1） ；
（2）① ；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据“关联点”的定义可知 关于y轴对称，由此即可解决问题；
（2）①作出 关于直线 对称的 ，由题意平移后的线段 与 的边有两个交点
时满足条件，理由图像法解决问题即可；
②作出 关于直线 的对称的 ，如果直线 与 有交点，那么线段 上存在
关于 的“关联点”，由此利用图像法解决问题即可．
【小问1详解】
解：∵点P是点 关于原点的关联点，
∴P，Q关于 轴对称，
∴ ，
故答案为 ；
【小问2详解】
解：①如图1中，
当 时，线段 平移到 位置，此时线段 上存在1个 关于点 的“关联点”，当 时，线段 平移到 位置，此时线段 上存在2个 关于点 的“关联点”，
观察图像可知，满足条件的d的范围为： ，
故答案为： ．
②如图2中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，
如图3中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，
如图4中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，如图5中，当 时，线段 上存在 关于点 的“关联点”，
观察图像可知满足条件的m的为： ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，中心对称，“关联点”的定义等知识，解题的关键是
理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
