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北京二中教育集团 2022-2023 学年度第一学期
初二数学期末考试试卷
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分）
1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C D.
.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，利用轴对称的概念判断即可，轴对称图形是沿着一条直线对折后
两边可以重合的图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、选项是轴对称图形，不符合题意；
B、选项是轴对称图形，不符合题意；
C、选项不是轴对称图形，符合题意；
D、选项是轴对称图形，不符合题意．
故选：C
2. 新型冠状病毒最新变异为奥密克戎，它被科学家称为迄今为止“最糟糕的变异毒株”，它的直径虽然只
有85纳米左右（1纳米 米），但它在空中存活的时间更长，并且致病率更高．科学研究还表明：佩
戴口罩可有效阻断奥密克戎的传播．将“85纳米”用科学记数法表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法
不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：85纳米
（米）
（米）．
故选D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小 的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ 且 ，
解得： ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零
且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4. 一个 边形的每个外角都是 ，则这个 边形的内角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 边的外角和为 可得到这个多边形的边数 ，然后根据 边形的内角和为
即可求得8边形的内角和．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵多边形的每个外角都是 ，
∴这个多边形的边数 ，
∴这个多边形的内角和
故选B
【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理： 边形的内角和为 ； 边的外角和为
．
5. 如图，已知 与 相交于E，添加下列哪一个条件后，仍不能使 的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和图形可以得到 ， ，然后再写出添加各个选项中的条件时能
否得到 和 全等即可．
【详解】解：由图可得，
，
，
．
添加 时， ，故选项A不符合题意；
添加 时， ，故选项B不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司添加 时，不能证明 ，故选项C符合题意；
添加 时， ，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．
6. 若 ，则a与b的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先根据负整数指数幂和零指数幂 的计算法则求出a、b的值，然后比较大小即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，熟知零指数幂（非零底数）的结果为1，负偶次幂的
结果为正是解题的关键．
7. 下列各式中，运算正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，对每一个分式一一
判定即可．
【详解】解：① ，故①不符合题意；
② ，故②符合题意；
③ ，故③不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司④ ，故④不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的性质和化简，熟练掌握分式的基本性质，分式的化简方法是解题的关键．
8. 下图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的
一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的
周长是（ ）
A. B. C. D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】设直角三角形的较长直角边是 ，较短直角边是 ，斜边是 ，由勾股定理，三角形的面积公式，
完全平方公式求出 ， 的值，即可得到答案．
【详解】解：设直角三角形的较长直角边是 ，较短直角边是 ，斜边是 ，
，
，
小正方形的边长是 ，
，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
每个小直角三角形的周长是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用完全平方公式，勾股定理求出
．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式 有意义，则 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据若分式有意义则分式的分母不等于0列式计算即可．
【详解】根据题意得， ，解得 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，可以从以下三个方面理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
⇔
10. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
11. 已知等腰三角形的周长为16，其中一边的长为4，则底边的长为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设等腰三角形 ，
（1）以4为腰，
则 ，
所以 ，
不符合题意，此种情形不存在，
（2）以底边 ，
则腰 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边的关系，解题关键是从边的方面考查三角形，涉及分类
讨论的思想方法．
12. 如图，在 中， ，剪去 后得到四边形 ，则 _________ ．
【答案】255
【解析】
【分析】根据题意可得出 ，再根据四边形的内角和定理可求出 ．
【详解】解： ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，三角形的内角和等于 ，掌握相关定
理是解题的关键．
13. 在 中， 的角平分线 与边 的垂直平分线 相交于点 F，连接 ．若
，则 的度数是_________ ．
【答案】35
【解析】
【 分 析 】 由 平 分 ， 求 出 ， ， 再 求 出
，再根据三角形的内角和定理求出 ，进而求出 的度数．
【
详解】∵ 平分
∴ ，
∵ 垂直平分线
∴
∴
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴
∴
故答案为：35
【点睛】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据角平
分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理推出相应角的度数．
14. 如图，在 中， ，高 交于点 ．若 ， ，则
_________．
【答案】3
【解析】
【分析】先由已知得到 ，即可证明 ，即可求得 继而可得答案．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质，解决本题的关键是证明
．
15. 若 ，且 ，则 的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解∶ ，且 ，
，
原式 ．
故答案为∶ ．
【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16. 如图所示， 是以A为公共端点的两条线段，且满足 ， ，作线段
的垂直平分线l交 于点D．点P为直线l上一动点，连接 ，以 为边构造等边 ，连
接 ．当 的周长最小时， ，则 周长的最小值为_________．（用含有a、b的式
子表示）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】如图所示，将 绕点 A 顺时针旋转 得到 ，连接 ，证明 得到
，接着证明 ，连接 ，取 的中点F，则 ，可证明点
E和点F重合，进一步证明点Q在 上，作D关于直线 的对称点 ，连接 ，则 ，
可以推出当 最小时， 的周长最小，则当 三点共线时， 有最小值，
此时点 恰好在直线l上，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转的性质可得 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 是 的角平分线，
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学科网（北京）股份有限公司又∵ ，
∴ ，
连接 ，取 的中点F，则 ，
∴ ，即点E和点F重合，
又∵ ，
∴点Q在 上，
作D关于直线 的对称点 ，连接 ，则 ，
∵ 的周长 ，
∴当 最小时， 的周长最小，
∵ ，
∴当 三点共线时， 有最小值，此时点 恰好在直线l上，
∴此时 ，则 ，
∴ ，
∴ 的周长最小值 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路
径问题，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形从而确定点Q的运动轨迹是解题
的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25
题6分，第26-28题，每题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、单项式除以单项式法则进行运算，即可求得结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、单项式除以单项式法则，熟练掌握和运用各运算法则是
解决本题的关键．
18. 已知： ，求代数式 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变
形后代入计算即可求出值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：原式
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，掌握运算法则是关键．
19. 在数学课上，老师给出了这样一道题：计算 ．以下是小明同学的计算过程．
解：原式 ①
②
③
（1）以上过程中，第_________步是进行分式的通分，通分的依据是_________；
（2）以上计算过程是否正确？若正确，请你继续完成本题后续解题过程；若不正确，请指出是哪一步出
现了错误，并写出本题完整、正确的解答过程．
【答案】（1）②，分式的基本性质
（2）
【解析】
【分析】（1）由分式加减法的计算方法进行计算即可，即先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法
进行计算即可；
（2）先通分，再按照同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：根据计算步骤可知，第②步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为∶②，分式的基本性质；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：第③步错误
原式
．
【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法进行计算即可．
20. 解分式方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：方程两边同乘以 ，可得
检验：将 代入 ，
∴ 为原方程的解
【点睛】本题主要考查解分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤，注意最后记得检验是否为原方程
的解是正确解题的关键．
21. 先化简 ，然后在 中选一个合适整数值代入，求出代数式的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把 x的值代入化简后的式子进行计
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学科网（北京）股份有限公司算即可解答．
【详解】解：原式
∵ ，
∴ ，
∴x的整数解为： ， ，0，1，2，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
22. 如图，在等腰 中， ，D、E分别为 上的点，且满足 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，试判断 与 的位置关系，并证明．
【答案】（1）详见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2） 垂直平分 ，详见解析
【解析】
【分析】（1）由 ， ， ，根据全等三角形的判定定理“ ”证明
，得 ；
（2）由 ， ，推导出 ，则 ，再根据全等三
角形的判定定理“ ”证明 ，得 ，即可根据等腰三角形的“三线合
一”证明 ．
【小问1详解】
解：证明：在 和 中，
，
，
．
【小问2详解】
连接 ， ，
证明： ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明
及 是解题的关键．
23. 如 图 ， 在 中 ， D 为 边 上 一 点 ， 于 F ， 延 长 交 于 E ． 若
．
（1）求证： 为等边三角形；
（2）若D是 的中点，求 的值．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先根据直角三角形的的两锐角互余求得 ，再根据三角形的外交性质求得
，由等角对等边得 ，即可证明结论成立；
（ 2 ） 连 接 ， 由 （ 1 ） 得 ， ， 先 由 等 腰 三 角 形 的 三 线 合 一 得
，进而根据等角对等边得 ，在 中，根据 直角三角形的性
质即可得 ，即可求得 ．
【小问1详解】
证明：∵ 于F，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形；
【小问2详解】
解：连接 ，如下图，
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学科网（北京）股份有限公司由（1）得， ， ，
∵D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的判定，直角三角形的两锐角互余以及直角三
角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关
键．
24. 如图，在 中， ．
（1）用直尺和圆规作斜边 的垂直平分线，分别交 于D、E，连接 （不写作法，保留作图
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学科网（北京）股份有限公司痕迹）；由作图可知， ，依据是：_________；
（2）在（1）的条件下，若 ，则 与 的数量关系是：_________，依据是：
_________；
（3）请你用直尺和圆规在斜边 上求作一点T，使点T到边 的距离等于线段 的长（不写作法，
保留作图痕迹）．
【答案】（1）作图见解析，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
（2） ，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
（3）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的作法和性质可得；
（2）根据角平分线的判定定理可得；
（3）作 的平分线 ，作 的垂直平分线 ，则点T即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，直线 即为所求直线；
，依据是：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
【小问2详解】
解： ，
依据是：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
解：如图所示，点T即为所求作．
其中， 平分 ， 垂直平分线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点T到 的距离 等于线段 的长．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和作法，角平分线的判定和性质以及作法，解题的关键是将两者结
合起来，解决（3）中的问题．
25. 列分式方程解应用题
【问题呈现】
为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产
540万剂疫苗所用时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天．问原先每天生产多少万剂疫苗．
【分析交流】
（1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
原
时间 现在
先
生产总量（单位：万剂）
每天生产量（单位：万剂） x
【建模解答】
（2）请你完整解答本题．
【答案】（1）510,540, ；（2）原先每天生产75万剂疫苗；
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）设原先每天生产x万剂疫苗，则现在每天生产 万剂疫苗，根据“现在生产540万剂疫苗
所用时间比原先生产510万剂疫苗所用的时间少0.8天”列出分式方程，求解即可．
【详解】解：
（1）补充完整
时间 原先 现在
生产总量（单位：万剂） 510 540
每天生产量（单位：万
x
剂）
（2）解：设原先每天生产x万剂．
解得
经检验， 为原方程的解，且符合题意
答：原先每天生产75万剂疫苗．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题关键．
26. 已知： ．
（1）当 时，计算 的值；
（2）当 时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；
（3）设 ，若x、y均为非零整数，求 的值．
【答案】（1）
（2） ,详见解析
（3）12或18
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）将 代入计算 的值即可；
（2）先求差，再比较差与0的大小关系．
（3）先表示 ，再求 ， 的整数值，进而可以解决问题．
【小问1详解】
当 时，
；
【小问2详解】
当 时， ，理由如下：
，
，
或 ，
当 且 时， ；当 时， ；
【小问3详解】
， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
、 均为非零整数，
时， ， ；
时， ， ；
综上所述： 的值为18或12．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
27. 已知： 为等边三角形，D、E分别为线段 延长线上的点，且 ．作直线 ，
点B关于直线 的对称点为F，连接 分别交直线 于G、H．设 ．
（1）请你根据题意，补全图形；
（2）连接 ，
①判断： _________ ；（填“>”、“<”或“=”）
②求 的大小；（用含有 的式子表示）
（3）试猜想 和 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①=；②
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）①通过证明 是等边三角形，可得 ，由轴对称的性质可得 ，可得结论；
②由外角的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（3）由“ ”可证 ，可得 ，通过证明 是等边三角形，可得
，可得结论．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
① 是等边三角形，
， ，
， ，
是等边三角形，
， ，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
，
故答案为： ；
② ，
，
点 关于直线 的对称点为 ，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
，理由如下：
如图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司点 关于直线 的对称点为 ，
， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
又 ，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等
知识，证明三角形全等是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的四个顶点坐标分别为
．对于点P、直线l和正方形 ，给出如下定义：若点P关于
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学科网（北京）股份有限公司直线l的对称点在正方形 的内部或边上，则称点P为正方形 关于直线l的“反射点”．
（1）已知直线 为 ．
①在点 中，是正方形 关于直线 的“反射点”的有_________；
②若点P为x轴上的动点，且点P为正方形 关于直线 的“反射点”，则点P的横坐标的最大值为
_________；
（2）设点 ，直线 为过点 且与第二、四角平分线平行的直线．
①当 时，若点P为直线 上一点，且点P为正方形 关于直线 的“反射点”，则点P纵
坐标 的取值范围是_________；
②设正方形 是以点 为中心，边长为1的正方形，且正方形 的边均与坐标轴平行．
若点Q为正方形 的边界上一点，且点Q为正方形 关于直线 的“反射点”，请你直接写出
t的取值范围．
【答案】（1）① ；②4
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出图形进行判断即可；
②根据题意画出图形，若点P为x轴上的动点，则点P的横坐标的最大值为点 的横坐标，设 ，
利用中点坐标公式求出结果即可；
（2）①根据题意求出 ： ，作出正方形 关于直线 的对称图形 ，作
直线 ，与正方形 交于点M、N，求出M、N的坐标即可得出答案；
②根据作四边形 关于直线 的对称图形 ，只要正方形 的边经过
的内部，则存在点Q，然后分类讨论求出t的值即可．
【小问1详解】
解：①如图，分别在坐标系中找出点 ，作出这作出这三个点关于直线
的对称点 ， ， ，
由图可知，在点 中，是正方形 关于直线 的“反射点”的有 ， ．
故答案为： ， ．
②如图，画出正方形 关系直线 的对称图形 ，
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学科网（北京）股份有限公司由图可知，若点P为x轴上的动点，则点P的横坐标的最大值为点 的横坐标，
设 ，则 ，
解得： ；
故答案为：4．
【小问2详解】
解：①根据题意可知，当 时， ： ，
如图，作出正方形 关于直线 的对称图形 ，作直线 ，与正方形
交于点M、N，
根据对称性可知， ， 平分 ，
∴R为 的中点， ，
，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ；
故答案为： ；
②如图，作四边形 关于直线 的对称图形 ，只要正方形 的边经过
的内部，则存在点Q，
由对称可知， ，
∴ ，
，
，
，
由图可知，随着t逐渐减小，点 与正方形 的边 接触，如图 所示；
∵ ， ，
∴设直线 的解析式为 ，
把 代入得： ，
第31页/共33页
学科网（北京）股份有限公司∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ；
当 与边 接触，如图 所示：
∴ ，
解得： ；
当 与 接触，如图 所示：
∵ ， ，
∴设直线 的解析式为 ，
第32页/共33页
学科网（北京）股份有限公司把 代入得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ；
当 与 接触，如图 所示：
∴ ，
解得： ；
综上分析可知，t的取值范围是 或 ．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，正方形的性质，轴对称的性质，动点问题，对新定义的理
解和运用，数形结合思想的应用，解题的关键是对新定义反射点的正确理解．
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