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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京五中分校校九年级（下）第二次段考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A B. C. D.
.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据三视图中主视图的定义即可判断．
【详解】根据几何体三视图中主视图的定义；
正方体的主视图是矩形，不符合题意；
圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；
圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、球的主视图是圆，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面往
后看．
2. 北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83000余份，总量位居世界第二位．
将83000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：83000用科学记数法表示为 ．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
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3. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键．
4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个
小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现
结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种，
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两次都取到白色小球的概率为 ．
故选：D．
5. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴得 ， ，且 ，再根据实数的加法法则，减法法则和乘法法则，
依次判断即可．
【详解】解：由数轴得 ， ，且 ，
∴ ， ， ，故B正确，A、C、D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的绝对值的性质，加法法则，
减法法则和乘法法则．
6. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据 即可求出
m的取值范围．
【详解】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： ．
故选∶B．
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7. 小红参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、
9分．若将三项得分依次按 的比例确定最终成绩，则小红的最终比赛成绩为（ ）
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
【答案】B
【解析】
【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．
【详解】解：根据题意得：
（分）．
故小明的最终比赛成绩为 分．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
8. 如图1，在 中， ，D，E分别是边 的中点，点F为线段
上的一个动点，连接 ． 设 ，图1中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图
象大致如图2所示，则这条线段可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图2，确定x为何值取得最小值即可一一判断．
【详解】解：A.观察图2可知 在 时取得最小值，故选项A不符合题意；
B．观察图2可知 在 时取得最小值，故选项B不符合题意；
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C．观察图2可知 在 时取得最小值，故选项C符合题意；
D．观察图2可知 在 取得最小值为0，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，灵活应用所学知识是解题的关键，学会利用函数的最值解
决问题．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
10. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、
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十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
11. 已知n为整数，且 ，则n等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，即可直接求出整数n．
【详解】∵n为整数，且 ，而
∴
故答案为：
【点睛】此题考查二次根式的取值范围，解题关键是找出二次根式临近的整数来判断二次根式的取值范围．
12. 方程 的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是分式方程的解，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在反比例函数 的图象上，若
，则k_____0（填“>”或“<”）．
【答案】
【解析】
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【分析】 时，反比例函数 的图象在第一、三象限， 时，反比例函数
的图象在第二、四象限，再利用 确定点 ， 的位置即可求解．
【详解】∵点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，
∴点 在第二象限，点 在第四象限，
∴反比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
14. 如图， 中， ， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点
M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线 交 于点
D，若点D到 的距离为1，则 _______．
【答案】 ##
【解析】
【 分 析 】 作 ， 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 到 ， 证 明 ， 可 得
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，从而可得答案．
【详解】解：过点D作 于E，如图所示，
∵点D到 的距离为1， 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解题意作出
合适的辅助线是解本题的关键．
15. 如图，在 中， 于E，且交 的延长线于F，当 ， ，
时， 的长是______．
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【答案】2
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质求得 ， ， ，再利用平行线分线段
成比例求得 ，根据直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形的性质，解答本题
的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16. 甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和
棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负． 如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜
3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了________局，三位同学至少进行了________局比赛．
【答案】 ①. 1 ②. 8
【解析】
【分析】计算出总负局数，根据总负局数=总胜局数，即可求解．
【详解】解：总负局数为 ，而甲、乙胜局数为 ，故丙胜局数为 ，
故答案为：1，8
【点睛】本题考查了有理数的加减法．注意计算的准确性．
三、解答题（本题共68分）
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17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，特殊角的三
角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可求解．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算
即可求出值．
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【详解】解： ，
，
，
∵ ，
∴ ． 0
∴原式 ．
【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 已知：关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有一根小于2，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）m＞﹣2．
【解析】
【分析】（1）先求出方程的根的判别式，再判断出根的判别式不小于0，即可得出结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的两根，由一根小于2建立不等式求解，即可得出结论．
【详解】（1）关于x的方程 的根的判别式为
整理得：
∵
∴
故关于x的方程 总有实数根；
（2）
因式分解得：
解得
∵方程有一根小于2
∴
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解得
故m的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的根的判别式
与解法是解题关键．
21. 已知在 中， ，点D，E分别是边 中点，连接 ，延长 到点F，
使得 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形
（2）如果 ，且 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） 的长为10
【解析】
【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形 是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明
，进而得出 ，即可证明四边形 是菱形；
（2）根据菱形的性质可得 ，再利用三角函数、勾股定理解 即可．
【小问1详解】
证明： 点E是边 中点，
，
又 ，
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四边形 是平行四边形
在 中，点D，E分别是边 中点，
， ，
，
，．
四边形 是菱形；
【
小问2详解】
解：由（1）知，四边形 是菱形，
，
，
，
，
在 中， ，
，
解得 或 （舍），
的长为10．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，利用三角函数、勾股定理解直角三角形等，
解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质，牢记三角函数的定义．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与反比例函数 的
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图象交于点 ，点P为反比例函数 的图象上一点．
（1）求m，k的值；
（2）连接OP，AP．当 时，求点P的坐标．
【答案】（1）m的值为1，k的值为3
（2） 或
【解析】
【分析】（1）将 代入 ，可求得 ，则 ，将 代入 ，计算求解 值
即可；
（2）设 ，则 到 轴的距离 为 ，将 代入 ，解得 ，则 ， ，
根据 ，计算求解满足要求的 值，进而可求 点坐标．
【小问1详解】
解：将 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
将 代入 得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的值为1， 的值为3．
【小问2详解】
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解：设 ，则 到 轴的距离 为 ，
将 代入 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴ 点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．解题的
关键在于对反比例函数的解析式、图象等的熟练掌握与灵活运用．
23. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取 名
消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表如下：
分
数
频
率
．甲款红茶分数在 这一组的是：
．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示：
品种 平均数 众数 中位数
甲
乙
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根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图；
（2）表格中 的值为________， 的值为________；
（3）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综
合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照
的比例确定最终成绩，可以认定________款红茶最终成绩更高（填“甲”或“乙”）．
【答案】（1）见解析 （2） ，
（3）甲
【解析】
【分析】（1）根据题意可得甲款红茶分数在 这一组的数据有 个，在 这一组的
数据有 个，进而补全统计图；
（2）根据众数与中位数的定义即可求解；
（3）分别计算甲、乙成绩的加权平均数，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，甲款红茶分数在 这一组的数据有 个，则在 这一组的数据有
个，
如图所示，
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【小问2详解】
根据甲款红茶分数在 这一组的是：
，
则众数为86；
中位数是第13个， ，在 这一组从小到大的第 个数据为 ，
故答案为： ， ．
【小问3详解】
解：甲款红茶的平均分为 ，
乙款红茶 的平均分为 ，
∵ ，
∴可以认定甲款红茶最终成绩更高
【点睛】本题考查了频数分布表与频数分布直方图，中位数，众数，加权平均数，熟练掌握以上知识是解
题 的关键．
24. 如图， 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，与 的延长线相交于点 ，
过点 作 交 于点 ．
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（1）求证：直线 与 相切；
（2）如果 ， 的长为2，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质和解直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线．
（1）先连接 ，由于 是直径以及 ，即可得出 ，进而得出， ，即可
证得结论；
（2）连接 ， ，先证明 ，则 ，再证明 ，则 在中利用正弦的
定义求出 ，接着在 中利用正弦的定义求出 ，则可求出 ，
所以 ，从而得到 的长．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
而 为 的半径，
直线 与 相切；
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【小问2详解】
解：连接 ， ，如图，
，
，
，
，
为直径，
，
， ，
，
，
在 中，
，
，
在 中，
，
，
，
即 ，
，
，
．
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25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．
在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B
中的剩余质量分别为 ， (单位：克)．
下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：
记录 ， 与x的几组对应值如下：
x(
1 2
分 0 5 15 …
0 0
钟)
2 23. 2 14.
(克 7 …
5 5 0 5
)
2 1
(克 20 10 5 …
5 5
)
（1）在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ，并画出函数
的图象；
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（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足函数关系
．场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足函数关系 ．
请分别求出场景A，B满足的函数关系式；
（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用．在上述实验中，记该化学试剂在场
景A，B中发挥作用的时间分别为 ，则 (填“＞”，“=”或“＜”)．
【答案】（1）见详解 （2） ，
（3）＞
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．
（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；
（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；
（3）依据题意，分别求出当 时x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意，作图如下．
；
【小问2详解】
解：由题意，场景A的图象是抛物线的一部分， 与x之间近似满足函数关系 .
又点 在函数图象上，
∴ ．
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解得： ．
∴场景A函数关系式为 ．
对于场景B的图象是直线的一部分， 与x之间近似满足函数关系
又 在函数图象上，
∴ ．
解得： ．
∴场景B函数关系式为 ．
【小问3详解】
解：由题意，当 时，
场景A中，
场景B中， ，
解得： ，
∴ ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）已知点 ，点 在抛物线上，若对于 ，存在 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
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【分析】本题考查了二次函数的性质；
（1）由题意，将 代入 得： ，根据对称轴公式，即可求解；
（2）先求得点 关于对称轴的对称点坐标为 ．根据抛物线开口向下，结合题意，分点 在点
的左侧与点 的右侧两种情况分析，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，将 代入 得： ，
．
对称轴为： ．
【小问2详解】
，
点 关于对称轴的对称点坐标为 ．
．
抛物线开口向下．
点 ， 在抛物线上，且 ，
或 ．
，
或 ．
或 ．
27. 在 中， ， ，点D为线段 上一点，将线段 绕点B顺时针旋转
，得到线段 ，连接 ．
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（1）①请补全图形：
②直接写出 之间的数量关系____________；
（2）取 中点F，连接 、 ，猜想 与 的位置关系与数量关系，并证明．
【答案】（1）图见解析，
（2） ， ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，得到， ， ，推出
，即可得出 之间的数量关系；
（2）如图，设 交 于 ，延长 至 ，使 ，连接 ，证明
和 ，即可得证．
【小问1详解】
解：①补全图形如下：
②连接 ，
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∵将线段 绕点B顺旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
，证明如下：
如图，设 交 于 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
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∵ 是 中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，三角形全等
的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
28. 新定义：在平面直角坐标系 中，若几何图形 与 有公共点，则称几何图形 为 的关联图
形，特别地，若 的关联图形 为直线，则称该直线为 的关联直线．如图， 为 的关联图
形，直线 为 的关联直线．
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（1）已知 是以原点为圆心， 为半径的圆，下列图形：
直线 ； 直线 ； 双曲线 ，是 的关联图形的是______（请直接写
出正确的序号）．
（2）如图 ， 的圆心为 ，半径为 ，直线 ： 与 轴交于点 ，若直线 是 的关
联直线，求点 的横坐标的取值范围．
（3）如图 ，已知点 ， ， ， 经过点 ， 的关联直线 经过点 ，与
的一个交点为 ； 的关联直线 经过点 ，与 的一个交点为 ；直线 ， 交于点 ，
若线段 在直线 上且恰为 的直径，请直接写出点 横坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 点 的横坐标
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据关联图形的定义判断即可；
（2）直线 的临界状态是和 相切的两条直线 和 ，求出两种特殊情况下的点N的横坐标即可解决问
题；
（3）过点H作 ，垂足为 ，交 于点 ，根据 可得 ，由
的取值此即可确定点 横坐标 的取值范围．
分别讨论即可得出答案．
【小问1详解】
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解：假设双曲线 上点 到原点的距离为2，
则 ，即 ，
整理，得 ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程的根，
因此双曲线 上点 和 到原点 的距离为2，
故双曲线 与 有公共点；
如图所示，
直线 和 双曲线 与 有公共点， 直线 与 没有公共点，
因此 是 的关联图形，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：如图所示：
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直线 是 的关联直线，
直线 的临界状态是和 相切的两条直线 和 ，
当临界状态是 时，连接 ， 则 ，
中，当 ， ，当 ， ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
点 ；
同理可得当临界状态是 时，点 ，
点 的横坐标 ；
【小问3详解】
解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接 ， ，交于点H，过点H作 ，垂足为
，交 于点 ，
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， ，
，
，
轴，
，
，
设点 ，则 ， ，
，
解得 ，
当 最小时， ， 取最大值为2， 越大， 越小， ，
此时h取值范围为 ；
②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接 ， ，交于点H，过点H作 ，垂足为 ，
交 于点 ，
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同理可得： ，
设点 ，则 ， ，
，
解得 ，
当 最小时， ， 取最小值为 ， 越大， 越大，
此时h取值范围为 ；
综上可得 或 ．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识点，解题的关键是理解
题意，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题，难度较大，属于中轴压轴题．
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