2015年高考数学试卷（理）（福建）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

第I卷（选择题共50分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合 A  i,i2,i3,i4 （ i 是虚数单位）， B 1,1 ，则 AB 等于 ( ) A．1 B．1 C．1,1 D．  【答案】C 【考点定位】1、复数的概念；2、集合的运算． 【名师点睛】本题考查复数的概念和集合的运算，利用 和交集的定义求解，属于基础题，要注意运算准 i2 1 确度． 2．下列函数为奇函数的是( ) A． y  x B． y  sinx C．y cosx D． y ex ex 【答案】D 【考点定位】函数的奇偶性． 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于 原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题． 3．若双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于 E:  1 F,F P E PF 3 PF 1 2 1 2 9 16 （ ） A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B 第1页 | 共22页【考点定位】双曲线的标准方程和定义． 【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的 准确性． 4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 y 支出 （万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 yˆ b ˆ xaˆ ，其中 b ˆ 0.76,aˆ  yb ˆ x ，据此估计，该社区一户收入为15万元 家庭年支出为( ) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 【答案】B 【考点定位】线性回归方程． 【名师点睛】本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础题， 要注意计算的准确性． x2y0,  5．若变量x,y 满足约束条件 x y0, 则z 2x y 的最小值等于 ( )  x2y20,  5 3 A． B．2 C． D．2 2 2 【答案】A 第2页 | 共22页【考点定位】线性规划． 【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值， 解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题． 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) 第3页 | 共22页A．2 B． 1 C．0 D．1 【答案】C 【考点定位】程序框图． 【名师点睛】本题考查程序框图，关键在于读懂框图有什么功能，要注意依序进行，认真判断条件来决定程 序的执行方向．理解每个变量和框图的关系．运算量不大，重在理解，重在细心，属于基础题． 7．若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） l,m m  l m l// A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 第4页 | 共22页【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂 直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描 述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究． 8．若 a,b 是函数 f x x2  pxqp 0,q 0 的两个不同的零点，且 a,b,2 这三个数可适当排序 后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等 差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论， 属于难题． (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 (cid:3) (cid:3) AB 4AC 9．已知AB AC, AB  , AC t ，若P 点是ABC 所在平面内一点，且 AP (cid:3)  (cid:3) ，则 t AB AC (cid:3) (cid:3) 的最大值等于（ ） PBPC A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A 第5页 | 共22页【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式． 【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实 现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对 (cid:3) AB (cid:3) 的理解不到位，从而导致解题失败． AB [来源:学科网ZXXK] 10．若定义在 R 上的函数 f x 满足 f 01 ，其导函数 fx 满足 fxk 1 ，则下列结论中一 定错误的是（ ） A． 1 1 B． 1 1 C．  1  1 D．  1  k f  f  f  f          k  k k  k1 k1 k1 k1 k1 【答案】C 【考点定位】函数与导数． 【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、 方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题， 第6页 | 共22页常可使问题变得明了，属于难题． 第II卷（非选择题共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．x25 的展开式中， x2 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80 【考点定位】二项式定理． 【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基 础题，注意运算的准确度． 12．若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于________． ABC 10 3 AB 5,AC 8 BC 【答案】7 【考点定位】1、三角形面积公式；2、余弦定理． 【名师点睛】本题考查余弦定理，余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三 角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快 捷求第三边，属于基础题． 13．如图，点 A 的坐标为1,0 ，点 C 的坐标为2,4 ，函数 f x x2 ，若在矩形 ABCD 内随机取一 点，则此点取自阴影部分的概率等于 ． 第7页 | 共22页【答案】 5 12 [来源:学科网ZXXK] 【考点定位】几何概型． 【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不 可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或 根据实际意义）来求，属于中档题． x6,x2, 14．若函数 f x （ a0 且 a1 ）的值域是4, ，则实数a 的取值范围是 3log x,x2,  a ． 【答案】 (1,2] 【考点定位】分段函数求值域． 【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将 分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中 档题． 15．一个二元码是由0和1组成的数字串 x x x  nN* ，其中 x k 1,2,,n 称为第 k 位码元， 1 2 n k 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0） x x x x 0, 4 5 6 7  已知某种二元码x x x 的码元满足如下校验方程组： x x x x 0, 1 2 7 2 3 6 7  x x x x 0,  1 3 5 7 其中运算 定义为： ．  000,011,101,110 第8页 | 共22页现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程 组可判定k 等于 ． 【答案】5． 【考点定位】推理证明和新定义． 【名师点睛】本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并分析新定义的特点，按照所给 的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的，． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发 现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不 重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望． 1 5 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)分布列见解析，期望为 ． 2 2 1 1 2 5 所以E(X)=1� �2� 3 ． 6 6 3 2 第9页 | 共22页【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望． 【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行卡密 码，共有 种，而基本事件总数为 ，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量所有可能 A3 A3 5 6 取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重 不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。 17．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB^平面BEC，BE^EC，AB=BE=EC=2，G，F分别 是线段BE，DC的中点. (Ⅰ)求证：GF // 平面ADE ； (Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值． 2 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) ． 3 第10页 | 共22页第11页 | 共22页（Ⅱ）同解法一． 【考点定位】1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角． 【名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法，直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者 利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；利用坐标法求二面角，主要是空间直 角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角还是钝角， 正确写出二面角的余弦值． 18.．已知椭圆E： x2 y2 过点 ，且离心率为 2 ． + =1(a >b>0) (0, 2） a2 b2 2 第12页 | 共22页(Ⅰ)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设直线 交椭圆E于A，B两点， x=my-1，(m� R) 9 判断点G(- , 0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由． 4 【答案】(Ⅰ) x2 y2 ；(Ⅱ) G 9 在以AB为直径的圆外． + =1 (- , 0) 4 2 4 第13页 | 共22页【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系． 【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点 G 的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系： (cid:3) (cid:3) 点 在圆内；(cid:3) (cid:3) 点 在圆外；(cid:3) (cid:3) 点 在圆上，本题综合性较高， GAGB0  G GAGB 0  G GAGB 0  G 较好地考查分析问题解决问题的能力． 19．已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将 图像上所有点的纵坐标 f(x) g(x)=cosx g(x) 第14页 | 共22页p 伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 个单位长度. 2 (Ⅰ)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程； f(x) (Ⅱ)已知关于 的方程 在 内有两个不同的解 ． x f(x)+g(x)=m [0,2p) a,b （1)求实数m的取值范围； （2)证明： 2m2 cos(a-b)= -1. 5 p 【答案】(Ⅰ) f(x)=2sinx，x=kp+ (k�Z).；(Ⅱ)（1）(- 5, 5)；（2）详见解析． 2 第15页 | 共22页【考点定位】1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 第16页 | 共22页【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点 G 的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系： (cid:3) (cid:3) 点 在圆内；(cid:3) (cid:3) 点 在圆外；(cid:3) (cid:3) 点 在圆上，本题综合性较高， GAGB0  G GAGB 0  G GAGB 0  G 较好地考查分析问题解决问题的能力． 20．已知函数 ， f(x)=ln(1+x) g(x)=kx,(k� R), (Ⅰ)证明：当 ； x>0时，f(x)0 任意x�(0，x ),恒有 f(x)>g(x)； 0 0 (Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 ． t >0 x�(0，t), |f(x)- g(x)|