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重庆乌江新高考协作体 2025 届高考质量调研（一）
数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1-4．CCCD 5-8．ACBC
6．由函数的对称轴可得 即可求得 ，利用函数的对称性可得 ，则
，即可求得 的值，得到函数解析式，代入即可求解．
7．根据 是三棱锥 外接球的直径，先找到垂直条件，求出 ， ，再作出三棱锥 的
高 ，在 中，用余弦定理求得 ，再结合垂直关系求得 ，设 ，表示出 ，
在 中，用余弦定理列等式求得 ，再套入三棱锥体积公式求解即可.
8．通过对称性将问题转化为函数零点的问题即可．
9．BC 10．ABD 11．BC
12．13 13．
14． /
14. 先求事件 ， ， 的概率，再按定义求事件 ， 的的相关系数.
15．（1） ，由正弦定理得 ，
即 ，
， ，
， ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司（2） ，
， ， ， ，
由 ，得 ，
，
.
16．（1）因为 ，
当 时，由 ，解得 ；当 时，则 ，
两方程相减得 ，即 ；可知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
（2）由（1）可知： ，则 ，
，
两式相减得 ，
可得 ，即 .
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司可知 是单调递增数列，且 ，可得 ，
因为对任意的 恒成立，可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
17．（1） ．
①当 时， 在(0,+∞)上单调递减，
当 时， ，这与 矛盾，不合题意.
②当 时，
由f'(x)<0得 ；由f'(x)>0得 ，
则f (x)在 上单调递减，在 上单调递增，
时，函数 取得唯一极小值即最小值．又 且f (1)=0
，解得 ，故实数 的取值集合是 ．
（2）由（1）可知： 时， ，即 对任意 恒成立．
要证明： ，则只需要证明 ，
即 ．
令 , ，
令 ，令 ，解得 ．
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
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学科网（北京）股份有限公司即函数 在 内单调递减，在 上单调递增．
而
所以存在 ，使得 ，
当x∈(0,x )时， 单调递增；
0
当 时， 单调递减．
当x∈(1,+∞)时， 单调递增．
又 ，
对 恒成立，即 ．
综上可得
18．（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有 种不同的搜索方法，
再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有 种搜索方法，
再排余下4个的搜索位置，有 种搜索方法.
所以共有 种不同的搜索方法.
（2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”，
则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现，
所以共有 种不同的搜索方法.
（3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花.
这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙.
同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中.
因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况.
设 为经过 次传花后花在甲手上的线路数，其中 .
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学科网（北京）股份有限公司则 为经过 次传花后花在甲手上的线路数，即经过 次传花后花不在甲手上的线路数，
所以 为经过 次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针），
则 ， .
所以 ， ， ， ，
综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种.
19．（1）①情形一：分别取 的中点 ，
由中位线性质可知 ，
此时平面 为 的一个1阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于 .
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面 平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：分别取 的中点
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
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学科网（北京）股份有限公司则 为正方体棱长的一半，等于 .
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面 平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上，当 的值为 时， 有4个；当 的值为 时， 有3个.
（2）在线段 上分别取一点 ，
使得 ，则平面 即为平面 .
如图，取 中点 ，连接 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，过点 且与平面
垂直的直线为 轴建立空间直角坐标系，
，设
，
，
设平面 法向量为⃗m=(x,y,z)
所以 ，即 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司又平面 的法向量为 ，
设平面 与 夹角为
所以 ，
所以平面 与 夹角余弦值为 .
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