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陕西省西安中学高 2025 届高三第一次质量检测考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分 命题人：赵昕媛）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. “ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 在区间 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 1 C. D. 3
6. 已知函数 ，若关于 的方程 有2个不相等的实数解，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，则（ ）
A. 有三个极值点 B. 有三个零点
的
C. 点 是曲线 对称中心 D. 直线 是曲线 的切线
8. 已知函数 ， ，若方程 有且仅有5个不相等的整
数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A. B. 28 C. D. 14
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A. 甲乙不相邻的不同排法有48种
的
B. 甲乙中间恰排一个人 不同排法有36种
C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种
D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种
11. 已知 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是
，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 __________.
14. 的展开式中， 的系数为__________．
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共
77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
的
（1）若 ，求函数 极值；
（2）讨论函数 的单调性．
16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精
神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年
级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为
散点集中在曲线 的附近，请根据下表中的数据求出
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学科网（北京）股份有限公司月份x 1 2 3 4 5 6
体重超标人数y 98 77 54 48 32 27
（1）该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程 系数 的最终结果精确到 ；
（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.
附：经验回归方程： 中， ， ；参考数据： ，
， ，
17. 已知函数 ， ， ，且
的
（1）当 且 时，求不等式 解集；
（2）若函数 在区间 上有零点，求t的取值范围.
18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五
组质量指标值： .根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值
服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，其它产品称为 等品. 现从该品
牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，
用样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保留小数点
后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ，则
， .
)
的
（2）（i）从样本 质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，
95]的芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 等品芯片
的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求 的值，
使得每箱产品的利润最大.
19. 已知函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明：函数 在 上单调递增；
（3）若 是函数 的极大值点，求实数a的取值范围.
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