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2023 年高考押题预测卷 01【全国甲卷】
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向 满足 ，且 ，则向量 的模长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提
出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的
前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量 （单位： ）、放电
时间 （单位： ）、放电电流 （单位： ）三者之间满足关系 ．假设某款电动汽车的蓄电
池容量为 ，正常行驶时放电电源为 ，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 满足 ，且 成等比数列.若 的前n项和为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的2：1的比例关系，常用的A4纸的长宽比无限接近 .把
长宽比为 的矩形称做和美矩形.如图， 是长方体， ， ， ， ，
， 分别是棱 ， ， ， 的中点.把图中所有的矩形按是否为和美矩形分成两类，再用分层
抽样的方法在这两类矩形中共抽取5个，抽得的矩形中和美矩形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知双曲线 的左右焦点为 ，虚轴长为 ，若其渐近线上横坐标为1的点P
恰好满足 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且 ， ，设P、Q分别为
线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，
下列关系不能恒成立的是（ ）A．直线 直线CD B．直线 直线ED
C．直线 直线PQ D．直线 平面
9．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B． C． D．
10．已知点 ，若圆 上存在点 (不同于 )，使得
，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
11．三棱锥S-ABC的底面ABC是等腰直角三角形， ，且 ， 则三棱
锥S-ABC外接球表面积为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．6π
12．若函数 的定义域为 ，且 偶函数， 关于点 成中心对称，则下列说法正确
的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ 的一条对称轴为 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
14．已知 的展开式中的常数项为 ，则 ______．
15．已知正项数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，若 ，则
__________.
16．已知抛物线 ，其焦点为 ，准线为 ，过焦点 的直线交抛物线 于点 、 （其
中 在 轴上方）， ， 两点在抛物线的准线上的投影分别为 ， ，若 ， ，则
____________.
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．记 的内角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，角 的内角平分线与边 交于点 ，求 的长.
18．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统
的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动
的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，
这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为 ，它
们之间相互不影响.
(1)当 时，求能正常工作的设备数 的分布列和数学期望；(2)已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是 ，根据以往经验可知，计算机网
络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方
案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在 ，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：
对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在 ，设备维护总费用为5万元.请从期望损失最小的角度
判断决策部门该如何决策？
19．如图，在几何体 中，四边形 是边长为2的正方形， ， ， ，
．
(1)求证：平面 平面 ．
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．在平面直角坐标系 中，椭圆 的上焦点为F，且C上的点到点 的距离的
最大值与最小值的差为 ，过点 且垂直于 轴的直线被 截得的弦长为1.
(1)求 的方程；
(2)已知直线 ： ）与 交于 , 两点，与 轴交于点 ，若点 是线段 靠近 点的四等分点，求实数 的取值范围．
21．已知函数 ．
(1)若 在 上是增函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 ，证明：当 时， 恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图，在极坐标系Ox中，点 ，曲线M是以OA为直径， 为圆心的半圆，点B在曲线M上，
四边形OBCD是正方形．(1)当 时，求B，C两点的极坐标；
(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数 .
（1）当 ，求 的取值范围；
（2）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围.
