文档内容
北京四中 2022-2023 学年度第一学期初三年级 12 月练习（数学学科）
数学练习
考生须知
1.本练习卷共8页，共28道小题，满分100分.练习时间120分钟.
2.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.
3.选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.
一.选择题（共16分，每小题2分）
1. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 二次函数 的最大值是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
3. 点 ， 是反比例函数 图象上的两点，那么 ， 的大小关系是（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
4. 如图， ， ， 是⊙ 上的三个点，如果∠ °，那么∠ 的度数为（ ）
A. B. C. D.
的
5. 根据图中圆规作图 痕迹，只用直尺可成功找到三角形内心的是（ ）A. B. C. D.
6. 如图，点P在 的边AC上，如果添加一个条件后可以得到 ，那么以下添加的条件
中，不正确的是（ ）
.
A B. C. D.
7. 一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系xOy中的图象如图所示，
当 时，x的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或 D. 或
8. 如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，
是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）A. B. C. D.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 已知 ，则 ______．
10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点 的抛物线的表达式：______．
11. 如图，在 中，D，E两点分别在 边上， ，如果 ，则 与
的面积之比为______．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图
象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于_____．
13. 如图等边 内接于 ，若 的半径为1，则阴影部分的面积为______．14. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”
其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆
的
直径是多少步．”该问题的答案是________步．
15. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ
的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为_______m．
16. 已知双曲线 与直线 交于点 ， .
（1）若 ，则 ______；
（2）若 时， ，则k______0，b______0（填“ ”、“ ”或“ ”）.
三、解答题（本题共68分）
17. 解下列方程：
（1） ；
（2） .
.
18 如图，BO 是 ABC 的角平分线，延长 BO 至 D 使得 BC＝CD．
（1）求证： AOB∽△△COD．
（2）若 AB＝△2，BC＝4，OA＝1，求 OC 长．19. 如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的 ，某同学要站在 的中点C的位置上，于是他想：只
要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到 上，就能找到 的中点C，老师肯定了他的想法．
（1）尺规作图：请按照这位同学的想法，在图中作出点C；
（2）这位同学确定点C为 的中点的依据是______．
20. 如图，四边形 各顶点的坐标分别为 ， ， ， ，
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内，画出四边形 的位似图形 ，使得对应边长变为
原来的 ；
（2）请分别写出点 和 的坐标： ______， ______.
21. 已知关于x的一元二次方程 ①有两个实数根 ， ．
（1）求实数k的取值范围；
（2）从因式分解法可知，方程①也可转化为 ②．把方程②的左边展开化成一般形式后，可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系： ______， ______；（用含k的
式子表示）
（3）是否存在实数k，使得 成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
22. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与函数 的图象交于A，B两点，且点A
的坐标为 ．
（1）求a和k的值；
（2）已知点 ，过点P作平行于y轴的直线，交直线 于点C，交函数 的图
象于点D．
①当 时，求线段CD的长；
②若 ，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
23. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA， 米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物
线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池
中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．的
（1）求水柱所在 抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离 ，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱
抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 处达到最高，则喷水管 要升高多少？
24. 如图，四边形 内接于 ， ，AC是对角线．过点D作 的切线交BC的延长
线于点E．
（1）求证： ；
（2）BA与CD的延长线交于点F，若 ， ， ，求AF的长．
25. 小岩根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行探究.
下面是小岩的探究过程，请补充完整：
（1）函数 的自变量x的取值范围是______；
（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中：
x … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 …
y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 m 2 1.5 1 …则m的值为______；
（3）如下图，在平面直角坐标系 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图
象；
（4）获得性质.解决问题：
①通过观察、分析、证明，可知函数 的图象是轴对称图形，它的对称轴是______；
②过点 作直线 轴，与函数 的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），
则 的值为______.
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上.
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知 ，当 时，y的取值范围是 ，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，当 时，若函数值y的最大与最小值的差不超过4，直接写出n的
取值范围.
27. 在 中， ， ， ．将 绕点 B 逆时针旋转 （
）得到 ，点A，点C旋转后的对应点分别为点 ，点 ．（1）如图1，当点 恰好为线段 的中点时， ______°， ______；
（2）当线段 与线段 有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
②连接 ，请直接写出 的长的取值范围．
28. 在平面直角坐标系 中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q
两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的近邻点．
（1）当 的半径为3时，
①在点 ， ， 中， 的近邻点是______；
②点P在直线 上，若P为 的近邻点，求点P的横坐标 的取值范围；
（2） 的圆心为 ，半径为3，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B．若线段AB上的所
有点都是 的近邻点，直接写出t的取值范围．
