文档内容
高三数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：一轮复习第一章到第四章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧长为
A． B． C．14 D．
2．已知全集 ，集合 ，则
A． B． C． D．
3．函数 的最小正周期为
A． B． C．8 D．4
4．
A． B．0 C．1 D．2
5．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，且 的图象关
于点 对称，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知 是奇函数，当 时， ，则
A． B． C．9 D．257．若 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题是真命题的是
A．若 ，则 B．函数 的定义域为
C．若集合 ， 满足 ，则 D．若 ，则
10．函数 与 的大致图象可能是
A． B． C． D．
11．已知函数 的极小值点为1，极小值为 ．则
． B．
A
C． 有3个零点 D．直线 与 的图象仅有1个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知命题 ， ，则 的否定为________， 为________（填入“真”或“假”
命题．
13．若钝角 满足 ，则 ________．
14．已知函数 ，若不等于 成立，则 的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 外接圆的直径．16．（15分）已知函数 在 上的值域为 ．
（1）求 ；
（2）将 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，
求 的解析式与单调递增区间．
17．（15分）已知函数 ．
（1）求 的图象在 处的切线方程；
（2）若函数 ，求不等式 的解集．
18．（17分）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体
形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报
价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元．设
劳动基地的左、右两面墙的长度均为 米，原有墙体足够长．
（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为 元，若无论左
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求 的取值范围．
19．（17分）设函数 的定义域为 ，若 ， ，则称 为“循环函数”．
（1）试问函数 是否为“循环函数”？说明你的理由．
（2）已知函数 ，证明：存在常数 ，使得 为“循环函数”．
（3）已知对任意 ， ，函数 ， 都满足 ．
①证明： 为“循环函数”．
②若 ，证明：当 时， ．高三数学试卷参考答案
1．C 该扇形的弧长为 ．
2．D 因为 ， ，所以 ．
3．A 函数 的最小正周期 ．
4．B ．
5．C 由题意得 ．由 ，得 ．因为 ，所以
的最小值为3．
6．A 由 ，得 ， ，则 ，从而 ．取 ， ，满足
，不满足 ．故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
7．A 由 是奇函数，得 ．令 ，得 ．所以 ．
8．D 因为 ， ， ， ，所以
， ，所以
，则
．
9．ABD 若 ，则 ， ，A正确．函数 的定义
域为 ，B正确．若集合 ， 满足 ，则 ，C错误．若 ，则
，当且仅当 ，即 时，等号成立，D
正确．10．AC 当 时，选项A符合题意．对于B选项，由指数函数的图象可知 ，由一次函数的图
象可知 ，则 ， 选项不符合题意．当 时，C选项符合题意．对于D选项，由一次函数
图象可知 解得 ，则D选项不符合题意．
11．ACD 由题意得 ，则 ，得 ，A正确．由
，得 ，B错误． ，易知 在 ，
上单调递增，在 上单调递减，则 的极大值为 ，所以 有3个零点，直线
与 的图象仅有1个公共点，C，D正确．
12． ， ；真 的否定为 ， ， 为真命题．
13．5 由 ，得 或 ．因为 为钝角，所以 为锐角，所以 ．
14． 设 ，则 ，故 是奇函数．不等式
等价于不等式 ，即不等式 ．
因为 是奇函数，所以 ．易证 是 上的减函数，则 ，即
，解得 ．
15．解：由正弦定理可得 ，··································································2分
设 ， ， ， ．
（1）由余弦定理得 ，········································5分
因为 ，所以 ．··························································································7分
（2）由题意可得 ，·················································9分因为 ，所以 ，所以 ，··········································································10分
所以 外接圆的直径为 ．········································································13分
16．解：（1）当 时， ．·······························································1分
因为 ，所以 ，···············································································2分
则 ，···············································································································4分
因为 ，所以 ．························································································6分
（2）由（1）知 ．
依题意可得 ，····················································································10分
令 ，···············································································12分
得 ，·······················································································14分
所以 的单调递增区间为 ．·······················································15分
17．解：（1）因为 ， ，所以 ，···································1分
则 ， ，································································································3分
则 的图象在 处的切线方程为 ，即 ．······························6分
（2） ．·············································8分
令 ， ，则 ，································································10分
由 ，得 ，·································································································11分
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，则
．·········································································································13分故当 时， ，当 时， ，从而 的解集为
．····················································································································15分
18．解：（1）设甲工程队的总报价为 元，依题意，左、右两面墙的长度均为 米，
则长方体前面新建墙体的长度为 米，·············································································2分
所以 ，············································································5分
即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立．
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元．···························8分
（2）由题意可知， ，即 对任意的 恒成
立，····························································································································10分
所以 ，可得 ，即 ．········································13分
，
当且仅当 ，即 时， 取最小值36，···················································16分
则 ，即 的取值范围是 ．··········································································17分
19．（1）解：当 时， ， ；····················································1分
当 时， ，则 ；······················································3分
当 时， ，则 ．··································3分
故 是“循环函数”．········································································4分
（2）证明：当 时， ，····························································5分则 ，····································································7分
所以存在常数 ，使得 为“循环函数”．·················································8分
（3）证明：由题意得 对 ， 恒成立，
所以存在常数 ，使得 ．······································9分
令 ，得 解得 ， ．························10分
①由 ，得 为“循环函数”．····················································11分
②若 ，则 ， ．··································································12分
设函数 ，
则 ，········································13分
当 时， ，当 时， ，·························································14分
所以 ．·····································································15分
易证 ，则 ，所以 ，故当 时，
．··································································································17分
